Question

Un punto cuyas dos coordenadas son enteras se llama punto reticular. ¿Cuántos puntos reticulares hay sobre la hipérbola $x^2 - y^2 = 2000^2$ ?

A point whose coordinates are both integers is called a lattice point. How many lattice points lie on the hyperbola $x^2 - y^2 = 2000^2?$

Respuesta

Solución:

Factoriza $(x - y)(x + y) = 2000^2$ $= 2^8 \cdot 5^6$ . Los factores $x - y$ y $x + y$ tienen la misma paridad, y su producto es par, así que ambos deben ser pares. Escribiendo $x - y = 2a$ y $x + y = 2b$ se obtiene $ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6$ .

Cada par ordenado de enteros positivos $(a, b)$ con $ab = 10^6$ produce exactamente una solución $x = a + b$ , $y = b - a$ con $x \gt 0$ , y $10^6$ tiene $7 \cdot 7 = 49$ divisores, de modo que hay $49$ de esos pares. Reemplazar $(a, b)$ por $(-a, -b)$ da las $49$ soluciones con $x \lt 0$ , y $x = 0$ es imposible ya que $-y^2 \lt 2000^2$ .

En total hay $49 + 49 = 98$ puntos reticulares.

Factor $(x - y)(x + y) = 2000^2$ $= 2^8 \cdot 5^6.$ The factors $x - y$ and $x + y$ have the same parity, and their product is even, so both must be even. Writing $x - y = 2a$ and $x + y = 2b$ gives $ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6.$

Each ordered pair of positive integers $(a, b)$ with $ab = 10^6$ yields exactly one solution $x = a + b,$ $y = b - a$ with $x \gt 0,$ and $10^6$ has $7 \cdot 7 = 49$ divisors, hence $49$ such pairs. Replacing $(a, b)$ by $(-a, -b)$ gives the $49$ solutions with $x \lt 0,$ and $x = 0$ is impossible since $-y^2 \lt 2000^2.$

In total there are $49 + 49 = 98$ lattice points.

2000 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años