Question

Un punto cuyas dos coordenadas son enteras se llama punto reticular. ¿Cuántos puntos reticulares hay sobre la hipérbola

x^2 - y^2 = 2000^2

?

A point whose coordinates are both integers is called a lattice point. How many lattice points lie on the hyperbola

x^2 - y^2 = 2000^2?

Respuesta

Respuesta: 98

Conceptos:diferencia de cuadrados conteo de factores paridad punto reticular

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Factoriza

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

y observa que los dos factores tienen la misma paridad.

Factor

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

and note the two factors have the same parity

Pista grande:

Escribe

x - y = 2a

y

x + y = 2b

con

ab = 10^6;

cuenta los pares ordenados y recuerda los valores negativos de

x

.

Write

x - y = 2a

and

x + y = 2b

with

ab = 10^6;

count ordered pairs, and remember negative values of

x

Solución:

Factoriza

(x - y)(x + y) = 2000^2

= 2^8 \cdot 5^6.

Los factores

x - y

y

x + y

tienen la misma paridad, y su producto es par, así que ambos deben ser pares. Escribiendo

x - y = 2a

y

x + y = 2b

se obtiene

ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6.

Cada par ordenado de enteros positivos

(a, b)

con

ab = 10^6

produce exactamente una solución

x = a + b,

y = b - a

con

x \gt 0,

y

10^6

tiene

7 \cdot 7 = 49

divisores, de modo que hay

49

de esos pares. Reemplazar

(a, b)

por

(-a, -b)

da las

49

soluciones con

x \lt 0,

y

x = 0

es imposible ya que

-y^2 \lt 2000^2.

En total hay

49 + 49 = 98

puntos reticulares.

Factor

(x - y)(x + y) = 2000^2

= 2^8 \cdot 5^6.

The factors

x - y

and

x + y

have the same parity, and their product is even, so both must be even. Writing

x - y = 2a

and

x + y = 2b

gives

ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6.

Each ordered pair of positive integers

(a, b)

with

ab = 10^6

yields exactly one solution

x = a + b,

y = b - a

with

x \gt 0,

and

10^6

has

7 \cdot 7 = 49

divisors, hence

49

such pairs. Replacing

(a, b)

by

(-a, -b)

gives the

49

solutions with

x \lt 0,

and

x = 0

is impossible since

-y^2 \lt 2000^2.

In total there are

49 + 49 = 98

lattice points.

2000 AIME II Problema 2

Respuesta: 98

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años