Question

Los enteros positivos $a$ y $b$ satisfacen la condición $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$ Halla la suma de todos los valores posibles de $a + b.$

Positive integers $a$ and $b$ satisfy the condition $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$ Find the sum of all possible values of $a + b.$

Respuesta

Respuesta: 881

Conceptos:logaritmo exponente análisis por casos

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Ve eliminando los logaritmos de afuera hacia adentro: la ecuación exterior dice que la siguiente expresión es igual a $1,$ y luego la siguiente es igual a $2^a$ .

Peel the logarithms from the outside in: the outer equation says the next expression equals $1,$ then the next equals $2^a$

Pista grande:

Todo se reduce a $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125,$ así que $2^a$ solo puede ser $2,$ $4,$ u $8$ .

Everything reduces to $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125,$ so $2^a$ can only be $2,$ $4,$ or $8$

Solución:

Trabajando de afuera hacia adentro, $\log_2(\cdot) = 0$ obliga a que $\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,$ de modo que $\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,$ y por tanto $2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.$ De aquí $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.$

Como $a \ge 1$ y $b$ es un entero positivo, $2^a$ debe ser uno de $2,$ $4,$ u $8,$ lo que da $(a, b) = (1, 500),$ $(2, 250),$ y $(3, 125).$ La suma de todos los valores posibles de $a + b$ es $501 + 252 + 128 = 881.$

Working from the outside in, $\log_2(\cdot) = 0$ forces $\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,$ so $\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,$ so $2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.$ Hence $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.$

Since $a \ge 1$ and $b$ is a positive integer, $2^a$ must be one of $2,$ $4,$ $8,$ giving $(a, b) = (1, 500),$ $(2, 250),$ and $(3, 125).$ The sum of all possible values of $a + b$ is $501 + 252 + 128 = 881.$

2013 AIME II Problema 2

Respuesta: 881

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años