Question

Sea $P$ un punto elegido de manera uniforme al azar en el interior del cuadrado unitario con vértices en $(0, 0),$ $(1, 0),$ $(1, 1),$ y $(0, 1).$ La probabilidad de que la pendiente de la recta determinada por $P$ y el punto $\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ sea mayor o igual que $\frac{1}{2}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $P$ be a point chosen uniformly at random in the interior of the unit square with vertices at $(0, 0),$ $(1, 0),$ $(1, 1),$ and $(0, 1).$ The probability that the slope of the line determined by $P$ and the point $\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ is greater than or equal to $\frac{1}{2}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ y $P = (x, y).$ La condición de pendiente $\frac{y - 3/8}{x - 5/8} \ge \frac{1}{2}$ se convierte en $y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ cuando $x \gt \frac{5}{8},$ y en $y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ cuando $x \lt \frac{5}{8}$ (multiplicar por la cantidad negativa $x - \frac{5}{8}$ invierte la desigualdad).

Para $x \gt \frac{5}{8},$ la región por encima de la recta $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ dentro del cuadrado es un trapecio con lados verticales paralelos de longitudes $\frac{5}{8}$ (en $x = \frac{5}{8}$ ) y $\frac{7}{16}$ (en $x = 1$ ) y ancho $\frac{3}{8},$ con área $\frac{3}{8} \cdot \frac{5/8 + 7/16}{2} = \frac{51}{256}.$ Para $x \lt \frac{5}{8},$ la región por debajo de la recta es un trapecio con lados paralelos $\frac{1}{16}$ (en $x = 0$ ) y $\frac{3}{8}$ (en $x = \frac{5}{8}$ ) y ancho $\frac{5}{8},$ con área $\frac{5}{8} \cdot \frac{1/16 + 3/8}{2} = \frac{35}{256}.$

La probabilidad es $\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128},$ por lo que $m + n = 43 + 128 = 171.$

Let $Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ and $P = (x, y).$ The slope condition $\frac{y - 3/8}{x - 5/8} \ge \frac{1}{2}$ becomes $y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ when $x \gt \frac{5}{8},$ and $y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ when $x \lt \frac{5}{8}$ (multiplying by the negative quantity $x - \frac{5}{8}$ reverses the inequality).

For $x \gt \frac{5}{8},$ the region above the line $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ inside the square is a trapezoid with parallel vertical sides of lengths $\frac{5}{8}$ (at $x = \frac{5}{8}$ ) and $\frac{7}{16}$ (at $x = 1$ ) and width $\frac{3}{8},$ with area $\frac{3}{8} \cdot \frac{5/8 + 7/16}{2} = \frac{51}{256}.$ For $x \lt \frac{5}{8},$ the region below the line is a trapezoid with parallel sides $\frac{1}{16}$ (at $x = 0$ ) and $\frac{3}{8}$ (at $x = \frac{5}{8}$ ) and width $\frac{5}{8},$ with area $\frac{5}{8} \cdot \frac{1/16 + 3/8}{2} = \frac{35}{256}.$

The probability is $\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128},$ so $m + n = 43 + 128 = 171.$

2020 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años