Question

Se elige al azar un punto $P$ en el interior de un cuadrado unitario $S.$ Sea $d(P)$ la distancia de $P$ al lado más cercano de $S.$ La probabilidad de que $\frac{1}{5} \le d(P) \le \frac{1}{3}$ es igual a $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A point $P$ is chosen at random in the interior of a unit square $S.$ Let $d(P)$ denote the distance from $P$ to the closest side of $S.$ The probability that $\frac{1}{5} \le d(P) \le \frac{1}{3}$ is equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Los puntos con $d(P) \ge t$ forman un cuadrado concéntrico de lado $1 - 2t.$ Así, $d(P) \ge \frac{1}{5}$ coloca a $P$ dentro del cuadrado concéntrico de lado $\frac{3}{5},$ y $d(P) \le \frac{1}{3}$ mantiene a $P$ fuera del cuadrado concéntrico abierto de lado $\frac{1}{3}.$

Como el cuadrado unitario tiene área $1,$ la probabilidad es el área entre esos dos cuadrados: $\begin{aligned} &\left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{81 - 25}{225} = \frac{56}{225}. \end{aligned}$ Por tanto $m + n = 56 + 225 = 281.$

The points with $d(P) \ge t$ form a concentric square of side $1 - 2t.$ So $d(P) \ge \frac{1}{5}$ puts $P$ inside the concentric square of side $\frac{3}{5},$ and $d(P) \le \frac{1}{3}$ keeps $P$ outside the open concentric square of side $\frac{1}{3}.$

Since the unit square has area $1,$ the probability is the area between those two squares: $\begin{aligned} &\left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{81 - 25}{225} = \frac{56}{225}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 56 + 225 = 281.$

2010 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años