Question

Sean $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ y $a_2 = 8,$ y para $n \gt 2$ se define $a_n$ recursivamente como el residuo de dividir $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ entre $11.$ Halla $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

Let $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ and $a_2 = 8,$ and for $n \gt 2$ define $a_n$ recursively to be the remainder when $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ is divided by $11.$ Find $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

Respuesta

Respuesta: 112

Conceptos:recursión aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Calcula los términos uno a uno; cada término depende solo de los tres anteriores, así que en cuanto se repite una terna de términos consecutivos, la sucesión es periódica

Compute terms one at a time; each term depends only on the previous three, so once a triple of consecutive terms repeats, the sequence is periodic

Pista grande:

La sucesión se repite con período $10,$ así que reduce los índices $2018,$ $2020,$ $2022$ módulo $10$

The sequence repeats with period $10,$ so reduce the indices $2018,$ $2020,$ $2022$ modulo $10$

Solución:

Calculando los términos sucesivos se obtiene $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ Como $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ y cada término depende solo de los tres anteriores, la sucesión es periódica con período $10.$

Por lo tanto $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ y $a_{2022} = a_2 = 8,$ así que el producto es $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

Computing successive terms gives $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ Since $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ and each term depends only on the previous three, the sequence is periodic with period $10.$

Therefore $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ and $a_{2022} = a_2 = 8,$ so the product is $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

2018 AIME II Problema 2

Respuesta: 112

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años