Question

Las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva son

\log_{10} 12,

\log_{10} 75,

y

\log_{10} n,

donde

n

es un entero positivo. Halla el número de valores posibles de

n.

The lengths of the sides of a triangle with positive area are

\log_{10} 12,

\log_{10} 75,

and

\log_{10} n,

where

n

is a positive integer. Find the number of possible values for

n.

Respuesta

Las tres longitudes deben satisfacer la desigualdad triangular; dos de las tres condiciones acotan

\log_{10} n

por ambos lados.

The three lengths must satisfy the triangle inequality; two of the three conditions bound

\log_{10} n

from both sides.

\log 75 - \log 12

\lt \log n \lt

\log 75 + \log 12,

así que

\frac{25}{4} \lt n \lt 900.

\log 75 - \log 12

\lt \log n \lt

\log 75 + \log 12,

so

\frac{25}{4} \lt n \lt 900.

La desigualdad triangular exige

\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900

y

\log 12 + \log n \gt \log 75,

es decir

\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}.

La desigualdad restante,

\log 75 + \log n \gt \log 12,

es automática porque

n \ge 1

y

75 \gt 12.

Así que

\frac{25}{4} \lt n \lt 900,

lo que para enteros significa

7 \le n \le 899.

Eso da

899 - 7 + 1 = 893

valores posibles de

n.

The triangle inequality requires

\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900

and

\log 12 + \log n \gt \log 75,

that is

\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}.

The remaining inequality,

\log 75 + \log n \gt \log 12,

is automatic because

n \ge 1

and

75 \gt 12.

So

\frac{25}{4} \lt n \lt 900,

which for integers means

7 \le n \le 899.

That gives

899 - 7 + 1 = 893

possible values of

n.