Question

Existe un único número real positivo $x$ tal que los tres números $\log_8(2x),$ $\log_4 x,$ y $\log_2 x,$ en ese orden, forman una progresión geométrica con razón común positiva. El número $x$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

There is a unique positive real number $x$ such that the three numbers $\log_8(2x),$ $\log_4 x,$ and $\log_2 x,$ in that order, form a geometric progression with positive common ratio. The number $x$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $t = \log_2 x.$ Entonces $\log_4 x = \frac{t}{2}$ y $\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}.$ En una progresión geométrica el término central al cuadrado es igual al producto de los términos extremos: $\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t.$

Como $t = 0$ no da una razón válida, divida entre $t:$ $\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3},$ así que $3t = 4 + 4t$ y $t = -4.$ Por lo tanto $x = 2^{-4} = \frac{1}{16},$ y la progresión es $-1,$ $-2,$ $-4$ con razón común $2,$ que es positiva como se requiere.

Por lo tanto $m + n = 1 + 16 = 17.$

Let $t = \log_2 x.$ Then $\log_4 x = \frac{t}{2}$ and $\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}.$ In a geometric progression the middle term squared equals the product of the outer terms: $\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t.$

Since $t = 0$ gives no valid ratio, divide by $t:$ $\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3},$ so $3t = 4 + 4t$ and $t = -4.$ Thus $x = 2^{-4} = \frac{1}{16},$ and the progression is $-1,$ $-2,$ $-4$ with common ratio $2,$ which is positive as required.

Therefore $m + n = 1 + 16 = 17.$

2020 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años