Question

Arnold está estudiando la prevalencia de tres factores de riesgo para la salud, denotados por $A,$ $B,$ y $C,$ dentro de una población de hombres. Para cada uno de los tres factores, la probabilidad de que un hombre elegido al azar de la población tenga solo este factor de riesgo (y ninguno de los otros) es $0.1.$ Para cualesquiera dos de los tres factores, la probabilidad de que un hombre elegido al azar tenga exactamente estos dos factores de riesgo (pero no el tercero) es $0.14.$ La probabilidad de que un hombre elegido al azar tenga los tres factores de riesgo, dado que tiene $A$ y $B,$ es $\frac{1}{3}.$ La probabilidad de que un hombre no tenga ninguno de los tres factores de riesgo dado que no tiene el factor de riesgo $A$ es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Arnold is studying the prevalence of three health risk factors, denoted by $A,$ $B,$ and $C,$ within a population of men. For each of the three factors, the probability that a randomly selected man in the population has only this risk factor (and none of the others) is $0.1.$ For any two of the three factors, the probability that a randomly selected man has exactly these two risk factors (but not the third) is $0.14.$ The probability that a randomly selected man has all three risk factors, given that he has $A$ and $B,$ is $\frac{1}{3}.$ The probability that a man has none of the three risk factors given that he does not have risk factor $A$ is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Toma una población de $100$ hombres y completa un diagrama de Venn. Cada una de las tres regiones de exactamente-uno contiene $10$ hombres, y cada una de las tres regiones de exactamente-dos contiene $14.$ Si $x$ hombres tienen los tres factores, entonces los hombres que tienen tanto $A$ como $B$ suman $x + 14,$ así que la probabilidad condicional dada dice $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3},$ lo que da $x = 7.$

La unión de los tres conjuntos contiene por tanto $3 \cdot 10 + 3 \cdot 14 + 7 = 79$ hombres, dejando $21$ sin ningún factor de riesgo. Los hombres con el factor de riesgo $A$ suman $10 + 14 + 14 + 7 = 45,$ así que $55$ hombres no tienen $A.$

La probabilidad buscada es $\frac{21}{55},$ que está en su forma más simple, así que $p + q = 21 + 55 = 76.$

Take a population of $100$ men and fill in a Venn diagram. Each of the three exactly-one regions contains $10$ men, and each of the three exactly-two regions contains $14.$ If $x$ men have all three factors, then the men with both $A$ and $B$ number $x + 14,$ so the given conditional probability says $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3},$ giving $x = 7.$

The union of the three sets therefore contains $3 \cdot 10 + 3 \cdot 14 + 7 = 79$ men, leaving $21$ with no risk factor. The men with risk factor $A$ number $10 + 14 + 14 + 7 = 45,$ so $55$ men do not have $A.$

The desired probability is $\frac{21}{55},$ which is in lowest terms, so $p + q = 21 + 55 = 76.$

2014 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años