2014 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Abe puede pintar la habitación en $15$ horas, Bea puede pintar un $50$ por ciento más rápido que Abe, y Coe puede pintar el doble de rápido que Abe. Abe empieza a pintar la habitación y trabaja solo durante la primera hora y media. Luego Bea se une a Abe, y trabajan juntos hasta que la mitad de la habitación está pintada. Luego Coe se une a Abe y Bea, y trabajan juntos hasta que toda la habitación está pintada. Halla el número de minutos que transcurren desde que Abe empieza hasta que los tres terminan de pintar la habitación.

Abe can paint the room in $15$ hours, Bea can paint $50$ percent faster than Abe, and Coe can paint twice as fast as Abe. Abe begins to paint the room and works alone for the first hour and a half. Then Bea joins Abe, and they work together until half the room is painted. Then Coe joins Abe and Bea, and they work together until the entire room is painted. Find the number of minutes after Abe begins for the three of them to finish painting the room.

Respuesta

Respuesta: 334

Conceptos:tasa fracción

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Trabaja en habitaciones por minuto: la tasa de Abe es $\frac{1}{900},$ así que la de Bea es $\frac{1}{600}$ y la de Coe es $\frac{1}{450}$

Work in rooms per minute: Abe’s rate is $\frac{1}{900},$ so Bea’s is $\frac{1}{600}$ and Coe’s is $\frac{1}{450}$

Pista grande:

Después de $90$ minutos solo, se ha pintado $\frac{1}{10}$ de la habitación. Divide cada porción restante de la habitación entre la tasa combinada de los pintores que trabajan en ese momento.

After $90$ minutes alone, $\frac{1}{10}$ of the room is done. Divide each remaining portion of the room by the combined rate of the painters working then.

Solución:

Abe pinta $\frac{1}{900}$ de la habitación por minuto, así que Bea pinta $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{900} = \frac{1}{600}$ por minuto y Coe pinta $\frac{2}{900} = \frac{1}{450}$ por minuto. En los primeros $90$ minutos Abe pinta $\frac{90}{900} = \frac{1}{10}$ de la habitación.

Abe y Bea juntos pintan $\frac{1}{900} + \frac{1}{600} = \frac{1}{360}$ por minuto, y deben llevar el total desde $\frac{1}{10}$ hasta $\frac{1}{2},$ lo cual toma $\frac{2}{5} \cdot 360 = 144$ minutos. Los tres juntos pintan $\frac{1}{360} + \frac{1}{450} = \frac{1}{200}$ por minuto, así que la mitad restante de la habitación toma $\frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ minutos.

El tiempo total es $90 + 144 + 100 = 334$ minutos.

Abe paints $\frac{1}{900}$ of the room per minute, so Bea paints $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{900} = \frac{1}{600}$ per minute and Coe paints $\frac{2}{900} = \frac{1}{450}$ per minute. In the first $90$ minutes Abe paints $\frac{90}{900} = \frac{1}{10}$ of the room.

Abe and Bea together paint $\frac{1}{900} + \frac{1}{600} = \frac{1}{360}$ per minute, and they must bring the total from $\frac{1}{10}$ up to $\frac{1}{2},$ which takes $\frac{2}{5} \cdot 360 = 144$ minutes. All three together paint $\frac{1}{360} + \frac{1}{450} = \frac{1}{200}$ per minute, so the remaining half of the room takes $\frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ minutes.

The total time is $90 + 144 + 100 = 334$ minutes.

2.

Arnold está estudiando la prevalencia de tres factores de riesgo para la salud, denotados por $A,$ $B,$ y $C,$ dentro de una población de hombres. Para cada uno de los tres factores, la probabilidad de que un hombre elegido al azar de la población tenga solo este factor de riesgo (y ninguno de los otros) es $0.1.$ Para cualesquiera dos de los tres factores, la probabilidad de que un hombre elegido al azar tenga exactamente estos dos factores de riesgo (pero no el tercero) es $0.14.$ La probabilidad de que un hombre elegido al azar tenga los tres factores de riesgo, dado que tiene $A$ y $B,$ es $\frac{1}{3}.$ La probabilidad de que un hombre no tenga ninguno de los tres factores de riesgo dado que no tiene el factor de riesgo $A$ es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Arnold is studying the prevalence of three health risk factors, denoted by $A,$ $B,$ and $C,$ within a population of men. For each of the three factors, the probability that a randomly selected man in the population has only this risk factor (and none of the others) is $0.1.$ For any two of the three factors, the probability that a randomly selected man has exactly these two risk factors (but not the third) is $0.14.$ The probability that a randomly selected man has all three risk factors, given that he has $A$ and $B,$ is $\frac{1}{3}.$ The probability that a man has none of the three risk factors given that he does not have risk factor $A$ is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 76

Conceptos:Diagrama de Venn probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Toma una población de $100$ y completa un diagrama de Venn: cada región con exactamente un factor tiene $10$ hombres y cada región con exactamente dos factores tiene $14$

Take a population of $100$ and fill in a Venn diagram: each exactly-one region holds $10$ men and each exactly-two region holds $14$

Pista grande:

Si $x$ hombres tienen los tres factores, entonces $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3}.$ Luego cuenta los hombres fuera de $A$ y los hombres que no tienen ningún factor.

If $x$ men have all three factors, then $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3}.$ Then count the men outside $A$ and the men with no factor at all.

Solución:

Toma una población de $100$ hombres y completa un diagrama de Venn. Cada una de las tres regiones con exactamente un factor contiene $10$ hombres, y cada una de las tres regiones con exactamente dos factores contiene $14.$ Si $x$ hombres tienen los tres factores, entonces los hombres que tienen tanto $A$ como $B$ suman $x + 14,$ así que la probabilidad condicional dada dice $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3},$ lo que da $x = 7.$

La unión de los tres conjuntos contiene por tanto $3 \cdot 10 + 3 \cdot 14 + 7 = 79$ hombres, dejando $21$ sin ningún factor de riesgo. Los hombres con el factor de riesgo $A$ suman $10 + 14 + 14 + 7 = 45,$ así que $55$ hombres no tienen $A.$

La probabilidad buscada es $\frac{21}{55},$ que está en su forma más simple, así que $p + q = 21 + 55 = 76.$

Take a population of $100$ men and fill in a Venn diagram. Each of the three exactly-one regions contains $10$ men, and each of the three exactly-two regions contains $14.$ If $x$ men have all three factors, then the men with both $A$ and $B$ number $x + 14,$ so the given conditional probability says $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{3},$ giving $x = 7.$

The union of the three sets therefore contains $3 \cdot 10 + 3 \cdot 14 + 7 = 79$ men, leaving $21$ with no risk factor. The men with risk factor $A$ number $10 + 14 + 14 + 7 = 45,$ so $55$ men do not have $A.$

The desired probability is $\frac{21}{55},$ which is in lowest terms, so $p + q = 21 + 55 = 76.$

3.

Un rectángulo tiene lados de longitud $a$ y $36.$ Se instala una bisagra en cada vértice del rectángulo y en el punto medio de cada lado de longitud $36.$ Los lados de longitud $a$ se pueden presionar uno hacia el otro manteniendo esos dos lados paralelos, de modo que el rectángulo se convierte en un hexágono convexo como se muestra. Cuando la figura es un hexágono con los lados de longitud $a$ paralelos y separados por una distancia de $24,$ el hexágono tiene la misma área que el rectángulo original. Halla $a^2.$

A rectangle has sides of length $a$ and $36.$ A hinge is installed at each vertex of the rectangle and at the midpoint of each side of length $36.$ The sides of length $a$ can be pressed toward each other keeping those two sides parallel so the rectangle becomes a convex hexagon as shown. When the figure is a hexagon with the sides of length $a$ parallel and separated by a distance of $24,$ the hexagon has the same area as the original rectangle. Find $a^2.$

Respuesta

Respuesta: 720

Conceptos:Teorema de Pitágoras trapecio área

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Cada mitad de un lado de $36$ es una barra articulada de longitud $18$ cuya extensión vertical en el hexágono es $12;$ el teorema de Pitágoras da su alcance horizontal

Each half of a $36$ -side is a hinged bar of length $18$ whose vertical extent in the hexagon is $12;$ the Pythagorean theorem gives its horizontal reach

Pista grande:

Corta el hexágono a lo largo de la recta que pasa por las dos bisagras de los puntos medios en dos trapecios congruentes y establece que el área total sea igual a $36a$

Cut the hexagon along the line through the two midpoint hinges into two congruent trapezoids and set the total area equal to $36a$

Solución:

En el hexágono, cada lado de longitud $36$ se ha plegado en su punto medio en dos barras de longitud $18.$ Los dos lados de longitud $a$ están separados por $24$ , así que cada barra abarca una distancia vertical de $12$ y por tanto una distancia horizontal de $\sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$

La recta que pasa por las dos bisagras de los puntos medios divide el hexágono en dos trapecios congruentes con lados paralelos $a$ y $a + 12\sqrt{5}$ y altura $12,$ así que el hexágono tiene área $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{a + (a + 12\sqrt{5})}{2} \cdot 12 \\ &= 24a + 144\sqrt{5}. \end{aligned}$

Igualando esto al área del rectángulo $36a$ se obtiene $12a = 144\sqrt{5},$ así que $a = 12\sqrt{5}$ y $a^2 = 720.$

In the hexagon, each side of length $36$ has folded at its midpoint into two bars of length $18.$ The two sides of length $a$ are $24$ apart, so each bar spans a vertical distance of $12$ and hence a horizontal distance of $\sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$

The line through the two midpoint hinges splits the hexagon into two congruent trapezoids with parallel sides $a$ and $a + 12\sqrt{5}$ and height $12,$ so the hexagon has area $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{a + (a + 12\sqrt{5})}{2} \cdot 12 \\ &= 24a + 144\sqrt{5}. \end{aligned}$

Setting this equal to the rectangle’s area $36a$ gives $12a = 144\sqrt{5},$ so $a = 12\sqrt{5}$ and $a^2 = 720.$

4.

Los decimales periódicos $0.abab\overline{ab}$ y $0.abcabc\overline{abc}$ satisfacen $0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son dígitos (no necesariamente distintos). Halla el número de tres cifras $abc.$

The repeating decimals $0.abab\overline{ab}$ and $0.abcabc\overline{abc}$ satisfy $0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are (not necessarily distinct) digits. Find the three-digit number $abc.$

Respuesta

Respuesta: 447

Conceptos:decimal periódico dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Escribe los decimales como $\frac{ab}{99}$ y $\frac{abc}{999},$ luego elimina los denominadores usando $99 = 9 \cdot 11$ y $999 = 27 \cdot 37$

Write the decimals as $\frac{ab}{99}$ and $\frac{abc}{999},$ then clear denominators using $99 = 9 \cdot 11$ and $999 = 27 \cdot 37$

Pista grande:

Reducir la ecuación módulo $11$ obliga a que $a = b;$ luego una breve ecuación lineal fija los dígitos

Reducing the equation modulo $11$ forces $a = b;$ then a short linear equation pins down the digits

Solución:

Escribiendo $ab$ y $abc$ para los números de dos y tres cifras, los decimales son iguales a $\frac{ab}{99}$ y $\frac{abc}{999}.$ Como $99 = 9 \cdot 11$ y $999 = 27 \cdot 37,$ el denominador común es $27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,$ y multiplicar la ecuación por él da $\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}$

Módulo $11,$ como $9801 = 11 \cdot 891$ y $111 \equiv 1,$ esto obliga a que $ab$ sea divisible por $11,$ así que $a = b.$ Entonces $ab = 11a,$ y dividir la ecuación entre $11$ da $111a + abc = 891.$ Como $abc = 110a + c,$ esto es $221a + c = 891,$ lo cual requiere $a = 4$ y $c = 7.$

Por tanto $a = b = 4,$ $c = 7,$ y el número de tres cifras $abc$ es $447.$

Writing $ab$ and $abc$ for the two- and three-digit numbers, the decimals equal $\frac{ab}{99}$ and $\frac{abc}{999}.$ Since $99 = 9 \cdot 11$ and $999 = 27 \cdot 37,$ the common denominator is $27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,$ and multiplying the equation by it gives $\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}$

Modulo $11,$ since $9801 = 11 \cdot 891$ and $111 \equiv 1,$ this forces $ab$ to be divisible by $11,$ so $a = b.$ Then $ab = 11a,$ and dividing the equation by $11$ gives $111a + abc = 891.$ Since $abc = 110a + c,$ this is $221a + c = 891,$ which requires $a = 4$ and $c = 7.$

Thus $a = b = 4,$ $c = 7,$ and the three-digit number $abc$ is $447.$

5.

Los números reales $r$ y $s$ son raíces de $p(x) = x^3 + ax + b,$ y $r + 4$ y $s - 3$ son raíces de $q(x) = x^3 + ax + b + 240.$ Halla la suma de todos los valores posibles de $|b|.$

Real numbers $r$ and $s$ are roots of $p(x) = x^3 + ax + b,$ and $r + 4$ and $s - 3$ are roots of $q(x) = x^3 + ax + b + 240.$ Find the sum of all possible values of $|b|.$

Respuesta

Respuesta: 420

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Ninguna de las cúbicas tiene un término $x^2$ , así que las terceras raíces son $t = -r - s$ y $t - 1.$ Iguala los coeficientes de $x$ en las dos cúbicas.

Neither cubic has an $x^2$ term, so the third roots are $t = -r - s$ and $t - 1.$ Equate the coefficients of $x$ in the two cubics.

Pista grande:

Comparar los términos constantes y sustituir $t = 4r - 3s + 13$ produce $(r-s)^2 + 7(r-s) - 8 = 0;$ termina cada caso usando $r + s + t = 0.$

Comparing constant terms and substituting $t = 4r - 3s + 13$ yields $(r-s)^2 + 7(r-s) - 8 = 0;$ finish each case using $r + s + t = 0.$

Solución:

Ambas cúbicas tienen coeficiente $x^2$ igual a cero, así que sus raíces suman $0:$ la tercera raíz de $p$ es $t = -r - s,$ y la tercera raíz de $q$ es $-(r+4) - (s-3) = t - 1.$ El coeficiente de $x$ es $a$ en ambas, así que $\begin{aligned} &rs + st + tr \\ &= (r+4)(s-3) \\ &\quad {}+ (s-3)(t-1) \\ &\quad {}+ (t-1)(r+4), \end{aligned}$ lo cual se simplifica a $t = 4r - 3s + 13.$

Los términos constantes dan $b = -rst$ y $b + 240 =$ $-(r+4)(s-3)(t-1),$ así que $240 =$ $rst - (r+4)(s-3)(t-1),$ es decir $rs - 4st + 3tr - 3r$ $+ 4s + 12t - 252 = 0.$ Sustituir $t = 4r - 3s + 13$ reduce esto a $12\left[(r-s)^2 + 7(r-s) - 8\right] = 0,$ así que $r - s = 1$ o $r - s = -8.$

Si $r - s = 1,$ entonces $t = 4r - 3s + 13 = r + 16$ y $t = -r - s = -2r + 1,$ así que $r = -5:$ las raíces son $-5,$ $-6,$ $11,$ y $b = -rst = -330.$ Si $r - s = -8,$ entonces $t = r - 11 = -2r - 8,$ así que $r = 1:$ las raíces son $1,$ $9,$ $-10,$ y $b = 90.$ La suma pedida es $330 + 90 = 420.$

Both cubics have zero $x^2$ coefficient, so their roots sum to $0:$ the third root of $p$ is $t = -r - s,$ and the third root of $q$ is $-(r+4) - (s-3) = t - 1.$ The coefficient of $x$ is $a$ in both, so $\begin{aligned} &rs + st + tr \\ &= (r+4)(s-3) \\ &\quad {}+ (s-3)(t-1) \\ &\quad {}+ (t-1)(r+4), \end{aligned}$ which simplifies to $t = 4r - 3s + 13.$

The constant terms give $b = -rst$ and $b + 240 =$ $-(r+4)(s-3)(t-1),$ so $240 =$ $rst - (r+4)(s-3)(t-1),$ i.e. $rs - 4st + 3tr - 3r$ $+ 4s + 12t - 252 = 0.$ Substituting $t = 4r - 3s + 13$ reduces this to $12\left[(r-s)^2 + 7(r-s) - 8\right] = 0,$ so $r - s = 1$ or $r - s = -8.$

If $r - s = 1,$ then $t = 4r - 3s + 13 = r + 16$ and $t = -r - s = -2r + 1,$ so $r = -5:$ the roots are $-5,$ $-6,$ $11,$ and $b = -rst = -330.$ If $r - s = -8,$ then $t = r - 11 = -2r - 8,$ so $r = 1:$ the roots are $1,$ $9,$ $-10,$ and $b = 90.$ The requested sum is $330 + 90 = 420.$

6.

Charles tiene dos dados de seis caras. Uno de los dados es justo, y el otro dado está sesgado de modo que sale seis con probabilidad $\frac{2}{3},$ y cada una de las otras cinco caras tiene probabilidad $\frac{1}{15}.$ Charles elige uno de los dos dados al azar y lo lanza tres veces. Dado que las dos primeras tiradas son ambas seises, la probabilidad de que la tercera tirada sea también un seis es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Charles has two six-sided dice. One of the dice is fair, and the other die is biased so that it comes up six with probability $\frac{2}{3},$ and each of the other five sides has probability $\frac{1}{15}.$ Charles chooses one of the two dice at random and rolls it three times. Given that the first two rolls are both sixes, the probability that the third roll will also be a six is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 167

Conceptos:probabilidad condicional Teorema de Bayes dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

La respuesta es la probabilidad de tres seises dividida entre la probabilidad de dos seises, cada una promediada sobre los dos dados igualmente probables

The answer is the probability of three sixes divided by the probability of two sixes, each averaged over the two equally likely dice

Pista grande:

Dos seises seguidos hacen que el dado sesgado sea mucho más probable: pondera cada dado por su probabilidad de producir los dos seises observados antes de predecir la tercera tirada

Two sixes in a row make the biased die much more likely: weight each die by its chance of producing the observed two sixes before predicting the third roll

Solución:

La probabilidad condicional buscada es $\begin{aligned} &\frac{\Pr(\text{tres seises})}{\Pr(\text{los dos primeros son seises})} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3} {\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2}, \end{aligned}$ ya que cada dado se elige con probabilidad $\frac{1}{2}$ y el dado justo muestra un seis con probabilidad $\frac{1}{6}.$

El numerador es $\frac{1}{2}\left(\frac{8}{27} + \frac{1}{216}\right) = \frac{65}{432}$ y el denominador es $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{36}\right) = \frac{17}{72},$ así que la probabilidad es $\frac{65}{432} \cdot \frac{72}{17} = \frac{65}{102}.$

Como $65 = 5 \cdot 13$ y $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$ no comparten ningún factor, $p + q = 65 + 102 = 167.$

The desired conditional probability is $\begin{aligned} &\frac{\Pr(\text{three sixes})}{\Pr(\text{first two are sixes})} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3} {\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2}, \end{aligned}$ since each die is chosen with probability $\frac{1}{2}$ and the fair die shows a six with probability $\frac{1}{6}.$

The numerator is $\frac{1}{2}\left(\frac{8}{27} + \frac{1}{216}\right) = \frac{65}{432}$ and the denominator is $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{36}\right) = \frac{17}{72},$ so the probability is $\frac{65}{432} \cdot \frac{72}{17} = \frac{65}{102}.$

Since $65 = 5 \cdot 13$ and $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$ share no factor, $p + q = 65 + 102 = 167.$

7.

Sea $f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)^{\cos(\pi x)}.$ Halla la suma de todos los enteros positivos $n$ para los que $\left|\sum_{k=1}^{n} \log_{10} f(k)\right| = 1.$

Let $f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)^{\cos(\pi x)}.$ Find the sum of all positive integers $n$ for which $\left|\sum_{k=1}^{n} \log_{10} f(k)\right| = 1.$

Respuesta

Respuesta: 21

Conceptos:telescópica logaritmo paridad

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Como $\cos(\pi k) = (-1)^k,$ el producto de los $f(k)$ es telescópico: los $k$ pares aportan $(k+1)(k+2)$ y los $k$ impares aportan su recíproco

Since $\cos(\pi k) = (-1)^k,$ the product of the $f(k)$ telescopes: even $k$ contribute $(k+1)(k+2)$ and odd $k$ contribute its reciprocal

Pista grande:

Para $n$ par el producto es $\frac{n+2}{2};$ para $n$ impar es $\frac{1}{2(n+2)}.$ La suma de logaritmos es $\pm 1$ cuando el producto es $10$ o $\frac{1}{10}.$

For even $n$ the product is $\frac{n+2}{2};$ for odd $n$ it is $\frac{1}{2(n+2)}.$ The sum of logs is $\pm 1$ when the product is $10$ or $\frac{1}{10}.$

Solución:

Como $\cos(\pi k) = (-1)^k$ y $k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2),$ tenemos $f(k) = \left[(k+1)(k+2)\right]^{(-1)^k}.$ La suma de los logaritmos es el logaritmo del producto $\prod_{k=1}^n f(k),$ que es telescópico: los factores consecutivos $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ y $(k+2)(k+3)$ dejan solo los términos de frontera.

Para $n$ par el producto es $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+2)}{2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \frac{n+2}{2},$ y para $n$ impar es $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdots (n+2)} = \frac{1}{2(n+2)}.$ El valor absoluto del logaritmo es igual a $1$ exactamente cuando el producto es $10$ o $\frac{1}{10}.$

Para $n$ par, $\frac{n+2}{2} = 10$ da $n = 18;$ para $n$ impar, $2(n+2) = 10$ da $n = 3.$ La suma pedida es $18 + 3 = 21.$

Since $\cos(\pi k) = (-1)^k$ and $k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2),$ we have $f(k) = \left[(k+1)(k+2)\right]^{(-1)^k}.$ The sum of the logarithms is the log of the product $\prod_{k=1}^n f(k),$ which telescopes: consecutive factors $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ and $(k+2)(k+3)$ leave only boundary terms.

For even $n$ the product is $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+2)}{2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \frac{n+2}{2},$ and for odd $n$ it is $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdots (n+2)} = \frac{1}{2(n+2)}.$ The absolute value of the log equals $1$ exactly when the product is $10$ or $\frac{1}{10}.$

For even $n,$ $\frac{n+2}{2} = 10$ gives $n = 18;$ for odd $n,$ $2(n+2) = 10$ gives $n = 3.$ The requested sum is $18 + 3 = 21.$

8.

El círculo $C$ con radio $2$ tiene diámetro $\overline{AB}.$ El círculo $D$ es tangente interiormente al círculo $C$ en $A.$ El círculo $E$ es tangente interiormente al círculo $C,$ tangente exteriormente al círculo $D,$ y tangente a $\overline{AB}.$ El radio del círculo $D$ es tres veces el radio del círculo $E$ y se puede escribir en la forma $\sqrt{m} - n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Halla $m + n.$

Circle $C$ with radius $2$ has diameter $\overline{AB}.$ Circle $D$ is internally tangent to circle $C$ at $A.$ Circle $E$ is internally tangent to circle $C,$ externally tangent to circle $D,$ and tangent to $\overline{AB}.$ The radius of circle $D$ is three times the radius of circle $E$ and can be written in the form $\sqrt{m} - n,$ where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 254

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras radical

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Sea $s$ el radio del círculo $E$ y sea $F$ el pie de la perpendicular trazada desde su centro a $\overline{AB};$ expresa $CF$ y $DF$ con el teorema de Pitágoras

Let $s$ be the radius of circle $E$ and drop its center to a foot $F$ on $\overline{AB};$ express $CF$ and $DF$ with the Pythagorean theorem

Pista grande:

$DF = DC + CF$ da $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s};$ aislar un radical y elevar al cuadrado dos veces deja una ecuación cuadrática en $s$

$DF = DC + CF$ gives $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s};$ isolating one radical and squaring twice leaves a quadratic in $s$

Solución:

Sean $C,$ $D,$ $E$ también los nombres de los centros de los círculos, sea $s$ el radio del círculo $E,$ de modo que el círculo $D$ tiene radio $3s,$ y sea $F$ el pie de $E$ sobre $\overline{AB}.$ La tangencia da $CE = 2 - s,$ $DE = 3s + s = 4s,$ y $EF = s,$ mientras que $D$ está sobre $\overline{AB}$ con $DC = 2 - 3s.$

Los triángulos rectángulos $CEF$ y $DEF$ dan $CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}$ $= \sqrt{4 - 4s}$ y $DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}.$ Como $F$ está en el lado opuesto de $C$ respecto de $A,$ tenemos $DF = DC + CF,$ así que $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.$

Pasar $2 - 3s$ a la izquierda y elevar al cuadrado da $24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s),$ es decir $12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s);$ elevar al cuadrado de nuevo produce $9s^2 + 84s - 44 = 0,$ así que $s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}.$ El radio del círculo $D$ es $3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14,$ y $m + n = 240 + 14 = 254.$

Let $C,$ $D,$ $E$ also name the circles’ centers, let $s$ be the radius of circle $E,$ so circle $D$ has radius $3s,$ and let $F$ be the foot of $E$ on $\overline{AB}.$ Tangency gives $CE = 2 - s,$ $DE = 3s + s = 4s,$ and $EF = s,$ while $D$ lies on $\overline{AB}$ with $DC = 2 - 3s.$

Right triangles $CEF$ and $DEF$ give $CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}$ $= \sqrt{4 - 4s}$ and $DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}.$ Since $F$ is on the opposite side of $C$ from $A,$ we have $DF = DC + CF,$ so $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.$

Moving $2 - 3s$ to the left and squaring gives $24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s),$ i.e. $12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s);$ squaring again yields $9s^2 + 84s - 44 = 0,$ so $s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}.$ The radius of circle $D$ is $3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14,$ and $m + n = 240 + 14 = 254.$

9.

Diez sillas están dispuestas en un círculo. Halla el número de subconjuntos de este conjunto de sillas que contienen al menos tres sillas adyacentes.

Ten chairs are arranged in a circle. Find the number of subsets of this set of chairs that contain at least three adjacent chairs.

Respuesta

Respuesta: 581

Conceptos:arreglos circulares subconjuntos inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Cuenta los subconjuntos distintos del conjunto completo localizando una silla vacía seguida, en sentido horario, por tres sillas del subconjunto

Count subsets other than the full set by locating an empty chair followed clockwise by three chairs of the subset

Pista grande:

Cada patrón formado por una silla no elegida seguida de tres elegidas deja $2^6$ opciones para las sillas restantes; resta los subconjuntos contados dos veces que contienen dos rachas separadas de tres o más

Each such empty-full-full-full pattern leaves $2^6$ choices for the remaining chairs; subtract the double-counted subsets containing two separate runs of three or more

Solución:

El conjunto completo de $10$ sillas cumple; cuenta los demás localizando el inicio, en sentido horario, de cada racha máxima de al menos tres sillas elegidas adyacentes. Cualquier subconjunto de este tipo contiene un bloque de cuatro sillas consecutivas formado por una no elegida seguida de tres elegidas. Hay $10$ posiciones para este bloque, y las $6$ sillas restantes son libres, lo que da $10 \cdot 2^6 = 640.$

Esto cuenta una vez por cada racha máxima de longitud al menos $3.$ Dos rachas de este tipo requieren al menos $3 + 3$ sillas elegidas más dos huecos, así que tres rachas son imposibles, y los subconjuntos con exactamente dos rachas se cuentan dos veces. Para tener dos rachas, coloca dos bloques disjuntos, cada uno formado por una silla no elegida seguida de tres elegidas: $\frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ maneras (el segundo bloque cabe en $3$ posiciones entre las $6$ sillas restantes), con las últimas $2$ sillas libres, para $15 \cdot 2^2 = 60$ subconjuntos.

El total es $1 + 640 - 60 = 581.$

The full set of $10$ chairs qualifies; count the others by locating each maximal run of at least three adjacent chosen chairs at its clockwise start. Any such subset contains a block of four consecutive chairs that is empty-chosen-chosen-chosen. There are $10$ positions for this block, and the remaining $6$ chairs are free, giving $10 \cdot 2^6 = 640.$

This counts once for each maximal run of length at least $3.$ Two such runs require at least $3 + 3$ chosen chairs plus two gaps, so three runs are impossible, and subsets with exactly two runs are counted twice. To have two runs, place two disjoint empty-chosen-chosen-chosen blocks: $\frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ ways (the second block fits in $3$ positions among the remaining $6$ chairs), with the last $2$ chairs free, for $15 \cdot 2^2 = 60$ subsets.

The total is $1 + 640 - 60 = 581.$

10.

Sea $z$ un número complejo con $|z| = 2014.$ Sea $P$ el polígono en el plano complejo cuyos vértices son $z$ y todo $w$ tal que $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}.$ Entonces el área encerrada por $P$ se puede escribir en la forma $n\sqrt{3},$ donde $n$ es un entero. Halla el residuo cuando $n$ se divide entre $1000.$

Let $z$ be a complex number with $|z| = 2014.$ Let $P$ be the polygon in the complex plane whose vertices are $z$ and every $w$ such that $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}.$ Then the area enclosed by $P$ can be written in the form $n\sqrt{3},$ where $n$ is an integer. Find the remainder when $n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 147

Conceptos:número complejo raíces de la unidad triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Elimina los denominadores en $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ para obtener $z^2 + zw + w^2 = 0$

Clear denominators in $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ to get $z^2 + zw + w^2 = 0$

Pista grande:

Multiplicar por $z - w$ da $w^3 = z^3,$ así que los vértices son $z$ por las raíces cúbicas de la unidad: un triángulo equilátero con circunradio $2014$

Multiplying by $z - w$ gives $w^3 = z^3,$ so the vertices are $z$ times the cube roots of unity: an equilateral triangle with circumradius $2014$

Solución:

Multiplicar $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ por $zw(z+w)$ da $zw = (z+w)^2,$ es decir $z^2 + zw + w^2 = 0.$ Multiplicar por $z - w$ produce $z^3 - w^3 = 0,$ así que $w = \omega z$ o $w = \omega^2 z,$ donde $\omega$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad (y ambas satisfacen efectivamente la ecuación original).

Por tanto $P$ es el triángulo equilátero con vértices $z,$ $\omega z,$ $\omega^2 z,$ inscrito en el círculo de radio $2014.$ Su área es $\frac{3\sqrt{3}}{4}\,(2014)^2 = 3 \cdot 1007^2 \sqrt{3},$ así que $n = 3 \cdot 1007^2 = 3042147.$

El residuo cuando $n$ se divide entre $1000$ es $147.$

Multiplying $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ by $zw(z+w)$ gives $zw = (z+w)^2,$ i.e. $z^2 + zw + w^2 = 0.$ Multiplying by $z - w$ yields $z^3 - w^3 = 0,$ so $w = \omega z$ or $w = \omega^2 z,$ where $\omega$ is a primitive cube root of unity (and both indeed satisfy the original equation).

Thus $P$ is the equilateral triangle with vertices $z,$ $\omega z,$ $\omega^2 z,$ inscribed in the circle of radius $2014.$ Its area is $\frac{3\sqrt{3}}{4}\,(2014)^2 = 3 \cdot 1007^2 \sqrt{3},$ so $n = 3 \cdot 1007^2 = 3042147.$

The remainder when $n$ is divided by $1000$ is $147.$

11.

En $\triangle RED,$ $RD = 1,$ $\angle DRE = 75^\circ$ y $\angle RED = 45^\circ.$ Sea $M$ el punto medio del segmento $\overline{RD}.$ El punto $C$ está sobre el lado $\overline{ED}$ tal que $\overline{RC} \perp \overline{EM}.$ Extiende el segmento $\overline{DE}$ a través de $E$ hasta el punto $A$ tal que $CA = AR.$ Entonces $AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c},$ donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí, y $b$ es un entero positivo. Halla $a + b + c.$

In $\triangle RED,$ $RD = 1,$ $\angle DRE = 75^\circ$ and $\angle RED = 45^\circ.$ Let $M$ be the midpoint of segment $\overline{RD}.$ Point $C$ lies on side $\overline{ED}$ such that $\overline{RC} \perp \overline{EM}.$ Extend segment $\overline{DE}$ through $E$ to point $A$ such that $CA = AR.$ Then $AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers, and $b$ is a positive integer. Find $a + b + c.$

Respuesta

Respuesta: 56

Conceptos:geometría analítica ley de los senos pendiente

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Coloca $D$ en el origen y $E$ sobre el eje $x$ positivo; entonces $R = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)$ y la ley de senos da $DE = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Place $D$ at the origin and $E$ on the positive $x$ -axis; then $R = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)$ and the law of sines gives $DE = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Pista grande:

Las pendientes perpendiculares localizan $C$ sobre el eje $x$ , y $CA = AR$ es una ecuación lineal en la coordenada $x$ de $A$

Perpendicular slopes locate $C$ on the $x$ -axis, and $CA = AR$ is a linear equation in the $x$ -coordinate of $A$

Solución:

Como $\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ$ $= 60^\circ,$ coloca $D = (0,0)$ con $E$ sobre el eje $x$ positivo, de modo que $R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ La ley de senos da $DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2},$ y $M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$

La pendiente de $EM$ es $\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}},$ así que la recta $RC$ tiene pendiente $\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$ Descender desde $R$ en $\frac{\sqrt{3}}{2}$ hasta el eje $x$ nos mueve hacia la izquierda en $\frac{\frac{3}{2}}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22},$ así que $C = (c, 0)$ con $c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.$

Para $A = (t, 0),$ la condición $CA = AR$ se escribe $(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4},$ que es lineal en $t:$ $t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}.$ Entonces $\begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned}$ así que $a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.$

Since $\angle RDE = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ$ $= 60^\circ,$ place $D = (0,0)$ with $E$ on the positive $x$ -axis, so $R = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ The law of sines gives $DE = \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2},$ and $M = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$

The slope of $EM$ is $\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}},$ so line $RC$ has slope $\frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$ Descending from $R$ by $\frac{\sqrt{3}}{2}$ to the $x$ -axis moves us left by $\frac{\frac{3}{2}}{1 + 2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} - 3}{22},$ so $C = (c, 0)$ with $c = \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3} - 3}{22} = \frac{7 - 3\sqrt{3}}{11}.$

For $A = (t, 0),$ the condition $CA = AR$ reads $(t - c)^2 = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4},$ which is linear in $t:$ $t = \frac{1 - c^2}{1 - 2c} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{11}.$ Then $\begin{aligned} AE &= t - \frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ &= \frac{18 + 8\sqrt{3} - 11\sqrt{3} - 11}{22} \\ &= \frac{7 - 3\sqrt{3}}{22} = \frac{7 - \sqrt{27}}{22}, \end{aligned}$ so $a + b + c = 7 + 27 + 22 = 56.$

12.

Supón que los ángulos de $\triangle ABC$ satisfacen $\cos(3A) + \cos(3B)$ $+ \cos(3C) = 1.$ Dos lados del triángulo tienen longitudes $10$ y $13.$ Existe un entero positivo $m$ tal que la máxima longitud posible para el lado restante de $\triangle ABC$ es $\sqrt{m}.$ Halla $m.$

Suppose that the angles of $\triangle ABC$ satisfy $\cos(3A) + \cos(3B)$ $+ \cos(3C) = 1.$ Two sides of the triangle have lengths $10$ and $13.$ There is a positive integer $m$ so that the maximum possible length for the remaining side of $\triangle ABC$ is $\sqrt{m}.$ Find $m.$

Respuesta

Respuesta: 399

Conceptos:identidad trigonométrica factorización ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Escribe $1 - \cos 3A = 2\sin^2 \frac{3A}{2}$ y combina $\cos 3B + \cos 3C$ mediante suma-a-producto; toda la condición se factoriza

Write $1 - \cos 3A = 2\sin^2 \frac{3A}{2}$ and combine $\cos 3B + \cos 3C$ by sum-to-product; the whole condition factors

Pista grande:

Un ángulo debe ser igual a $120^\circ.$ El lado restante es el más largo cuando ese ángulo se encuentra entre los lados de longitudes $10$ y $13.$

One angle must equal $120^\circ.$ The remaining side is longest when that angle lies between the sides of lengths $10$ and $13.$

Solución:

Usando $1 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2}$ y $\cos 3B + \cos 3C =$ $2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2},$ junto con $\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2}$ de modo que $\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2},$ la condición se convierte en $\begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}$

Para un ángulo $X$ de un triángulo, $\frac{3X}{2}$ está estrictamente entre $0^\circ$ y $270^\circ,$ así que $\sin\frac{3X}{2} = 0$ exactamente cuando $X = 120^\circ.$ Por tanto un ángulo del triángulo es $120^\circ.$

El lado restante es el más largo cuando el ángulo de $120^\circ$ se sitúa entre los lados de longitudes $10$ y $13$ (si $120^\circ$ estuviera opuesto a uno de ellos, el lado restante sería más corto que ese lado). Por la ley de cosenos su longitud es $\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399},$ así que $m = 399.$

Using $1 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2}$ and $\cos 3B + \cos 3C =$ $2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2},$ together with $\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2}$ so that $\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2},$ the condition becomes $\begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}$

For an angle $X$ of a triangle, $\frac{3X}{2}$ lies strictly between $0^\circ$ and $270^\circ,$ so $\sin\frac{3X}{2} = 0$ exactly when $X = 120^\circ.$ Hence one angle of the triangle is $120^\circ.$

The remaining side is longest when the $120^\circ$ angle sits between the sides of lengths $10$ and $13$ (if $120^\circ$ were opposite one of them, the remaining side would be shorter than that side). By the law of cosines its length is $\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399},$ so $m = 399.$

13.

Diez adultos entran en una habitación, se quitan los zapatos y arrojan sus zapatos a un montón. Después, un niño empareja al azar cada zapato izquierdo con un zapato derecho sin tener en cuenta qué zapatos van juntos. La probabilidad de que, para todo entero positivo $k \lt 5,$ ninguna colección de $k$ pares formados por el niño contenga los zapatos de exactamente $k$ de los adultos es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Ten adults enter a room, remove their shoes, and toss their shoes into a pile. Later, a child randomly pairs each left shoe with a right shoe without regard to which shoes belong together. The probability that for every positive integer $k \lt 5,$ no collection of $k$ pairs made by the child contains the shoes from exactly $k$ of the adults is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 28

Conceptos:permutaciones probabilidad básica

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Emparejar el zapato izquierdo $j$ con el zapato derecho $\pi(j)$ define una permutación aleatoria; una colección de $k$ pares que usa los zapatos de exactamente $k$ adultos es una unión de ciclos

Pairing left shoe $j$ with right shoe $\pi(j)$ defines a random permutation; a collection of $k$ pairs using exactly $k$ adults’ shoes is a union of cycles

Pista grande:

La condición dice que todo ciclo de $\pi$ tiene longitud al menos $5:$ cuenta los $10$ -ciclos y los productos de dos $5$ -ciclos

The condition says every cycle of $\pi$ has length at least $5:$ count $10$ -cycles and products of two $5$ -cycles

Solución:

El emparejamiento del niño hace corresponder el zapato izquierdo $j$ con el zapato derecho $\pi(j)$ para una permutación uniformemente aleatoria $\pi$ de $\{1, \ldots, 10\}.$ Una colección de $k$ pares usa $k$ zapatos izquierdos y $k$ derechos, así que involucra exactamente $k$ adultos precisamente cuando los índices de esos adultos forman un conjunto cerrado bajo $\pi$ , es decir, cuando la colección es una unión de ciclos de $\pi.$ Por tanto la condición dice que $\pi$ no tiene ningún ciclo de longitud menor que $5.$

Las longitudes de los ciclos deben partir $10$ en partes de tamaño al menos $5:$ o bien un $10$ -ciclo o bien dos $5$ -ciclos. Hay $9!$ ciclos de diez, y $\frac{1}{2}\binom{10}{5}(4!)^2 = \frac{9!}{5}$ permutaciones que son productos de dos $5$ -ciclos.

La probabilidad es $\frac{9! + \frac{1}{5} \cdot 9!}{10!} = \frac{1 + \frac{1}{5}}{10} = \frac{3}{25},$ así que $m + n = 3 + 25 = 28.$

The child’s pairing matches left shoe $j$ with right shoe $\pi(j)$ for a uniformly random permutation $\pi$ of $\{1, \ldots, 10\}.$ A collection of $k$ pairs uses $k$ left and $k$ right shoes, so it involves exactly $k$ adults precisely when those adults’ indices are closed under $\pi$ — that is, when the collection is a union of cycles of $\pi.$ The condition therefore says $\pi$ has no cycle of length less than $5.$

The cycle lengths must partition $10$ into parts of size at least $5:$ either one $10$ -cycle or two $5$ -cycles. There are $9!$ ten-cycles, and $\frac{1}{2}\binom{10}{5}(4!)^2 = \frac{9!}{5}$ permutations that are products of two $5$ -cycles.

The probability is $\frac{9! + \frac{1}{5} \cdot 9!}{10!} = \frac{1 + \frac{1}{5}}{10} = \frac{3}{25},$ so $m + n = 3 + 25 = 28.$

14.

En $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $\angle A = 30^\circ,$ y $\angle C = 45^\circ.$ Sean $H,$ $D,$ y $M$ puntos sobre la recta $\overline{BC}$ tales que $\overline{AH} \perp \overline{BC},$ $\angle BAD = \angle CAD,$ y $BM = CM.$ El punto $N$ es el punto medio del segmento $\overline{HM},$ y el punto $P$ está sobre el rayo $AD$ tal que $\overline{PN} \perp \overline{BC}.$ Entonces $AP^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $\angle A = 30^\circ,$ and $\angle C = 45^\circ.$ Let $H,$ $D,$ and $M$ be points on line $\overline{BC}$ such that $\overline{AH} \perp \overline{BC},$ $\angle BAD = \angle CAD,$ and $BM = CM.$ Point $N$ is the midpoint of segment $\overline{HM},$ and point $P$ is on ray $AD$ such that $\overline{PN} \perp \overline{BC}.$ Then $AP^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 77

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio bisectriz ley de los senos punto medio

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Extiende el rayo $AD$ hasta el circuncírculo: vuelve a cortarlo en el punto medio $E$ del arco $BC,$ cuya proyección sobre la recta $BC$ es exactamente $M$

Extend ray $AD$ to the circumcircle: it meets it at the midpoint $E$ of arc $BC,$ whose projection onto line $BC$ is exactly $M$

Pista grande:

Como $N$ es el punto medio de $\overline{HM},$ $P$ es el punto medio de $\overline{AE}.$ Halla $AE$ a partir del triángulo $ABE$ con la ley de senos.

Since $N$ is the midpoint of $\overline{HM},$ $P$ is the midpoint of $\overline{AE}.$ Find $AE$ from triangle $ABE$ with the law of sines.

Solución:

Sea $E$ el segundo punto en que el rayo $AD$ corta el circuncírculo de $\triangle ABC.$ Como $AD$ bisecta el ángulo $A,$ el punto $E$ es el punto medio del arco $BC,$ así que $E$ está sobre la mediatriz de $\overline{BC}$ y se proyecta sobre la recta $BC$ en $M.$ Las proyecciones de los puntos colineales $A,$ $P,$ $E$ sobre la recta $BC$ son $H,$ $N,$ $M,$ y la proyección conserva las razones a lo largo de una recta; como $N$ es el punto medio de $\overline{HM},$ el punto $P$ es el punto medio de $\overline{AE}.$

Aquí $\angle B = 105^\circ,$ y $\angle CBE = \angle CAE = 15^\circ$ (ambos subtienden el arco $CE$ ), así que $\angle ABE = 120^\circ.$ Además $\angle AEB = \angle ACB = 45^\circ$ (ambos subtienden el arco $AB$ ). La ley de senos en $\triangle ABE$ da $\begin{aligned} AE &= AB \cdot \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB} \\ &= 10 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6}. \end{aligned}$

Por tanto $AP = \frac{1}{2} AE = \frac{5\sqrt{6}}{2},$ así que $AP^2 = \frac{75}{2}$ y $m + n = 75 + 2 = 77.$

Let ray $AD$ meet the circumcircle of $\triangle ABC$ again at $E.$ Since $AD$ bisects angle $A,$ the point $E$ is the midpoint of arc $BC,$ so $E$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{BC}$ and projects onto line $BC$ at $M.$ The projections of the collinear points $A,$ $P,$ $E$ onto line $BC$ are $H,$ $N,$ $M,$ and projection preserves ratios along a line; since $N$ is the midpoint of $\overline{HM},$ point $P$ is the midpoint of $\overline{AE}.$

Here $\angle B = 105^\circ,$ and $\angle CBE = \angle CAE = 15^\circ$ (both subtend arc $CE$ ), so $\angle ABE = 120^\circ.$ Also $\angle AEB = \angle ACB = 45^\circ$ (both subtend arc $AB$ ). The law of sines in $\triangle ABE$ gives $\begin{aligned} AE &= AB \cdot \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB} \\ &= 10 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6}. \end{aligned}$

Therefore $AP = \frac{1}{2} AE = \frac{5\sqrt{6}}{2},$ so $AP^2 = \frac{75}{2}$ and $m + n = 75 + 2 = 77.$

15.

Para cualquier entero $k \ge 1,$ sea $p(k)$ el menor primo que no divide a $k.$ Define la función entera $X(k)$ como el producto de todos los primos menores que $p(k)$ si $p(k) \gt 2,$ y $X(k) = 1$ si $p(k) = 2.$ Sea $\{x_n\}$ la sucesión definida por $x_0 = 1,$ y $x_{n+1} X(x_n) = x_n p(x_n)$ para $n \ge 0.$ Halla el menor entero positivo $t$ tal que $x_t = 2090.$

For any integer $k \ge 1,$ let $p(k)$ be the smallest prime which does not divide $k.$ Define the integer function $X(k)$ to be the product of all primes less than $p(k)$ if $p(k) \gt 2,$ and $X(k) = 1$ if $p(k) = 2.$ Let $\{x_n\}$ be the sequence defined by $x_0 = 1,$ and $x_{n+1} X(x_n) = x_n p(x_n)$ for $n \ge 0.$ Find the smallest positive integer $t$ such that $x_t = 2090.$

Respuesta

Respuesta: 149

Conceptos:primo base numérica recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Calcula $x_1$ hasta $x_8$ y factoriza cada uno; compara el conjunto de primos que aparecen en $x_n$ con los dígitos binarios de $n$

Compute $x_1$ through $x_8$ and factor each; compare the set of primes appearing in $x_n$ with the binary digits of $n$

Pista grande:

La recursión es un conteo binario: dividir entre $X(x_n)$ elimina los bits finales iguales a uno, representados por primos, y multiplicar por $p(x_n)$ lleva un $1$ al siguiente bit

The recursion is binary counting: dividing by $X(x_n)$ clears the trailing prime “ones” and multiplying by $p(x_n)$ carries a $1$ into the next bit

Solución:

Enumera los primos en orden como $\rho_0 = 2,$ $\rho_1 = 3,$ $\rho_2 = 5, \ldots.$ Cada $x_n$ es libre de cuadrados, así que queda descrito por el conjunto de primos que lo dividen, y afirmamos que este conjunto codifica $n$ en binario: si $n = \sum_i d_i 2^i$ con $d_i \in \{0, 1\},$ entonces $x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}.$

En efecto, supón que $x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}$ y sea $j$ el menor índice con $d_j = 0.$ Entonces $p(x_n) = \rho_j,$ y $X(x_n) = \rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}$ es exactamente el producto de los primos que representan los bits finales iguales a $1$ (con $X(x_n) = 1$ cuando $j = 0$ ). Así $x_{n+1} = \frac{x_n \, \rho_j}{\rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}}$ elimina los unos finales e inserta $\rho_j$ , que es precisamente sumar $1$ en binario. Como $x_0 = 1$ corresponde a $0,$ la inducción demuestra la afirmación.

Ahora $2090 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 = \rho_0 \rho_2 \rho_4 \rho_7,$ que corresponde a dígitos binarios en las posiciones $0,$ $2,$ $4,$ $7.$ Por tanto $t = 2^0 + 2^2 + 2^4 + 2^7 = 149.$

List the primes in order as $\rho_0 = 2,$ $\rho_1 = 3,$ $\rho_2 = 5, \ldots.$ Every $x_n$ is squarefree, so it is described by the set of primes dividing it, and we claim this set encodes $n$ in binary: if $n = \sum_i d_i 2^i$ with $d_i \in \{0, 1\},$ then $x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}.$

Indeed, suppose $x_n = \prod_i \rho_i^{d_i}$ and let $j$ be the smallest index with $d_j = 0.$ Then $p(x_n) = \rho_j,$ and $X(x_n) = \rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}$ is exactly the product of the primes for the trailing $1$ -bits (with $X(x_n) = 1$ when $j = 0$ ). So $x_{n+1} = \frac{x_n \, \rho_j}{\rho_0 \rho_1 \cdots \rho_{j-1}}$ removes the trailing ones and inserts $\rho_j$ — precisely adding $1$ in binary. Since $x_0 = 1$ corresponds to $0,$ induction proves the claim.

Now $2090 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 = \rho_0 \rho_2 \rho_4 \rho_7,$ which corresponds to binary digits at positions $0,$ $2,$ $4,$ $7.$ Hence $t = 2^0 + 2^2 + 2^4 + 2^7 = 149.$

Problemas del 2014 AIME II

Respuesta: 334

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 76

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 720

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 447

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 420

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 167

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 21

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 254

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 581

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 147

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 56

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 399

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 28

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 77

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 149

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: