Question

Un rectángulo tiene lados de longitud $a$ y $36.$ Se instala una bisagra en cada vértice del rectángulo y en el punto medio de cada lado de longitud $36.$ Los lados de longitud $a$ se pueden presionar uno hacia el otro manteniendo esos dos lados paralelos, de modo que el rectángulo se convierte en un hexágono convexo como se muestra. Cuando la figura es un hexágono con los lados de longitud $a$ paralelos y separados por una distancia de $24,$ el hexágono tiene la misma área que el rectángulo original. Halla $a^2.$

A rectangle has sides of length $a$ and $36.$ A hinge is installed at each vertex of the rectangle and at the midpoint of each side of length $36.$ The sides of length $a$ can be pressed toward each other keeping those two sides parallel so the rectangle becomes a convex hexagon as shown. When the figure is a hexagon with the sides of length $a$ parallel and separated by a distance of $24,$ the hexagon has the same area as the original rectangle. Find $a^2.$

Respuesta

Solución:

En el hexágono, cada lado de longitud $36$ se ha plegado en su punto medio en dos barras de longitud $18.$ Los dos lados de longitud $a$ están separados por $24$ , así que cada barra abarca una distancia vertical de $12$ y por tanto una distancia horizontal de $\sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$

La recta que pasa por las dos bisagras de los puntos medios divide el hexágono en dos trapecios congruentes con lados paralelos $a$ y $a + 12\sqrt{5}$ y altura $12,$ así que el hexágono tiene área $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{a + (a + 12\sqrt{5})}{2} \cdot 12 \\ &= 24a + 144\sqrt{5}. \end{aligned}$

Igualando esto al área del rectángulo $36a$ se obtiene $12a = 144\sqrt{5},$ así que $a = 12\sqrt{5}$ y $a^2 = 720.$

In the hexagon, each side of length $36$ has folded at its midpoint into two bars of length $18.$ The two sides of length $a$ are $24$ apart, so each bar spans a vertical distance of $12$ and hence a horizontal distance of $\sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$

The line through the two midpoint hinges splits the hexagon into two congruent trapezoids with parallel sides $a$ and $a + 12\sqrt{5}$ and height $12,$ so the hexagon has area $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{a + (a + 12\sqrt{5})}{2} \cdot 12 \\ &= 24a + 144\sqrt{5}. \end{aligned}$

Setting this equal to the rectangle's area $36a$ gives $12a = 144\sqrt{5},$ so $a = 12\sqrt{5}$ and $a^2 = 720.$

2014 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años