Question

Un hemisferio de radio $200$ se apoya sobre un disco circular horizontal de radio $200,$ y el hemisferio y el disco tienen el mismo centro. Sea $\mathcal{T}$ la región de puntos $P$ en el disco tales que una esfera de radio $42$ puede colocarse sobre el disco en $P$ y quedar completamente dentro del hemisferio. El área de $\mathcal{T}$ dividida por el área del disco es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $p + q.$

A hemisphere with radius $200$ sits on top of a horizontal circular disk with radius $200,$ and the hemisphere and disk have the same center. Let $\mathcal{T}$ be the region of points $P$ in the disk such that a sphere of radius $42$ can be placed on top of the disk at $P$ and lie completely inside the hemisphere. The area of $\mathcal{T}$ divided by the area of the disk is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Una esfera de radio $42$ que descansa sobre el disco en $P$ tiene su centro $42$ directamente encima de $P.$ Queda dentro del hemisferio de radio $200$ exactamente cuando su centro está a lo sumo a $200 - 42 = 158$ del centro común $O.$ Si $d$ es la distancia de $O$ a $P,$ el centro de la esfera está a distancia $\sqrt{d^2 + 42^2}$ de $O,$ así que la condición es $d^2 + 42^2 \le 158^2.$

Por diferencia de cuadrados, $d^2 \le 158^2 - 42^2$ $= 116 \cdot 200$ $= 23200.$ Así $\mathcal{T}$ es un disco de radio $\sqrt{23200},$ y la razón de áreas es $\frac{23200}{200^2} = \frac{23200}{40000} = \frac{29}{50}.$ Por lo tanto $p + q = 29 + 50 = 79.$

A sphere of radius $42$ resting on the disk at $P$ has its center $42$ directly above $P.$ It lies inside the hemisphere of radius $200$ exactly when its center is within $200 - 42 = 158$ of the common center $O.$ If $d$ is the distance from $O$ to $P,$ the center of the sphere is at distance $\sqrt{d^2 + 42^2}$ from $O,$ so the condition is $d^2 + 42^2 \le 158^2.$

By difference of squares, $d^2 \le 158^2 - 42^2$ $= 116 \cdot 200$ $= 23200.$ Thus $\mathcal{T}$ is a disk of radius $\sqrt{23200},$ and the ratio of areas is $\frac{23200}{200^2} = \frac{23200}{40000} = \frac{29}{50}.$ Therefore $p + q = 29 + 50 = 79.$

2026 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años