Question

Halla la cantidad de números racionales $r,$ con $0 \lt r \lt 1,$ tales que cuando $r$ se escribe como una fracción en su forma irreducible, el numerador y el denominador suman $1000.$

Find the number of rational numbers $r,$ $0 \lt r \lt 1,$ such that when $r$ is written as a fraction in lowest terms, the numerator and the denominator have a sum of $1000.$

Respuesta

Solución:

Escribe $r = \frac{a}{b}$ en su forma irreducible con $a + b = 1000;$ como $0 \lt r \lt 1,$ necesitamos $1 \le a \le 499.$ Dado que $\gcd(a, b) = \gcd(a, 1000 - a)$ $= \gcd(a, 1000),$ la fracción es irreducible exactamente cuando $a$ es coprimo con $1000.$

Hay $\varphi(1000) = 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 400$ enteros en $[1, 999]$ coprimos con $1000,$ y se emparejan como $a \leftrightarrow 1000 - a$ (nótese que $a = 500$ no es coprimo con $1000$ ), así que exactamente $200$ de ellos son menores que $500.$ La respuesta es $200.$

Write $r = \frac{a}{b}$ in lowest terms with $a + b = 1000;$ since $0 \lt r \lt 1,$ we need $1 \le a \le 499.$ Because $\gcd(a, b) = \gcd(a, 1000 - a)$ $= \gcd(a, 1000),$ the fraction is in lowest terms exactly when $a$ is coprime to $1000.$

There are $\varphi(1000) = 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 400$ integers in $[1, 999]$ coprime to $1000,$ and they pair up as $a \leftrightarrow 1000 - a$ (note $a = 500$ is not coprime to $1000$ ), so exactly $200$ of them are less than $500.$ The answer is $200.$

2014 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años