Question

Halla el menor entero positivo tal que, al borrar su dígito más a la izquierda, el entero resultante sea $\frac{1}{29}$ del entero original.

Find the least positive integer such that when its leftmost digit is deleted, the resulting integer is $\frac{1}{29}$ of the original integer.

Respuesta

Respuesta: 725

Conceptos:dígitos valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Si el dígito más a la izquierda $d$ ocupa la posición $10^p$ y queda $n$ tras borrarlo, entonces $d \cdot 10^p + n = 29n$

If the leftmost digit $d$ sits in the $10^p$ place and $n$ remains after deleting it, then $d \cdot 10^p + n = 29n$

Pista grande:

$d \cdot 10^p = 28n$ obliga a que $d$ sea divisible por $7,$ así que $d = 7$ y $10^p = 4n$

$d \cdot 10^p = 28n$ forces $d$ to be divisible by $7,$ so $d = 7$ and $10^p = 4n$

Solución:

Sea $d$ el dígito más a la izquierda y $n$ el entero que queda tras borrarlo, de modo que el entero original es $d \cdot 10^p + n$ para algún entero positivo $p.$ La condición dice que $d \cdot 10^p + n = 29n,$ así que $d \cdot 10^p = 28n.$

Como $28n$ es divisible por $7$ pero $10^p$ no lo es, el dígito $d$ debe ser múltiplo de $7,$ así que $d = 7.$ Entonces $10^p = 4n,$ lo que da $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ que requiere $p \ge 2.$ El caso más pequeño es $p = 2,$ $n = 25.$

El menor entero de este tipo es $725,$ y en efecto $725 = 29 \cdot 25.$

Let $d$ be the leftmost digit and $n$ the integer that remains after deleting it, so the original integer is $d \cdot 10^p + n$ for some positive integer $p.$ The condition says $d \cdot 10^p + n = 29n,$ so $d \cdot 10^p = 28n.$

Since $28n$ is divisible by $7$ but $10^p$ is not, the digit $d$ must be a multiple of $7,$ so $d = 7.$ Then $10^p = 4n,$ giving $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ which requires $p \ge 2.$ The smallest case is $p = 2,$ $n = 25.$

The least such integer is $725,$ and indeed $725 = 29 \cdot 25.$

2006 AIME I Problema 3

Respuesta: 725

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años