Question

Halla el menor entero positivo tal que, al borrar su dígito más a la izquierda, el entero resultante sea $\frac{1}{29}$ del entero original.

Find the least positive integer such that when its leftmost digit is deleted, the resulting integer is $\frac{1}{29}$ of the original integer.

Respuesta

Solución:

Sea $d$ el dígito más a la izquierda y $n$ el entero que queda tras borrarlo, de modo que el entero original es $d \cdot 10^p + n$ para algún entero positivo $p.$ La condición dice que $d \cdot 10^p + n = 29n,$ así que $d \cdot 10^p = 28n.$

Como $7 \mid 28n$ pero $7 \nmid 10^p,$ el dígito $d$ debe ser múltiplo de $7,$ así que $d = 7.$ Entonces $10^p = 4n,$ lo que da $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ que requiere $p \ge 2.$ El caso más pequeño es $p = 2,$ $n = 25.$

El menor entero de este tipo es $725,$ y en efecto $725 = 29 \cdot 25.$

Let $d$ be the leftmost digit and $n$ the integer that remains after deleting it, so the original integer is $d \cdot 10^p + n$ for some positive integer $p.$ The condition says $d \cdot 10^p + n = 29n,$ so $d \cdot 10^p = 28n.$

Since $7 \mid 28n$ but $7 \nmid 10^p,$ the digit $d$ must be a multiple of $7,$ so $d = 7.$ Then $10^p = 4n,$ giving $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ which requires $p \ge 2.$ The smallest case is $p = 2,$ $n = 25.$

The least such integer is $725,$ and indeed $725 = 29 \cdot 25.$

2006 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años