Question

Las medidas en grados de los ángulos de un polígono convexo de $18$ lados forman una sucesión aritmética creciente con valores enteros. Halla la medida en grados del ángulo más pequeño.

The degree measures of the angles of a convex $18$ -sided polygon form an increasing arithmetic sequence with integer values. Find the degree measure of the smallest angle.

Respuesta

Respuesta: 143

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética paridad

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Los ángulos interiores de un $18$ -ágono suman $180 \cdot 16 = 2880$ grados.

The interior angles of an $18$ -gon sum to $180 \cdot 16 = 2880$ degrees

Pista grande:

Con ángulo más pequeño $a$ y diferencia común $d,$ $2a + 17d = 320,$ así que $d$ es par; la convexidad limita el ángulo más grande por debajo de $180$ .

With smallest angle $a$ and common difference $d,$ $2a + 17d = 320,$ so $d$ is even; convexity caps the largest angle below $180$

Solución:

Los ángulos interiores de un $18$ -ágono suman $180 \cdot 16 = 2880$ grados. Si el ángulo más pequeño es $a$ y la diferencia común es $d,$ entonces $18a + 153d = 2880,$ es decir $2a + 17d = 320.$ Como $a$ y $d$ son enteros, $17d$ debe ser par, así que $d$ es par, y $d \ge 2$ porque la sucesión es creciente.

La convexidad requiere que el ángulo más grande $a + 17d = \frac{320 + 17d}{2}$ sea menor que $180,$ así que $17d \lt 40$ y $d \le 2.$ Por lo tanto $d = 2$ y $a = \frac{320 - 34}{2} = 143.$

The interior angles of an $18$ -gon sum to $180 \cdot 16 = 2880$ degrees. If the smallest angle is $a$ and the common difference is $d,$ then $18a + 153d = 2880,$ i.e. $2a + 17d = 320.$ Since $a$ and $d$ are integers, $17d$ must be even, so $d$ is even, and $d \ge 2$ because the sequence is increasing.

Convexity requires the largest angle $a + 17d = \frac{320 + 17d}{2}$ to be less than $180,$ so $17d \lt 40$ and $d \le 2.$ Thus $d = 2$ and $a = \frac{320 - 34}{2} = 143.$

2011 AIME II Problema 3

Respuesta: 143

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años