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1998 AIME Problema 3

Intenta el Problema 3 del 1998 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1998 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

3.

La gráfica de y2+2xy+40∣x∣=400y^2 + 2xy + 40|x| = 400 divide el plano en varias regiones. ¿Cuál es el área de la región acotada?
The graph of y2+2xy+40∣x∣=400y^2 + 2xy + 40|x| = 400 partitions the plane into several regions. What is the area of the bounded region?
Respuesta: 800
Conceptos:valor absolutogeometría analíticafactorizaciónparalelogramo
Nivel de dificultad: 2340
Pista pequeña:
Para x≥0x \ge 0, la ecuación se reordena como 2x(y+20)=400−y2,2x(y + 20) = 400 - y^2, y el lado derecho se factoriza
For x≥0x \ge 0 the equation rearranges to 2x(y+20)=400−y2,2x(y + 20) = 400 - y^2, and the right side factors
Pista grande:
Cada caso de signo produce dos rectas; los cuatro rayos acotan un paralelogramo con lados horizontales en y=20y = 20 y y=−20y = -20
Each sign case yields two lines; the four rays bound a parallelogram with horizontal sides on y=20y = 20 and y=−20y = -20
Solución:
Para x≥0x \ge 0, reescribe la ecuación como 2x(y+20)2x(y + 20) =400−y2= 400 - y^2 =(20−y)(20+y),= (20 - y)(20 + y), de modo que y=−20y = -20 o y=20−2x.y = 20 - 2x. Para x≤0x \le 0 se vuelve 2x(y−20)=−(y−20)(y+20),2x(y - 20) = -(y - 20)(y + 20), de modo que y=20y = 20 o y=−20−2x.y = -20 - 2x. Por lo tanto, la gráfica consta de dos rayos horizontales y dos rayos de pendiente −2.-2.
Estos rayos acotan un paralelogramo: el lado superior va de (−20,20)(-20, 20) a (0,20)(0, 20) a lo largo de y=20,y = 20, el lado inferior de (0,−20)(0, -20) a (20,−20)(20, -20) a lo largo de y=−20,y = -20, y los dos lados inclinados de pendiente −2-2 los conectan.
El paralelogramo tiene base horizontal 2020 y altura 4040 entre las rectas y=20y = 20 y y=−20,y = -20, así que su área es 20⋅40=800.20 \cdot 40 = 800.
For x≥0x \ge 0 rewrite the equation as 2x(y+20)2x(y + 20) =400−y2= 400 - y^2 =(20−y)(20+y),= (20 - y)(20 + y), so either y=−20y = -20 or y=20−2x.y = 20 - 2x. For x≤0x \le 0 it becomes 2x(y−20)=−(y−20)(y+20),2x(y - 20) = -(y - 20)(y + 20), so either y=20y = 20 or y=−20−2x.y = -20 - 2x. The graph therefore consists of two horizontal rays and two rays of slope −2.-2.
These rays bound a parallelogram: the top edge runs from (−20,20)(-20, 20) to (0,20)(0, 20) along y=20,y = 20, the bottom edge from (0,−20)(0, -20) to (20,−20)(20, -20) along y=−20,y = -20, and the two slanted edges of slope −2-2 connect them.
The parallelogram has horizontal base 2020 and height 4040 between the lines y=20y = 20 and y=−20,y = -20, so its area is 20⋅40=800.20 \cdot 40 = 800.
Problema 2#2
Examen completo
Problema 4#4

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