Question

La gráfica de $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ divide el plano en varias regiones. ¿Cuál es el área de la región acotada?

The graph of $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ partitions the plane into several regions. What is the area of the bounded region?

Respuesta

Solución:

Para $x \ge 0$ , reescribe la ecuación como $2x(y + 20)$ $= 400 - y^2$ $= (20 - y)(20 + y)$ , de modo que $y = -20$ o $y = 20 - 2x$ . Para $x \le 0$ se vuelve $2x(y - 20) = -(y - 20)(y + 20)$ , de modo que $y = 20$ o $y = -20 - 2x$ . Por lo tanto, la gráfica consta de dos rayos horizontales y dos rayos de pendiente $-2$ .

Estos rayos acotan un paralelogramo: el lado superior va de $(-20, 20)$ a $(0, 20)$ a lo largo de $y = 20$ , el lado inferior de $(0, -20)$ a $(20, -20)$ a lo largo de $y = -20$ , y los dos lados inclinados de pendiente $-2$ los conectan.

El paralelogramo tiene base horizontal $20$ y altura $40$ entre las rectas $y = 20$ y $y = -20$ , así que su área es $20 \cdot 40 = 800$ .

For $x \ge 0$ rewrite the equation as $2x(y + 20)$ $= 400 - y^2$ $= (20 - y)(20 + y),$ so either $y = -20$ or $y = 20 - 2x.$ For $x \le 0$ it becomes $2x(y - 20) = -(y - 20)(y + 20),$ so either $y = 20$ or $y = -20 - 2x.$ The graph therefore consists of two horizontal rays and two rays of slope $-2.$

These rays bound a parallelogram: the top edge runs from $(-20, 20)$ to $(0, 20)$ along $y = 20,$ the bottom edge from $(0, -20)$ to $(20, -20)$ along $y = -20,$ and the two slanted edges of slope $-2$ connect them.

The parallelogram has horizontal base $20$ and height $40$ between the lines $y = 20$ and $y = -20,$ so its area is $20 \cdot 40 = 800.$

1998 AIME Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años