Question

Halla la suma de las raíces, reales y no reales, de la ecuación $x^{2001} + \left(\tfrac{1}{2} - x\right)^{2001} = 0,$ sabiendo que no hay raíces múltiples.

Find the sum of the roots, real and non-real, of the equation $x^{2001} + \left(\tfrac{1}{2} - x\right)^{2001} = 0,$ given that there are no multiple roots.

Respuesta

Solución:

Desarrolla $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ mediante el teorema del binomio. Su término principal $(-x)^{2001} = -x^{2001}$ cancela el $x^{2001}$ de la ecuación, de modo que lo que queda es un polinomio de grado $2000:$ $\begin{aligned} &2001 \cdot \frac{1}{2}\,x^{2000} \\ &\quad {}- \binom{2001}{2}\frac{1}{4}\,x^{1999} + \cdots = 0. \end{aligned}$

Por las fórmulas de Vieta, la suma de las $2000$ raíces es $\begin{aligned} \frac{\binom{2001}{2}/4}{2001/2} &= \frac{2001 \cdot 2000/8}{2001/2} \\ &= \frac{2000}{4} = 500. \end{aligned}$

Expand $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ by the binomial theorem. Its leading term $(-x)^{2001} = -x^{2001}$ cancels the $x^{2001}$ in the equation, so what remains is a polynomial of degree $2000:$ $\begin{aligned} &2001 \cdot \frac{1}{2}\,x^{2000} \\ &\quad {}- \binom{2001}{2}\frac{1}{4}\,x^{1999} + \cdots = 0. \end{aligned}$

By Vieta's formulas, the sum of the $2000$ roots is $\begin{aligned} \frac{\binom{2001}{2}/4}{2001/2} &= \frac{2001 \cdot 2000/8}{2001/2} \\ &= \frac{2000}{4} = 500. \end{aligned}$

2001 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años