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2001 AIME I Problema 4

Intenta el Problema 4 del 2001 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

4.

En el triángulo ABC,ABC, los ángulos AA y BB miden 6060 grados y 4545 grados, respectivamente. La bisectriz del ángulo AA corta a BC‾\overline{BC} en T,T, y AT=24.AT = 24. El área del triángulo ABCABC puede escribirse en la forma a+bc,a + b\sqrt{c}, donde a,a, b,b, y cc son enteros positivos, y cc no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla a+b+c.a + b + c.
In triangle ABC,ABC, angles AA and BB measure 6060 degrees and 4545 degrees, respectively. The bisector of angle AA intersects BC‾\overline{BC} at T,T, and AT=24.AT = 24. The area of triangle ABCABC can be written in the form a+bc,a + b\sqrt{c}, where a,a, b,b, and cc are positive integers, and cc is not divisible by the square of any prime. Find a+b+c.a + b + c.
Respuesta: 291
Conceptos:persecución de ángulostriángulo isóscelestriángulo rectángulo especialárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:
∠C=75∘\angle C = 75^\circ y ∠ATC=75∘\angle ATC = 75^\circ también, así que AC=AT=24AC = AT = 24
∠C=75∘\angle C = 75^\circ and ∠ATC=75∘\angle ATC = 75^\circ too, so AC=AT=24AC = AT = 24
Pista grande:
Traza la altura desde CC hasta AB‾:\overline{AB}: divide a ABCABC en un triángulo 3030-6060-9090 y un triángulo 4545-4545-9090
Drop the altitude from CC to AB‾:\overline{AB}: it cuts ABCABC into a 3030-6060-9090 triangle and a 4545-4545-9090 triangle
Solución:
Como ∠A=60∘\angle A = 60^\circ y ∠B=45∘,\angle B = 45^\circ, tenemos ∠C=75∘.\angle C = 75^\circ. En el triángulo ATC,ATC, el ángulo TAC=30∘TAC = 30^\circ (la mitad del ángulo AA), así que ∠ATC=180∘−30∘−75∘\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ =75∘.= 75^\circ. Por lo tanto el triángulo ACTACT es isósceles con AC=AT=24.AC = AT = 24.
Traza la altura CHCH hasta AB‾.\overline{AB}. El triángulo ACHACH es 3030-6060-90,90, así que AH=12AH = 12 y CH=123.CH = 12\sqrt{3}. El triángulo BCHBCH es 4545-4545-90,90, así que BH=CH=123.BH = CH = 12\sqrt{3}.
El área es 12⋅CH⋅AB\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB =12⋅123 (12+123)= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3}) =216+723.= 216 + 72\sqrt{3}. Entonces a+b+c=216+72+3=291.a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291.
Since ∠A=60∘\angle A = 60^\circ and ∠B=45∘,\angle B = 45^\circ, we have ∠C=75∘.\angle C = 75^\circ. In triangle ATC,ATC, angle TAC=30∘TAC = 30^\circ (half of angle AA), so ∠ATC=180∘−30∘−75∘\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ =75∘.= 75^\circ. Thus triangle ACTACT is isosceles with AC=AT=24.AC = AT = 24.
Drop the altitude CHCH to AB‾.\overline{AB}. Triangle ACHACH is 3030-6060-90,90, so AH=12AH = 12 and CH=123.CH = 12\sqrt{3}. Triangle BCHBCH is 4545-4545-90,90, so BH=CH=123.BH = CH = 12\sqrt{3}.
The area is 12⋅CH⋅AB\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB =12⋅123 (12+123)= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3}) =216+723.= 216 + 72\sqrt{3}. Then a+b+c=216+72+3=291.a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291.
Problema 3#3
Examen completo
Problema 5#5

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