Question

En el triángulo $ABC,$ los ángulos $A$ y $B$ miden $60$ grados y $45$ grados, respectivamente. La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en $T,$ y $AT = 24.$ El área del triángulo $ABC$ puede escribirse en la forma $a + b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

In triangle $ABC,$ angles $A$ and $B$ measure $60$ degrees and $45$ degrees, respectively. The bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at $T,$ and $AT = 24.$ The area of triangle $ABC$ can be written in the form $a + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Como $\angle A = 60^\circ$ y $\angle B = 45^\circ,$ tenemos $\angle C = 75^\circ.$ En el triángulo $ATC,$ el ángulo $TAC = 30^\circ$ (la mitad del ángulo $A$ ), así que $\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ$ $= 75^\circ.$ Por lo tanto el triángulo $ACT$ es isósceles con $AC = AT = 24.$

Traza la altura $CH$ hasta $\overline{AB}.$ El triángulo $ACH$ es $30$ - $60$ - $90,$ así que $AH = 12$ y $CH = 12\sqrt{3}.$ El triángulo $BCH$ es $45$ - $45$ - $90,$ así que $BH = CH = 12\sqrt{3}.$

El área es $\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$ $= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3})$ $= 216 + 72\sqrt{3}.$ Entonces $a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291.$

Since $\angle A = 60^\circ$ and $\angle B = 45^\circ,$ we have $\angle C = 75^\circ.$ In triangle $ATC,$ angle $TAC = 30^\circ$ (half of angle $A$ ), so $\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ$ $= 75^\circ.$ Thus triangle $ACT$ is isosceles with $AC = AT = 24.$

Drop the altitude $CH$ to $\overline{AB}.$ Triangle $ACH$ is $30$ - $60$ - $90,$ so $AH = 12$ and $CH = 12\sqrt{3}.$ Triangle $BCH$ is $45$ - $45$ - $90,$ so $BH = CH = 12\sqrt{3}.$

The area is $\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$ $= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3})$ $= 216 + 72\sqrt{3}.$ Then $a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291.$

2001 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años