Question

Para cada entero positivo $n$ sea $f(n)$ el valor del numeral en base diez $n$ visto en base $b,$ donde $b$ es el menor entero mayor que el mayor dígito de $n.$ Por ejemplo, si $n = 72,$ entonces $b = 8,$ y $72$ como numeral en base $8$ es igual a $7 \cdot 8 + 2 = 58;$ por lo tanto $f(72) = 58.$ Halla el número de enteros positivos $n$ menores que $1000$ tales que $f(n) = n.$

For each positive integer $n$ let $f(n)$ be the value of the base-ten numeral $n$ viewed in base $b,$ where $b$ is the least integer greater than the greatest digit in $n.$ For example, if $n = 72,$ then $b = 8,$ and $72$ as a numeral in base $8$ equals $7 \cdot 8 + 2 = 58;$ therefore $f(72) = 58.$ Find the number of positive integers $n$ less than $1000$ such that $f(n) = n.$

Respuesta

Solución:

Si $n$ tiene un solo dígito $d,$ entonces el numeral $d$ tiene valor $d$ en toda base, así que $f(n) = n:$ los $9$ números de un dígito funcionan. Si $n$ tiene dígitos $d_{k-1} \ldots d_1 d_0$ con $k \ge 2,$ entonces siempre $b \le 10$ , y si $b \lt 10$ entonces $f(n) = \sum d_i b^i \lt \sum d_i 10^i = n$ porque el dígito principal cumple $d_{k-1} b^{k-1} \lt d_{k-1} 10^{k-1}.$ Así que un $n$ de varios dígitos cumple $f(n) = n$ exactamente cuando $b = 10,$ es decir, cuando algún dígito de $n$ es igual a $9.$

Números de dos dígitos que contienen un $9:$ los números $90$ hasta $99$ más $19, 29, \ldots, 89,$ para un total de $10 + 8 = 18.$ Números de tres dígitos que contienen un $9:$ $900 - 8 \cdot 9 \cdot 9 = 252,$ restando los números sin ningún $9$ (dígito principal $1$ – $8,$ los demás $0$ – $8$ ).

El total es $9 + 18 + 252 = 279.$

If $n$ has a single digit $d,$ then the numeral $d$ has value $d$ in every base, so $f(n) = n:$ all $9$ one-digit numbers work. If $n$ has digits $d_{k-1} \ldots d_1 d_0$ with $k \ge 2,$ then $b \le 10$ always, and if $b \lt 10$ then $f(n) = \sum d_i b^i \lt \sum d_i 10^i = n$ because the leading digit satisfies $d_{k-1} b^{k-1} \lt d_{k-1} 10^{k-1}.$ So a multi-digit $n$ satisfies $f(n) = n$ exactly when $b = 10,$ that is, when some digit of $n$ equals $9.$

Two-digit numbers containing a $9:$ the numbers $90$ through $99$ plus $19, 29, \ldots, 89,$ for $10 + 8 = 18.$ Three-digit numbers containing a $9:$ $900 - 8 \cdot 9 \cdot 9 = 252,$ subtracting the numbers with no $9$ (leading digit $1$ – $8,$ others $0$ – $8$ ).

The total is $9 + 18 + 252 = 279.$

2026 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años