Question

¿Cuántos enteros positivos menores que $10{,}000$ tienen a lo sumo dos dígitos diferentes?

How many positive integers less than $10{,}000$ have at most two different digits?

Respuesta

Respuesta: 927

Conceptos:dígitos análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Todo número de uno o dos dígitos cumple; cuenta los números de $3$ y de $4$ dígitos según qué posiciones contienen cada uno de los dos dígitos.

Every number with one or two digits qualifies; count $3$ - and $4$ -digit numbers by which positions hold which of two digit values

Pista grande:

Un número de $4$ dígitos con dígito inicial $a$ y otro dígito $b \ne a$ tiene $2^3 - 1 = 7$ patrones, cada uno realizable de $9 \cdot 9$ maneras; suma los $9$ números cuyas cifras son todas iguales.

A $4$ -digit number with leading digit $a$ and second value $b \ne a$ has $2^3 - 1 = 7$ patterns, each in $9 \cdot 9$ ways; add the $9$ numbers whose digits are all equal

Solución:

Todos los $99$ enteros positivos menores que $100$ cumplen. Un número de $3$ dígitos que cumple tiene todas sus cifras iguales ( $9$ posibilidades) o usa un dígito inicial $a \ge 1$ junto con un segundo valor $b \ne a$ en algunas de las dos últimas posiciones: $2^2 - 1 = 3$ patrones, cada uno realizado de $9 \cdot 9$ maneras ( $9$ opciones para $a,$ luego $9$ para $b$ ), lo que da $9 + 3 \cdot 81 = 252$ números.

De manera similar, un número de $4$ dígitos que cumple tiene todas sus cifras iguales ( $9$ posibilidades) o tiene $b \ne a$ apareciendo en un subconjunto no vacío de las tres últimas posiciones: $2^3 - 1 = 7$ patrones, cada uno realizable de $9 \cdot 9$ maneras, lo que da $9 + 7 \cdot 81 = 576$ números.

El total es $99 + 252 + 576 = 927.$

All $99$ positive integers below $100$ qualify. A qualifying $3$ -digit number is either a number whose digits are all equal ( $9$ of them) or uses a leading digit $a \ge 1$ together with a second value $b \ne a$ in some of the last two positions: $2^2 - 1 = 3$ patterns, each realized in $9 \cdot 9$ ways ( $9$ choices for $a,$ then $9$ for $b$ ), for $9 + 3 \cdot 81 = 252$ numbers.

Similarly a qualifying $4$ -digit number has all its digits equal ( $9$ possibilities) or has $b \ne a$ appearing in a nonempty subset of the last three positions: $2^3 - 1 = 7$ patterns, each in $9 \cdot 9$ ways, for $9 + 7 \cdot 81 = 576$ numbers.

The total is $99 + 252 + 576 = 927.$

2004 AIME II Problema 4

Respuesta: 927

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años