Question

En el plano cartesiano sean $A = (1, 0)$ y $B = (2, 2\sqrt{3}).$ Se construye el triángulo equilátero $ABC$ de modo que $C$ quede en el primer cuadrante. Sea $P = (x, y)$ el centro de $\triangle ABC.$ Entonces $x \cdot y$ puede escribirse como $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ donde $p$ y $r$ son enteros positivos primos entre sí y $q$ es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $p + q + r.$

In the Cartesian plane let $A = (1, 0)$ and $B = (2, 2\sqrt{3}).$ Equilateral triangle $ABC$ is constructed so that $C$ lies in the first quadrant. Let $P = (x, y)$ be the center of $\triangle ABC.$ Then $x \cdot y$ can be written as $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ where $p$ and $r$ are relatively prime positive integers and $q$ is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find $p + q + r.$

Respuesta

Solución:

El punto medio de $\overline{AB}$ es $M = \left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right),$ y $AB = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}.$ El tercer vértice está a distancia $\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{13}$ de $M$ en una dirección perpendicular a $\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3});$ una perpendicular unitaria es $\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1).$ Tomando el signo que cae en el primer cuadrante, $\begin{aligned} C &= M + \frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{3}, -1) \\ &= \left(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}$ (la otra opción tiene coordenada $x$ negativa).

El centro de un triángulo equilátero es su baricentro, el promedio de los vértices: $\begin{aligned} P &= \small \left(\frac{1 + 2 + \frac{9}{2}}{3},\ \frac{0 + 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} \right) \\ &= \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{6}\right). \end{aligned}$

Entonces $x \cdot y = \frac{5}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{12},$ así que $p + q + r = 25 + 3 + 12 = 40.$

The midpoint of $\overline{AB}$ is $M = \left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right),$ and $AB = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}.$ The third vertex lies at distance $\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{13}$ from $M$ along a direction perpendicular to $\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3});$ a unit perpendicular is $\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1).$ Taking the sign that lands in the first quadrant, $\begin{aligned} C &= M + \frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{3}, -1) \\ &= \left(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}$ (the other choice has negative $x$ -coordinate).

The center of an equilateral triangle is its centroid, the average of the vertices: $\begin{aligned} P &= \small \left(\frac{1 + 2 + \frac{9}{2}}{3},\ \frac{0 + 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} \right) \\ &= \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{6}\right). \end{aligned}$

Then $x \cdot y = \frac{5}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{12},$ so $p + q + r = 25 + 3 + 12 = 40.$

2013 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años