Question

En un trapecio isósceles, las bases paralelas tienen longitudes

\log 3

y

\log 192,

y la altura sobre estas bases tiene longitud

\log 16.

El perímetro del trapecio se puede escribir en la forma

\log 2^p 3^q,

donde

p

y

q

son enteros positivos. Halla

p + q.

In an isosceles trapezoid, the parallel bases have lengths

\log 3

and

\log 192,

and the altitude to these bases has length

\log 16.

The perimeter of the trapezoid can be written in the form

\log 2^p 3^q,

where

p

and

q

are positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 18

Conceptos:logaritmo trapecio Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Cada lado no paralelo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos

\log 16

y la mitad de

\log 192 - \log 3

Each leg is the hypotenuse of a right triangle with legs

\log 16

and half of

\log 192 - \log 3

Pista grande:

Esos catetos son

4\log 2

y

3\log 2,

así que cada lado inclinado es

5\log 2

por un triángulo

3

-

4

-

5

Those legs are

4\log 2

and

3\log 2,

so each slanted side is

5\log 2

by a

3

-

4

-

5

triangle

Solución:

Al trazar alturas desde los extremos de la base corta, cada lado no paralelo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura

\log 16 = 4\log 2

y la mitad de la diferencia de las bases,

\frac{1}{2}(\log 192 - \log 3)

= \frac{1}{2}\log 64

= 3 \log 2.

Por la razón

3

-

4

-

5

, cada lado no paralelo tiene longitud

5 \log 2.

El perímetro es

\begin{aligned} &\log 3 + \log 192 + 2 \cdot 5\log 2 \\ &= \log(3 \cdot 192) + \log 2^{10} \\ &= \log(2^6 3^2) + \log 2^{10} \\ &= \log 2^{16} 3^2, \end{aligned}

así que

p + q = 16 + 2 = 18.

Dropping altitudes from the ends of the short base, each leg is the hypotenuse of a right triangle whose legs are the altitude

\log 16 = 4\log 2

and half the difference of the bases,

\frac{1}{2}(\log 192 - \log 3)

= \frac{1}{2}\log 64

= 3 \log 2.

By the

3

-

4

-

5

ratio, each leg has length

5 \log 2.

The perimeter is

\begin{aligned} &\log 3 + \log 192 + 2 \cdot 5\log 2 \\ &= \log(3 \cdot 192) + \log 2^{10} \\ &= \log(2^6 3^2) + \log 2^{10} \\ &= \log 2^{16} 3^2, \end{aligned}

so

p + q = 16 + 2 = 18.

2015 AIME II Problema 4

Respuesta: 18

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años