Question

Existen $r$ enteros no negativos únicos $n_1 \gt n_2 \gt \cdots \gt n_r$ y $r$ enteros únicos $a_k$ $(1 \le k \le r)$ donde cada $a_k$ es $1$ o $-1$ tales que $\begin{aligned} &a_1 3^{n_1} + a_2 3^{n_2} + \cdots + a_r 3^{n_r} \\ &= 2008. \end{aligned}$ Halla $n_1 + n_2 + \cdots + n_r.$

There exist $r$ unique nonnegative integers $n_1 \gt n_2 \gt \cdots \gt n_r$ and $r$ unique integers $a_k$ $(1 \le k \le r)$ with each $a_k$ either $1$ or $-1$ such that $\begin{aligned} &a_1 3^{n_1} + a_2 3^{n_2} + \cdots + a_r 3^{n_r} \\ &= 2008. \end{aligned}$ Find $n_1 + n_2 + \cdots + n_r.$

Respuesta

Solución:

En base $3,$ $2008 = 2202101_3,$ es decir, $\begin{aligned} 2008 &= 2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0. \end{aligned}$ Para convertir los dígitos $2$ en coeficientes $\pm 1,$ usa $2 \cdot 3^k = 3^{k+1} - 3^k.$ Los dos dígitos $2$ adyacentes se colapsan limpiamente: $2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5$ $= (3^7 - 3^6) + (3^6 - 3^5)$ $= 3^7 - 3^5,$ y $2 \cdot 3^3 = 3^4 - 3^3.$

Por lo tanto $\begin{aligned} 2008 &= 3^7 - 3^5 + 3^4 - 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0, \end{aligned}$ que tiene exponentes distintos y coeficientes $\pm 1,$ como se requería. La suma de los exponentes es $7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 0 = 21.$

In base $3,$ $2008 = 2202101_3,$ that is, $\begin{aligned} 2008 &= 2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0. \end{aligned}$ To convert the digits $2$ into coefficients $\pm 1,$ use $2 \cdot 3^k = 3^{k+1} - 3^k.$ The two adjacent digits $2$ collapse neatly: $2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5$ $= (3^7 - 3^6) + (3^6 - 3^5)$ $= 3^7 - 3^5,$ and $2 \cdot 3^3 = 3^4 - 3^3.$

Therefore $\begin{aligned} 2008 &= 3^7 - 3^5 + 3^4 - 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0, \end{aligned}$ which has distinct exponents and coefficients $\pm 1,$ as required. The sum of the exponents is $7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 0 = 21.$

2008 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años