2008 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Sea $N = 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2$ $+ 96^2 + \cdots + 4^2 + 3^2 - 2^2 - 1^2,$ donde las sumas y las restas se alternan en pares. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N = 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2$ $+ 96^2 + \cdots + 4^2 + 3^2 - 2^2 - 1^2,$ where the additions and subtractions alternate in pairs. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 100

Conceptos:diferencia de cuadrados emparejamiento y agrupación sumatoria

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Agrupa los términos de cuatro en cuatro. Para $k = 1, 2, \ldots, 25,$ el bloque que termina en $(4k)^2$ es $\begin{aligned} &(4k)^2 + (4k-1)^2 \\ &\quad {}- (4k-2)^2 - (4k-3)^2 \\ &= 2(8k - 2) + 2(8k - 4) \\ &= 32k - 12, \end{aligned}$ usando la diferencia de cuadrados $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ con $a - b = 2$ dos veces.

Sumando para $k = 1$ hasta $25,$ $\begin{aligned} N &= 32 \cdot \frac{25 \cdot 26}{2} - 12 \cdot 25 \\ &= 10400 - 300 = 10100, \end{aligned}$ así que el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ es $100.$

Group the terms four at a time. For $k = 1, 2, \ldots, 25,$ the block ending at $(4k)^2$ is $\begin{aligned} &(4k)^2 + (4k-1)^2 \\ &\quad {}- (4k-2)^2 - (4k-3)^2 \\ &= 2(8k - 2) + 2(8k - 4) \\ &= 32k - 12, \end{aligned}$ using the difference of squares $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ with $a - b = 2$ twice.

Summing over $k = 1$ to $25,$ $\begin{aligned} N &= 32 \cdot \frac{25 \cdot 26}{2} - 12 \cdot 25 \\ &= 10400 - 300 = 10100, \end{aligned}$ so the remainder when $N$ is divided by $1000$ is $100.$

2.

Rudolph pedalea a velocidad constante y se detiene para un descanso de cinco minutos al final de cada milla. Jennifer pedalea a velocidad constante que es tres cuartos de la velocidad a la que pedalea Rudolph, pero Jennifer toma un descanso de cinco minutos al final de cada dos millas. Jennifer y Rudolph comienzan a pedalear al mismo tiempo y llegan a la marca de $50$ millas exactamente al mismo tiempo. ¿Cuántos minutos les ha tomado?

Rudolph bikes at a constant rate and stops for a five-minute break at the end of every mile. Jennifer bikes at a constant rate which is three-quarters the rate that Rudolph bikes, but Jennifer takes a five-minute break at the end of every two miles. Jennifer and Rudolph begin biking at the same time and arrive at the $50$ -mile mark at exactly the same time. How many minutes has it taken them?

Respuesta

Respuesta: 620

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación racional

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Supongamos que Rudolph pedalea a $r$ millas por minuto. Descansa después de cada una de las millas $1$ a $49,$ así que su tiempo total es $\frac{50}{r} + 49 \cdot 5 = \frac{50}{r} + 245$ minutos. Jennifer pedalea a $\frac{3r}{4}$ millas por minuto y descansa después de cada una de las millas $2, 4, \ldots, 48,$ así que su tiempo total es $\frac{50}{3r/4} + 24 \cdot 5 = \frac{200}{3r} + 120$ minutos.

Igualando los tiempos se obtiene $\frac{50}{r} + 245 = \frac{200}{3r} + 120,$ así que $\begin{aligned} 125 &= \frac{200 - 150}{3r} \\ &= \frac{50}{3r}, \end{aligned}$ y $r = \frac{2}{15}.$ El tiempo común es $\frac{50}{2/15} + 245 = 375 + 245 = 620$ minutos.

Let Rudolph bike at $r$ miles per minute. He rests after each of miles $1$ through $49,$ so his total time is $\frac{50}{r} + 49 \cdot 5 = \frac{50}{r} + 245$ minutes. Jennifer bikes at $\frac{3r}{4}$ miles per minute and rests after each of miles $2, 4, \ldots, 48,$ so her total time is $\frac{50}{3r/4} + 24 \cdot 5 = \frac{200}{3r} + 120$ minutes.

Setting the times equal gives $\frac{50}{r} + 245 = \frac{200}{3r} + 120,$ so $\begin{aligned} 125 &= \frac{200 - 150}{3r} \\ &= \frac{50}{3r}, \end{aligned}$ and $r = \frac{2}{15}.$ The common time is $\frac{50}{2/15} + 245 = 375 + 245 = 620$ minutes.

3.

Un bloque de queso con forma de sólido rectangular mide $10$ cm por $13$ cm por $14$ cm. Se cortan diez rebanadas del queso. Cada rebanada tiene un grosor de $1$ cm y se corta paralela a una cara del queso. Las rebanadas individuales no son necesariamente paralelas entre sí. ¿Cuál es el máximo volumen posible, en cm cúbicos, del bloque de queso restante después de haber cortado diez rebanadas?

A block of cheese in the shape of a rectangular solid measures $10$ cm by $13$ cm by $14$ cm. Ten slices are cut from the cheese. Each slice has a width of $1$ cm and is cut parallel to one face of the cheese. The individual slices are not necessarily parallel to each other. What is the maximum possible volume in cubic cm of the remaining block of cheese after ten slices have been cut off?

Respuesta

Respuesta: 729

Conceptos:Desigualdad MA-MG volumen optimización

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Cada rebanada tiene $1$ cm de grosor y es paralela a una cara, así que después de cada corte el queso restante sigue siendo un bloque rectangular, con una dimensión acortada en $1.$ Si las diez rebanadas acortan las tres dimensiones en $p,$ $q,$ y $r$ con $p + q + r = 10,$ el bloque restante mide $(10 - p) \times (13 - q) \times (14 - r),$ y estas dimensiones suman $37 - 10 = 27.$

Por la desigualdad AM-GM, un producto de números positivos con suma fija $27$ es máximo cuando los tres son iguales a $9,$ lo cual se logra tomando $1$ rebanada de la dimensión de $10$ cm, $4$ de la dimensión de $13$ cm y $5$ de la dimensión de $14$ cm. El volumen máximo es $9^3 = 729$ cm cúbicos.

Every slice is $1$ cm wide and parallel to a face, so after each cut the remaining cheese is still a rectangular block, with one dimension shortened by $1.$ If the ten slices shorten the three dimensions by $p,$ $q,$ and $r$ with $p + q + r = 10,$ the remaining block measures $(10 - p) \times (13 - q) \times (14 - r),$ and these dimensions sum to $37 - 10 = 27.$

By the AM-GM inequality, a product of positive numbers with fixed sum $27$ is greatest when all three are equal to $9,$ which is achieved by taking $1$ slice from the $10$ cm dimension, $4$ from the $13$ cm dimension, and $5$ from the $14$ cm dimension. The maximum volume is $9^3 = 729$ cubic cm.

4.

Existen $r$ enteros no negativos únicos $n_1 \gt n_2 \gt \cdots \gt n_r$ y $r$ enteros únicos $a_k$ $(1 \le k \le r)$ donde cada $a_k$ es $1$ o $-1$ tales que $\begin{aligned} &a_1 3^{n_1} + a_2 3^{n_2} + \cdots + a_r 3^{n_r} \\ &= 2008. \end{aligned}$ Halla $n_1 + n_2 + \cdots + n_r.$

There exist $r$ unique nonnegative integers $n_1 \gt n_2 \gt \cdots \gt n_r$ and $r$ unique integers $a_k$ $(1 \le k \le r)$ with each $a_k$ either $1$ or $-1$ such that $\begin{aligned} &a_1 3^{n_1} + a_2 3^{n_2} + \cdots + a_r 3^{n_r} \\ &= 2008. \end{aligned}$ Find $n_1 + n_2 + \cdots + n_r.$

Respuesta

Respuesta: 21

Conceptos:base numérica exponente

Nivel de dificultad: 2350

Solución:

En base $3,$ $2008 = 2202101_3,$ es decir, $\begin{aligned} 2008 &= 2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0. \end{aligned}$ Para convertir los dígitos $2$ en coeficientes $\pm 1,$ usa $2 \cdot 3^k = 3^{k+1} - 3^k.$ Los dos dígitos $2$ adyacentes se colapsan limpiamente: $2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5$ $= (3^7 - 3^6) + (3^6 - 3^5)$ $= 3^7 - 3^5,$ y $2 \cdot 3^3 = 3^4 - 3^3.$

Por lo tanto $\begin{aligned} 2008 &= 3^7 - 3^5 + 3^4 - 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0, \end{aligned}$ que tiene exponentes distintos y coeficientes $\pm 1,$ como se requería. La suma de los exponentes es $7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 0 = 21.$

In base $3,$ $2008 = 2202101_3,$ that is, $\begin{aligned} 2008 &= 2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0. \end{aligned}$ To convert the digits $2$ into coefficients $\pm 1,$ use $2 \cdot 3^k = 3^{k+1} - 3^k.$ The two adjacent digits $2$ collapse neatly: $2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5$ $= (3^7 - 3^6) + (3^6 - 3^5)$ $= 3^7 - 3^5,$ and $2 \cdot 3^3 = 3^4 - 3^3.$

Therefore $\begin{aligned} 2008 &= 3^7 - 3^5 + 3^4 - 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0, \end{aligned}$ which has distinct exponents and coefficients $\pm 1,$ as required. The sum of the exponents is $7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 0 = 21.$

5.

En el trapecio $ABCD$ con $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ sea $BC = 1000$ y $AD = 2008.$ Sea $\angle A = 37^\circ,$ $\angle D = 53^\circ,$ y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{BC}$ y $\overline{AD},$ respectivamente. Halla la longitud $MN.$

In trapezoid $ABCD$ with $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ let $BC = 1000$ and $AD = 2008.$ Let $\angle A = 37^\circ,$ $\angle D = 53^\circ,$ and $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{BC}$ and $\overline{AD},$ respectively. Find the length $MN.$

Respuesta

Respuesta: 504

Conceptos:trapecio triángulo rectángulo mediana (geometría)homotecia

Nivel de dificultad: 2480

Solución:

Extiende los lados $\overline{AB}$ y $\overline{DC}$ hasta que se corten en un punto $E.$ Como $\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,$ el triángulo $EAD$ tiene un ángulo recto en $E.$ Como $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ el triángulo $EBC$ es la imagen del triángulo $EAD$ bajo una homotecia con centro en $E,$ así que el punto medio $M$ de $\overline{BC}$ se corresponde con el punto medio $N$ de $\overline{AD};$ en particular $E,$ $M,$ y $N$ son colineales.

La mediana a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, así que $EN = \frac{2008}{2} = 1004$ y $EM = \frac{1000}{2} = 500.$ Por lo tanto $\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}$

Extend legs $\overline{AB}$ and $\overline{DC}$ until they meet at a point $E.$ Since $\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,$ triangle $EAD$ has a right angle at $E.$ Because $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ triangle $EBC$ is the image of triangle $EAD$ under a homothety centered at $E,$ so the midpoint $M$ of $\overline{BC}$ maps to the midpoint $N$ of $\overline{AD};$ in particular $E,$ $M,$ and $N$ are collinear.

The median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so $EN = \frac{2008}{2} = 1004$ and $EM = \frac{1000}{2} = 500.$ Therefore $\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}$

6.

La sucesión $\{a_n\}$ se define por $\begin{aligned} a_0 &= 1, \\ a_1 &= 1, \\ a_n &= a_{n-1} + \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}$

La sucesión $\{b_n\}$ se define por $\begin{aligned} b_0 &= 1, \\ b_1 &= 3, \\ b_n &= b_{n-1} + \frac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}$

Halla $\frac{b_{32}}{a_{32}}.$

The sequence $\{a_n\}$ is defined by $\begin{aligned} a_0 &= 1, \\ a_1 &= 1, \\ a_n &= a_{n-1} + \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}$

The sequence $\{b_n\}$ is defined by $\begin{aligned} b_0 &= 1, \\ b_1 &= 3, \\ b_n &= b_{n-1} + \frac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}$

Find $\frac{b_{32}}{a_{32}}.$

Respuesta

Respuesta: 561

Conceptos:recursión factorial telescópica

Nivel de dificultad: 2460

Solución:

Dividir la recurrencia entre $a_{n-1}$ da $\frac{a_n}{a_{n-1}} = 1 + \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}},$ así que el cociente de términos consecutivos aumenta exactamente en $1$ en cada paso. Para $\{a_n\}$ el primer cociente es $\frac{a_1}{a_0} = 1,$ así que $\frac{a_n}{a_{n-1}} = n$ y $a_n = n!.$ El mismo cálculo se aplica a $\{b_n\},$ cuyo primer cociente es $\frac{b_1}{b_0} = 3,$ así que $\frac{b_n}{b_{n-1}} = n + 2$ y $b_n = \frac{(n+2)!}{2}.$

Por lo tanto $\frac{b_{32}}{a_{32}} = \frac{34!/2}{32!} = \frac{34 \cdot 33}{2} = 561.$

Dividing the recurrence by $a_{n-1}$ gives $\frac{a_n}{a_{n-1}} = 1 + \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}},$ so the consecutive-term ratio increases by exactly $1$ each step. For $\{a_n\}$ the first ratio is $\frac{a_1}{a_0} = 1,$ so $\frac{a_n}{a_{n-1}} = n$ and $a_n = n!.$ The same computation applies to $\{b_n\},$ whose first ratio is $\frac{b_1}{b_0} = 3,$ so $\frac{b_n}{b_{n-1}} = n + 2$ and $b_n = \frac{(n+2)!}{2}.$

Therefore $\frac{b_{32}}{a_{32}} = \frac{34!/2}{32!} = \frac{34 \cdot 33}{2} = 561.$

7.

Sean $r,$ $s,$ y $t$ las tres raíces de la ecuación $8x^3 + 1001x + 2008 = 0.$ Halla $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.$

Let $r,$ $s,$ and $t$ be the three roots of the equation $8x^3 + 1001x + 2008 = 0.$ Find $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.$

Respuesta

Respuesta: 753

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 2410

Solución:

La cúbica no tiene término $x^2$ , así que $r + s + t = 0$ por las fórmulas de Vieta. Por lo tanto $r + s = -t,$ $s + t = -r,$ y $t + r = -s,$ y la suma buscada es $\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}$

Siempre que $r + s + t = 0,$ la identidad $r^3 + s^3 + t^3 - 3rst$ $= (r + s + t)$ $(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)$ da $r^3 + s^3 + t^3 = 3rst.$ Por las fórmulas de Vieta, $rst = -\frac{2008}{8} = -251,$ así que $r^3 + s^3 + t^3 = -753,$ y la respuesta es $-(-753) = 753.$

The cubic has no $x^2$ term, so $r + s + t = 0$ by Vieta's formulas. Hence $r + s = -t,$ $s + t = -r,$ and $t + r = -s,$ and the desired sum is $\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}$

Whenever $r + s + t = 0,$ the identity $r^3 + s^3 + t^3 - 3rst$ $= (r + s + t)$ $(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)$ gives $r^3 + s^3 + t^3 = 3rst.$ By Vieta's formulas, $rst = -\frac{2008}{8} = -251,$ so $r^3 + s^3 + t^3 = -753,$ and the answer is $-(-753) = 753.$

8.

Sea $a = \pi/2008.$ Halla el menor entero positivo $n$ tal que $\begin{aligned} &2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) \\ &\quad {}+ \cos(9a)\sin(3a) \\ &\quad {}+ \cdots + \cos(n^2 a)\sin(na)] \end{aligned}$ sea un entero.

Let $a = \pi/2008.$ Find the smallest positive integer $n$ such that $\begin{aligned} &2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) \\ &\quad {}+ \cos(9a)\sin(3a) \\ &\quad {}+ \cdots + \cos(n^2 a)\sin(na)] \end{aligned}$ is an integer.

Respuesta

Respuesta: 251

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2740

Solución:

Por la identidad de producto a suma, $\begin{aligned} &2\cos(k^2 a)\sin(ka) \\ &= \sin(k^2 a + ka) \\ &\quad {}- \sin(k^2 a - ka) \\ &= \sin(k(k+1)a) \\ &\quad {}- \sin((k-1)k a). \end{aligned}$ Sumando para $k = 1$ hasta $n,$ los términos se telescopan, quedando $\sin(n(n+1)a) = \sin\frac{n(n+1)\pi}{2008}.$

Un seno es un entero solo cuando es $-1,$ $0,$ o $1,$ es decir, cuando su argumento es un múltiplo de $\frac{\pi}{2}.$ Así que necesitamos que $\frac{n(n+1)}{2008}$ sea un múltiplo de $\frac{1}{2},$ es decir, $1004 \mid n(n+1),$ donde $1004 = 4 \cdot 251$ y $251$ es primo.

Como $n$ y $n + 1$ son coprimos, $251$ debe dividir a uno de ellos, así que $n \ge 250.$ Para $n = 250$ el producto $250 \cdot 251$ no es divisible entre $4.$ Para $n = 251$ el producto $251 \cdot 252$ es divisible entre $4 \cdot 251 = 1004.$ El menor $n$ de este tipo es $251.$

By the product-to-sum identity, $\begin{aligned} &2\cos(k^2 a)\sin(ka) \\ &= \sin(k^2 a + ka) \\ &\quad {}- \sin(k^2 a - ka) \\ &= \sin(k(k+1)a) \\ &\quad {}- \sin((k-1)k a). \end{aligned}$ Summing over $k = 1$ to $n,$ the terms telescope, leaving $\sin(n(n+1)a) = \sin\frac{n(n+1)\pi}{2008}.$

A sine is an integer only when it is $-1,$ $0,$ or $1,$ that is, when its argument is a multiple of $\frac{\pi}{2}.$ So we need $\frac{n(n+1)}{2008}$ to be a multiple of $\frac{1}{2},$ i.e. $1004 \mid n(n+1),$ where $1004 = 4 \cdot 251$ and $251$ is prime.

Since $n$ and $n + 1$ are coprime, $251$ must divide one of them, so $n \ge 250.$ For $n = 250$ the product $250 \cdot 251$ is not divisible by $4.$ For $n = 251$ the product $251 \cdot 252$ is divisible by $4 \cdot 251 = 1004.$ The smallest such $n$ is $251.$

9.

Una partícula está ubicada en el plano coordenado en $(5, 0).$ Define un movimiento para la partícula como una rotación en sentido antihorario de $\pi/4$ radianes alrededor del origen seguida de una traslación de $10$ unidades en la dirección positiva del eje $x$ . Dado que la posición de la partícula después de $150$ movimientos es $(p, q),$ halla el mayor entero menor o igual que $|p| + |q|.$

A particle is located on the coordinate plane at $(5, 0).$ Define a move for the particle as a counterclockwise rotation of $\pi/4$ radians about the origin followed by a translation of $10$ units in the positive $x$ -direction. Given that the particle's position after $150$ moves is $(p, q),$ find the greatest integer less than or equal to $|p| + |q|.$

Respuesta

Respuesta: 19

Conceptos:número complejo raíces de la unidad sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Identifica el plano con el plano complejo, así que un movimiento envía $z$ a $\omega z + 10$ con $\omega = e^{i\pi/4}.$ Partiendo de $z_0 = 5$ e iterando, $\begin{aligned} z_{150} &= 5\omega^{150} \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(\omega^{149} + \omega^{148} + \cdots + \omega + 1\right). \end{aligned}$

Como $\omega^8 = 1$ y $150 = 8 \cdot 18 + 6,$ obtenemos $\omega^{150} = \omega^6 = -i.$ En la suma geométrica, cada bloque de $8$ potencias consecutivas suma $0,$ así que los $150$ términos se reducen a $1 + \omega + \cdots + \omega^5$ $= -\omega^6 - \omega^7$ $= i - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\right).$ Por lo tanto $\begin{aligned} z_{150} &= -5i \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)i\right) \\ &= -5\sqrt{2} + \left(5 + 5\sqrt{2}\right)i. \end{aligned}$

Así, $|p| + |q| = 5\sqrt{2} + 5 + 5\sqrt{2}$ $= 5 + 10\sqrt{2} \approx 19.14,$ y el mayor entero menor o igual que esto es $19.$

Identify the plane with the complex plane, so a move sends $z$ to $\omega z + 10$ with $\omega = e^{i\pi/4}.$ Starting from $z_0 = 5$ and iterating, $\begin{aligned} z_{150} &= 5\omega^{150} \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(\omega^{149} + \omega^{148} + \cdots + \omega + 1\right). \end{aligned}$

Since $\omega^8 = 1$ and $150 = 8 \cdot 18 + 6,$ we get $\omega^{150} = \omega^6 = -i.$ In the geometric sum, every block of $8$ consecutive powers adds to $0,$ so the $150$ terms reduce to $1 + \omega + \cdots + \omega^5$ $= -\omega^6 - \omega^7$ $= i - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\right).$ Therefore $\begin{aligned} z_{150} &= -5i \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)i\right) \\ &= -5\sqrt{2} + \left(5 + 5\sqrt{2}\right)i. \end{aligned}$

Thus $|p| + |q| = 5\sqrt{2} + 5 + 5\sqrt{2}$ $= 5 + 10\sqrt{2} \approx 19.14,$ and the greatest integer less than or equal to this is $19.$

10.

El diagrama de abajo muestra un arreglo rectangular de puntos de $4 \times 4,$ cada uno de los cuales está a $1$ unidad de distancia de sus vecinos más cercanos.

Define un camino creciente como una sucesión de puntos distintos del arreglo con la propiedad de que la distancia entre puntos consecutivos de la sucesión es estrictamente creciente. Sea $m$ el máximo número posible de puntos en un camino creciente, y sea $r$ el número de caminos crecientes que constan de exactamente $m$ puntos. Halla $mr.$

The diagram below shows a $4 \times 4$ rectangular array of points, each of which is $1$ unit away from its nearest neighbors.

Define a growing path to be a sequence of distinct points of the array with the property that the distance between consecutive points of the sequence is strictly increasing. Let $m$ be the maximum possible number of points in a growing path, and let $r$ be the number of growing paths consisting of exactly $m$ points. Find $mr.$

Respuesta

Respuesta: 240

Conceptos:punto reticular fórmula de la distancia argumento extremal análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

La distancia al cuadrado entre dos puntos del arreglo es $a^2 + b^2,$ donde $a$ y $b$ son las diferencias de coordenadas, cada una en $\{0, 1, 2, 3\}$ y no ambas cero. Los valores posibles son $1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 18$ , solo $9$ valores, así que un camino creciente tiene a lo sumo $10$ puntos, y un camino con $10$ puntos debe usar las nueve distancias en orden creciente. Etiqueta sus puntos $P_1, \ldots, P_{10}$ de modo que $P_1 P_2 = 1$ y $P_9 P_{10} = \sqrt{18}.$

Como $\sqrt{18}$ solo se realiza con esquinas opuestas, hay $4$ elecciones ordenadas de $(P_{10}, P_9).$ Luego, $P_8 P_9 = \sqrt{13}$ deja $2$ elecciones para $P_8,$ los dos vecinos de $P_{10},$ simétricos respecto de la diagonal principal. A partir de ahí las distancias $\sqrt{10}, 3, \sqrt{8}, \sqrt{5}, 2, \sqrt{2}$ fuerzan $P_7, P_6, \ldots, P_2$ de manera única (para $P_7$ la elección de la otra esquina falla porque el punto que se necesitaría después para $P_6$ coincidiría con $P_9$ o $P_{10}$ ). Finalmente $P_1$ debe estar a distancia $1$ de $P_2,$ y $3$ de sus vecinos quedan sin usar. Uno de los caminos resultantes se muestra abajo.

Por lo tanto $m = 10$ y $r = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24,$ así que $mr = 240.$

The squared distance between two points of the array is $a^2 + b^2,$ where $a$ and $b$ are the coordinate differences, each in $\{0, 1, 2, 3\}$ and not both zero. The possible values are $1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 18$ — only $9$ values — so a growing path has at most $10$ points, and a path with $10$ points must use all nine distances in increasing order. Label its points $P_1, \ldots, P_{10}$ so that $P_1 P_2 = 1$ and $P_9 P_{10} = \sqrt{18}.$

Since $\sqrt{18}$ is realized only by opposite corners, there are $4$ ordered choices of $(P_{10}, P_9).$ Next, $P_8 P_9 = \sqrt{13}$ leaves $2$ choices for $P_8,$ the two neighbors of $P_{10},$ symmetric across the main diagonal. From there the distances $\sqrt{10}, 3, \sqrt{8}, \sqrt{5}, 2, \sqrt{2}$ force $P_7, P_6, \ldots, P_2$ uniquely (for $P_7$ the alternative corner choice fails because the point needed next for $P_6$ would coincide with $P_9$ or $P_{10}$ ). Finally $P_1$ must be at distance $1$ from $P_2,$ and $3$ of its neighbors are unused. One of the resulting paths is shown below.

Hence $m = 10$ and $r = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24,$ so $mr = 240.$

11.

En el triángulo $ABC,$ $AB = AC = 100,$ y $BC = 56.$ El círculo $P$ tiene radio $16$ y es tangente a $\overline{AC}$ y $\overline{BC}.$ El círculo $Q$ es tangente externamente al círculo $P$ y es tangente a $\overline{AB}$ y $\overline{BC}.$ Ningún punto del círculo $Q$ queda fuera de $\triangle ABC.$ El radio del círculo $Q$ puede expresarse en la forma $m - n\sqrt{k},$ donde $m,$ $n,$ y $k$ son enteros positivos y $k$ es el producto de primos distintos. Halla $m + nk.$

In triangle $ABC,$ $AB = AC = 100,$ and $BC = 56.$ Circle $P$ has radius $16$ and is tangent to $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ Circle $Q$ is externally tangent to circle $P$ and is tangent to $\overline{AB}$ and $\overline{BC}.$ No point of circle $Q$ lies outside of $\triangle ABC.$ The radius of circle $Q$ can be expressed in the form $m - n\sqrt{k},$ where $m,$ $n,$ and $k$ are positive integers and $k$ is the product of distinct primes. Find $m + nk.$

Respuesta

Respuesta: 254

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica bisectriz identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Coloca $B = (0, 0)$ y $C = (56, 0);$ la altura desde $A$ tiene longitud $\sqrt{100^2 - 28^2} = 96,$ así que $A = (28, 96).$ Entonces $\sin B = \frac{24}{25},$ $\cos B = \frac{7}{25},$ y $\begin{aligned} \tan\frac{B}{2} &= \frac{\sin B}{1 + \cos B} \\ &= \frac{3}{4} = \tan\frac{C}{2}. \end{aligned}$ Un círculo de radio $r$ tangente a $\overline{BC}$ y a un lado inclinado tiene su centro en la bisectriz que parte de ese vértice de la base, a altura $r$ y a distancia horizontal $\frac{r}{\tan(C/2)} = \frac{4r}{3}$ del vértice. Así $P = \left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right)$ y $Q = \left(\frac{4q}{3},\, q\right),$ donde $q$ es el radio del círculo $Q.$

La tangencia externa significa que $PQ = q + 16:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{104 - 4q}{3}\right)^2 + (16 - q)^2 \\ &= (16 + q)^2. \end{aligned}$ Como $(16 + q)^2 - (16 - q)^2 = 64q,$ esto se convierte en $(104 - 4q)^2 = 576q,$ es decir, $(26 - q)^2 = 36q,$ que se simplifica a $q^2 - 88q + 676 = 0,$ así que $q = 44 \pm 6\sqrt{35}.$

La raíz $44 + 6\sqrt{35} \approx 79.5$ haría que el círculo $Q$ se extienda fuera del triángulo, así que $q = 44 - 6\sqrt{35}.$ Aquí $m = 44,$ $n = 6,$ y $k = 35 = 5 \cdot 7,$ lo que da $m + nk = 44 + 210 = 254.$

Place $B = (0, 0)$ and $C = (56, 0);$ the altitude from $A$ has length $\sqrt{100^2 - 28^2} = 96,$ so $A = (28, 96).$ Then $\sin B = \frac{24}{25},$ $\cos B = \frac{7}{25},$ and $\begin{aligned} \tan\frac{B}{2} &= \frac{\sin B}{1 + \cos B} \\ &= \frac{3}{4} = \tan\frac{C}{2}. \end{aligned}$ A circle of radius $r$ tangent to $\overline{BC}$ and to a slanted side has its center on the bisector from that base vertex, at height $r$ and horizontal distance $\frac{r}{\tan(C/2)} = \frac{4r}{3}$ from the vertex. Thus $P = \left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right)$ and $Q = \left(\frac{4q}{3},\, q\right),$ where $q$ is the radius of circle $Q.$

External tangency means $PQ = q + 16:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{104 - 4q}{3}\right)^2 + (16 - q)^2 \\ &= (16 + q)^2. \end{aligned}$ Since $(16 + q)^2 - (16 - q)^2 = 64q,$ this becomes $(104 - 4q)^2 = 576q,$ i.e. $(26 - q)^2 = 36q,$ which simplifies to $q^2 - 88q + 676 = 0,$ so $q = 44 \pm 6\sqrt{35}.$

The root $44 + 6\sqrt{35} \approx 79.5$ would make circle $Q$ extend outside the triangle, so $q = 44 - 6\sqrt{35}.$ Here $m = 44,$ $n = 6,$ and $k = 35 = 5 \cdot 7,$ giving $m + nk = 44 + 210 = 254.$

12.

Hay dos astas de bandera distinguibles, y hay $19$ banderas, de las cuales $10$ son banderas azules idénticas, y $9$ son banderas verdes idénticas. Sea $N$ el número de arreglos distinguibles que usan todas las banderas en los que cada asta tiene al menos una bandera y no hay dos banderas verdes adyacentes en ninguna de las astas. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

There are two distinguishable flagpoles, and there are $19$ flags, of which $10$ are identical blue flags, and $9$ are identical green flags. Let $N$ be the number of distinguishable arrangements using all of the flags in which each flagpole has at least one flag and no two green flags on either pole are adjacent. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 310

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones conteo complementario Convolución de Vandermonde

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Supongamos que la primera asta recibe $b$ banderas azules y $g$ verdes, la segunda las restantes $10 - b$ azules y $9 - g$ verdes. En un asta con $b$ banderas azules, las banderas verdes deben ocupar espacios distintos entre los $b + 1$ espacios alrededor de las azules, de $\binom{b+1}{g}$ maneras. Ignorando temporalmente el requisito de que cada asta sea no vacía, el total es $\begin{aligned} &\sum_{b=0}^{10} \sum_{g=0}^{9} \binom{b+1}{g} \\ &\quad {}\cdot \binom{11-b}{9-g} \\ &= \sum_{b=0}^{10} \binom{12}{9} \\ &= 11 \cdot 220 = 2420, \end{aligned}$ donde la suma interior se colapsa por la identidad de Vandermonde, ya que $(b + 1) + (11 - b) = 12.$

Los arreglos que dejan un asta vacía ponen las $19$ banderas en una sola asta, de $\binom{11}{9} = 55$ maneras para cada elección de asta. Por lo tanto $N = 2420 - 2 \cdot 55 = 2310,$ y el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ es $310.$

Suppose the first pole gets $b$ blue and $g$ green flags, the second the remaining $10 - b$ blue and $9 - g$ green. On a pole with $b$ blue flags, the green flags must occupy distinct gaps among the $b + 1$ gaps around the blues, in $\binom{b+1}{g}$ ways. Temporarily ignoring the requirement that each pole be nonempty, the total is $\begin{aligned} &\sum_{b=0}^{10} \sum_{g=0}^{9} \binom{b+1}{g} \\ &\quad {}\cdot \binom{11-b}{9-g} \\ &= \sum_{b=0}^{10} \binom{12}{9} \\ &= 11 \cdot 220 = 2420, \end{aligned}$ where the inner sum collapses by Vandermonde's identity, since $(b + 1) + (11 - b) = 12.$

The arrangements that leave a pole empty put all $19$ flags on one pole, in $\binom{11}{9} = 55$ ways for each choice of pole. Hence $N = 2420 - 2 \cdot 55 = 2310,$ and the remainder when $N$ is divided by $1000$ is $310.$

13.

Un hexágono regular con centro en el origen en el plano complejo tiene pares de lados opuestos separados una unidad. Un par de lados es paralelo al eje imaginario. Sea $R$ la región fuera del hexágono, y sea $S = \left\{\tfrac{1}{z} \mid z \in R\right\}.$ Entonces el área de $S$ tiene la forma $a\pi + \sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Halla $a + b.$

A regular hexagon with center at the origin in the complex plane has opposite pairs of sides one unit apart. One pair of sides is parallel to the imaginary axis. Let $R$ be the region outside the hexagon, and let $S = \left\{\tfrac{1}{z} \mid z \in R\right\}.$ Then the area of $S$ has the form $a\pi + \sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Respuesta: 29

Conceptos:número complejo transformación sector circular simetría

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Los lados del hexágono están a distancia $\frac{1}{2}$ del origen, con un lado sobre la recta $\mathrm{Re}\,z = \frac{1}{2},$ así que $R$ es la unión de los seis semiplanos obtenidos al rotar $\mathrm{Re}\,z \gt \frac{1}{2}$ por múltiplos de $60^\circ.$ Si $w = u + vi = \frac{1}{z},$ entonces $\mathrm{Re}\,z = \mathrm{Re}\,\frac{1}{w} = \frac{u}{u^2 + v^2} \gt \frac{1}{2}$ es equivalente a $u^2 + v^2 \lt 2u,$ es decir, $(u - 1)^2 + v^2 \lt 1.$ Así que cada semiplano se mapea sobre un disco unitario abierto, y $S$ es la unión de seis discos unitarios centrados en las raíces sextas de la unidad.

Divide el plano en seis cuñas de $60^\circ$ mediante los rayos con ángulos $30^\circ + 60^\circ k;$ por simetría, dentro de cada cuña $S$ coincide con el disco cuyo centro está en esa cuña. Los rayos en $\pm 30^\circ$ cortan al círculo $|w - 1| = 1$ en $\left(\frac{3}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ así que la parte de $S$ en esa cuña consta de dos triángulos con vértices en $0,$ el centro $1,$ y uno de estos puntos, cada uno isósceles con dos lados $1$ y ángulo en el vértice $120^\circ,$ de área $\frac{\sqrt{3}}{4}$ , junto con el sector de $120^\circ$ del disco entre ellos, de área $\frac{\pi}{3}.$

Cada cuña contribuye por lo tanto $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2},$ y el área total es $\begin{aligned} 6\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= 2\pi + 3\sqrt{3} \\ &= 2\pi + \sqrt{27}. \end{aligned}$ Así $a = 2,$ $b = 27,$ y $a + b = 29.$

The hexagon's sides lie at distance $\frac{1}{2}$ from the origin, with one side on the line $\mathrm{Re}\,z = \frac{1}{2},$ so $R$ is the union of the six half-planes obtained by rotating $\mathrm{Re}\,z \gt \frac{1}{2}$ by multiples of $60^\circ.$ If $w = u + vi = \frac{1}{z},$ then $\mathrm{Re}\,z = \mathrm{Re}\,\frac{1}{w} = \frac{u}{u^2 + v^2} \gt \frac{1}{2}$ is equivalent to $u^2 + v^2 \lt 2u,$ i.e. $(u - 1)^2 + v^2 \lt 1.$ So each half-plane maps onto an open unit disk, and $S$ is the union of six unit disks centered at the sixth roots of unity.

Cut the plane into six $60^\circ$ wedges by the rays at angles $30^\circ + 60^\circ k;$ by symmetry, within each wedge $S$ coincides with the disk whose center lies in that wedge. The rays at $\pm 30^\circ$ meet the circle $|w - 1| = 1$ at $\left(\frac{3}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ so the piece of $S$ in that wedge consists of two triangles with vertices at $0,$ the center $1,$ and one of these points — each isosceles with two sides $1$ and apex angle $120^\circ,$ area $\frac{\sqrt{3}}{4}$ — together with the $120^\circ$ sector of the disk between them, area $\frac{\pi}{3}.$

Each wedge therefore contributes $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2},$ and the total area is $\begin{aligned} 6\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= 2\pi + 3\sqrt{3} \\ &= 2\pi + \sqrt{27}. \end{aligned}$ Thus $a = 2,$ $b = 27,$ and $a + b = 29.$

14.

Sean $a$ y $b$ números reales positivos con $a \ge b.$ Sea $\rho$ el máximo valor posible de $\frac{a}{b}$ para el cual el sistema de ecuaciones $\begin{aligned} a^2 + y^2 &= b^2 + x^2 \\ &= (a - x)^2 + (b - y)^2 \end{aligned}$ tiene una solución $(x, y)$ que satisface $0 \le x \lt a$ y $0 \le y \lt b.$ Entonces $\rho^2$ puede expresarse como una fracción $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $a$ and $b$ be positive real numbers with $a \ge b.$ Let $\rho$ be the maximum possible value of $\frac{a}{b}$ for which the system of equations $\begin{aligned} a^2 + y^2 &= b^2 + x^2 \\ &= (a - x)^2 + (b - y)^2 \end{aligned}$ has a solution $(x, y)$ satisfying $0 \le x \lt a$ and $0 \le y \lt b.$ Then $\rho^2$ can be expressed as a fraction $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 7

Conceptos:triángulo equilátero fórmula de la distancia trigonometría optimización

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Dibuja el rectángulo con vértices $A = (0, 0),$ $B = (a, 0),$ $C = (a, b),$ $D = (0, b),$ y sea $E = (x, 0)$ sobre $\overline{AB}$ y $F = (a, b - y)$ sobre $\overline{BC}.$ Entonces $DE^2 = b^2 + x^2,$ $DF^2 = a^2 + y^2,$ y $EF^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2,$ así que el sistema dice exactamente que el triángulo $DEF$ es equilátero, con las restricciones que mantienen $E$ y $F$ sobre esos dos lados.

Sea $\theta = \angle ADE,$ así que $x = b\tan\theta$ y $DE = \frac{b}{\cos\theta}.$ Como $\angle EDF = 60^\circ$ y el ángulo de la esquina en $D$ es $90^\circ,$ obtenemos $\angle CDF = 30^\circ - \theta,$ así que $y = a\tan(30^\circ - \theta)$ y $DF = \frac{a}{\cos(30^\circ - \theta)}.$ Igualar $DE = DF$ da $\begin{aligned} \frac{a}{b} &= \frac{\cos(30^\circ - \theta)}{\cos\theta} \\ &= \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \tan\theta, \end{aligned}$ que es creciente en $\theta.$ El requisito $y \ge 0$ fuerza $\theta \le 30^\circ.$

El máximo se alcanza por lo tanto en $\theta = 30^\circ,$ donde $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}},$ logrado con $y = 0$ y $x = \frac{b}{\sqrt{3}} \lt a.$ Por lo tanto $\rho^2 = \frac{4}{3},$ y $m + n = 4 + 3 = 7.$

Draw the rectangle with vertices $A = (0, 0),$ $B = (a, 0),$ $C = (a, b),$ $D = (0, b),$ and let $E = (x, 0)$ on $\overline{AB}$ and $F = (a, b - y)$ on $\overline{BC}.$ Then $DE^2 = b^2 + x^2,$ $DF^2 = a^2 + y^2,$ and $EF^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2,$ so the system says exactly that triangle $DEF$ is equilateral, with the constraints keeping $E$ and $F$ on those two sides.

Let $\theta = \angle ADE,$ so $x = b\tan\theta$ and $DE = \frac{b}{\cos\theta}.$ Since $\angle EDF = 60^\circ$ and the corner angle at $D$ is $90^\circ,$ we get $\angle CDF = 30^\circ - \theta,$ so $y = a\tan(30^\circ - \theta)$ and $DF = \frac{a}{\cos(30^\circ - \theta)}.$ Setting $DE = DF$ gives $\begin{aligned} \frac{a}{b} &= \frac{\cos(30^\circ - \theta)}{\cos\theta} \\ &= \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \tan\theta, \end{aligned}$ which is increasing in $\theta.$ The requirement $y \ge 0$ forces $\theta \le 30^\circ.$

The maximum is therefore at $\theta = 30^\circ,$ where $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}},$ attained with $y = 0$ and $x = \frac{b}{\sqrt{3}} \lt a.$ Hence $\rho^2 = \frac{4}{3},$ and $m + n = 4 + 3 = 7.$

15.

Halla el mayor entero $n$ que satisface las siguientes condiciones: (i) $n^2$ puede expresarse como la diferencia de dos cubos consecutivos; (ii) $2n + 79$ es un cuadrado perfecto.

Find the largest integer $n$ satisfying the following conditions: (i) $n^2$ can be expressed as the difference of two consecutive cubes; (ii) $2n + 79$ is a perfect square.

Respuesta

Respuesta: 181

Conceptos:Ecuación diofántica cuadrado perfecto diferencia de cuadrados aritmética modular

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

La condición (i) dice $n^2 = (m + 1)^3 - m^3$ $= 3m^2 + 3m + 1$ para algún entero $m.$ Multiplicando por $4$ y reordenando, $4n^2 - 1 = 12m^2 + 12m + 3,$ es decir, $(2n - 1)(2n + 1) = 3(2m + 1)^2.$ Los factores de la izquierda son números impares consecutivos, por lo tanto coprimos, así que uno de ellos es un cuadrado perfecto y el otro es $3$ veces un cuadrado. Si $2n - 1 = 3k^2,$ entonces $2n + 1 \equiv 2 \pmod 3$ sería un cuadrado perfecto, lo cual es imposible. Por lo tanto $2n - 1 = k^2$ con $k$ impar.

Escribir $k = 2a + 1$ da $n = 2a^2 + 2a + 1.$ La condición (ii) dice $2n + 79 = 4a^2 + 4a + 81 = d^2,$ así que $\begin{aligned} &(d - 2a - 1) \\ &\quad {}\cdot (d + 2a + 1) \\ &= d^2 - (2a + 1)^2 \\ &= 80. \end{aligned}$ Los dos factores tienen la misma paridad, así que ambos son pares: los pares $(2, 40),$ $(4, 20),$ $(8, 10)$ dan $2a + 1 = 19,$ $8,$ $1,$ de los cuales los valores impares producen $a = 9$ (así $n = 181$ ) y $a = 0$ (así $n = 1$ ).

Para $n = 181:$ en efecto $181^2 = 32761 = 105^3 - 104^3$ (aquí $2n + 1 = 363 = 3 \cdot 11^2,$ como se requería), y $2n + 79 = 441 = 21^2.$ Así que el mayor $n$ de este tipo es $181.$

Condition (i) says $n^2 = (m + 1)^3 - m^3$ $= 3m^2 + 3m + 1$ for some integer $m.$ Multiplying by $4$ and rearranging, $4n^2 - 1 = 12m^2 + 12m + 3,$ i.e. $(2n - 1)(2n + 1) = 3(2m + 1)^2.$ The factors on the left are consecutive odd numbers, hence coprime, so one of them is a perfect square and the other is $3$ times a square. If $2n - 1 = 3k^2,$ then $2n + 1 \equiv 2 \pmod 3$ would be a perfect square, which is impossible. Hence $2n - 1 = k^2$ with $k$ odd.

Writing $k = 2a + 1$ gives $n = 2a^2 + 2a + 1.$ Condition (ii) says $2n + 79 = 4a^2 + 4a + 81 = d^2,$ so $\begin{aligned} &(d - 2a - 1) \\ &\quad {}\cdot (d + 2a + 1) \\ &= d^2 - (2a + 1)^2 \\ &= 80. \end{aligned}$ The two factors have the same parity, so both are even: the pairs $(2, 40),$ $(4, 20),$ $(8, 10)$ give $2a + 1 = 19,$ $8,$ $1,$ of which the odd values yield $a = 9$ (so $n = 181$ ) and $a = 0$ (so $n = 1$ ).

For $n = 181:$ indeed $181^2 = 32761 = 105^3 - 104^3$ (here $2n + 1 = 363 = 3 \cdot 11^2,$ as required), and $2n + 79 = 441 = 21^2.$ So the largest such $n$ is $181.$

Problemas del 2008 AIME II

Respuesta: 100

Solución:

Respuesta: 620

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Respuesta: 729

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Respuesta: 21

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Respuesta: 504

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Respuesta: 561

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Respuesta: 753

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Respuesta: 251

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Respuesta: 19

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Respuesta: 240

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Respuesta: 181

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