Question

Un bloque de queso con forma de sólido rectangular mide $10$ cm por $13$ cm por $14$ cm. Se cortan diez rebanadas del queso. Cada rebanada tiene un grosor de $1$ cm y se corta paralela a una cara del queso. Las rebanadas individuales no son necesariamente paralelas entre sí. ¿Cuál es el máximo volumen posible, en cm cúbicos, del bloque de queso restante después de haber cortado diez rebanadas?

A block of cheese in the shape of a rectangular solid measures $10$ cm by $13$ cm by $14$ cm. Ten slices are cut from the cheese. Each slice has a width of $1$ cm and is cut parallel to one face of the cheese. The individual slices are not necessarily parallel to each other. What is the maximum possible volume in cubic cm of the remaining block of cheese after ten slices have been cut off?

Respuesta

Solución:

Cada rebanada tiene $1$ cm de grosor y es paralela a una cara, así que después de cada corte el queso restante sigue siendo un bloque rectangular, con una dimensión acortada en $1.$ Si las diez rebanadas acortan las tres dimensiones en $p,$ $q,$ y $r$ con $p + q + r = 10,$ el bloque restante mide $(10 - p) \times (13 - q) \times (14 - r),$ y estas dimensiones suman $37 - 10 = 27.$

Por la desigualdad AM-GM, un producto de números positivos con suma fija $27$ es máximo cuando los tres son iguales a $9,$ lo cual se logra tomando $1$ rebanada de la dimensión de $10$ cm, $4$ de la dimensión de $13$ cm y $5$ de la dimensión de $14$ cm. El volumen máximo es $9^3 = 729$ cm cúbicos.

Every slice is $1$ cm wide and parallel to a face, so after each cut the remaining cheese is still a rectangular block, with one dimension shortened by $1.$ If the ten slices shorten the three dimensions by $p,$ $q,$ and $r$ with $p + q + r = 10,$ the remaining block measures $(10 - p) \times (13 - q) \times (14 - r),$ and these dimensions sum to $37 - 10 = 27.$

By the AM-GM inequality, a product of positive numbers with fixed sum $27$ is greatest when all three are equal to $9,$ which is achieved by taking $1$ slice from the $10$ cm dimension, $4$ from the $13$ cm dimension, and $5$ from the $14$ cm dimension. The maximum volume is $9^3 = 729$ cubic cm.

2008 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años