Question

Ed y Sue montan en bicicleta a velocidades iguales y constantes. De igual manera, trotan a velocidades iguales y constantes, y nadan a velocidades iguales y constantes. Ed recorre $74$ kilómetros tras montar en bicicleta durante $2$ horas, trotar durante $3$ horas y nadar durante $4$ horas, mientras que Sue recorre $91$ kilómetros tras trotar durante $2$ horas, nadar durante $3$ horas y montar en bicicleta durante $4$ horas. Sus velocidades de ciclismo, trote y natación son todas números enteros de kilómetros por hora. Halla la suma de los cuadrados de las velocidades de ciclismo, trote y natación de Ed.

Ed and Sue bike at equal and constant rates. Similarly, they jog at equal and constant rates, and they swim at equal and constant rates. Ed covers $74$ kilometers after biking for $2$ hours, jogging for $3$ hours, and swimming for $4$ hours, while Sue covers $91$ kilometers after jogging for $2$ hours, swimming for $3$ hours, and biking for $4$ hours. Their biking, jogging, and swimming rates are all whole numbers of kilometers per hour. Find the sum of the squares of Ed's biking, jogging, and swimming rates.

Respuesta

Solución:

Sean $b,$ $j,$ y $s$ las velocidades de ciclismo, trote y natación. Los dos recorridos dan $2b + 3j + 4s = 74$ y $4b + 2j + 3s = 91.$ Duplicar la primera ecuación y restar la segunda produce $4j + 5s = 57,$ cuyas soluciones enteras positivas son $(j, s) = (13, 1),$ $(8, 5),$ y $(3, 9).$

Los valores correspondientes de $2b = 74 - 3j - 4s$ son $31,$ $30,$ y $29,$ así que solo $(j, s) = (8, 5)$ da una velocidad entera, $b = 15.$ La suma de los cuadrados es $15^2 + 8^2 + 5^2$ $= 225 + 64 + 25$ $= 314.$

Let $b,$ $j,$ and $s$ be the biking, jogging, and swimming rates. The two trips give $2b + 3j + 4s = 74$ and $4b + 2j + 3s = 91.$ Doubling the first equation and subtracting the second yields $4j + 5s = 57,$ whose positive integer solutions are $(j, s) = (13, 1),$ $(8, 5),$ and $(3, 9).$

The corresponding values of $2b = 74 - 3j - 4s$ are $31,$ $30,$ and $29,$ so only $(j, s) = (8, 5)$ gives a whole-number rate, $b = 15.$ The sum of the squares is $15^2 + 8^2 + 5^2$ $= 225 + 64 + 25$ $= 314.$

2008 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años