Question

Halla el número de maneras de colocar un dígito en cada celda de una cuadrícula de $2 \times 3$ de modo que la suma de los dos números formados al leer de izquierda a derecha sea $999,$ y la suma de los tres números formados al leer de arriba abajo sea $99.$ La cuadrícula de abajo es un ejemplo de tal disposición porque $8 + 991 = 999$ y $9 + 9 + 81 = 99.$

Find the number of ways to place a digit in each cell of a $2 \times 3$ grid so that the sum of the two numbers formed by reading left to right is $999,$ and the sum of the three numbers formed by reading top to bottom is $99.$ The grid below is an example of such an arrangement because $8 + 991 = 999$ and $9 + 9 + 81 = 99.$

Respuesta

Solución:

Sean $a, b, c$ los dígitos de la fila superior y los de la fila inferior $d, e, f.$ En la suma de los dos números de fila, los dígitos de las unidades cumplen $c + f \equiv 9 \pmod{10},$ y como $c + f \le 18$ de hecho $c + f = 9$ sin acarreo. Repitiendo el argumento en las decenas y las centenas se obtiene $b + e = 9$ y $a + d = 9.$

Los tres números de columna suman $10(a + b + c) + (d + e + f)$ $= 99.$ Escribiendo $S = a + b + c,$ los dígitos inferiores suman $27 - S,$ así que $10S + 27 - S = 99$ y $S = 8.$

Recíprocamente, cualesquiera dígitos con $a + b + c = 8$ determinan la fila inferior mediante $d = 9 - a,$ $e = 9 - b,$ $f = 9 - c,$ y ambas condiciones se cumplen. El número de soluciones de $a + b + c = 8$ en dígitos no negativos es $\binom{10}{2} = 45.$

Let the top row hold digits $a, b, c$ and the bottom row $d, e, f.$ In the sum of the two row numbers, the units digits satisfy $c + f \equiv 9 \pmod{10},$ and since $c + f \le 18$ in fact $c + f = 9$ with no carry. Repeating the argument in the tens and hundreds places gives $b + e = 9$ and $a + d = 9.$

The three column numbers add to $10(a + b + c) + (d + e + f)$ $= 99.$ Writing $S = a + b + c,$ the bottom digits sum to $27 - S,$ so $10S + 27 - S = 99$ and $S = 8.$

Conversely, any digits with $a + b + c = 8$ determine the bottom row by $d = 9 - a,$ $e = 9 - b,$ $f = 9 - c,$ and both conditions hold. The number of solutions of $a + b + c = 8$ in nonnegative digits is $\binom{10}{2} = 45.$

2024 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años