Problemas del 2024 AIME II
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1.
Entre los residentes de Aimeville, hay que poseen un anillo de diamantes, que poseen un juego de palos de golf y que poseen una pala de jardín. Además, cada uno de los residentes posee una bolsa de caramelos de corazón. Hay residentes que poseen exactamente dos de estas cosas, y residentes que poseen exactamente tres de estas cosas. Halla el número de residentes de Aimeville que poseen las cuatro cosas.
Among the residents of Aimeville, there are who own a diamond ring, who own a set of golf clubs, and who own a garden spade. In addition, each of the residents owns a bag of candy hearts. There are residents who own exactly two of these things, and residents who own exactly three of these things. Find the number of residents of Aimeville who own all four of these things.
Respuesta: 73
Pista pequeña:
Cada residente posee los caramelos de corazón, así que suma los cuatro recuentos de posesión y compáralos con
Every resident owns the candy hearts, so add all four ownership counts and compare with
Pista grande:
Al contar una vez por cada objeto poseído, los residentes con exactamente o objetos se cuentan o veces de más
Counting once per item owned, residents with exactly or items are counted or extra times
Solución:
Al sumar los cuatro recuentos de posesión se obtienen posesiones de objetos entre los residentes. Como todos poseen una bolsa de caramelos de corazón, cada residente posee al menos un objeto, y un residente que posee exactamente objetos se cuenta veces además de la primera.
Si residentes poseen las cuatro cosas, los recuentos adicionales suman así que lo que da
Adding the four ownership counts gives item ownerships among the residents. Since everyone owns a bag of candy hearts, every resident owns at least one item, and a resident owning exactly items is counted times beyond the first.
If residents own all four things, the extra counts total so giving
2.
Una lista de enteros positivos tiene las siguientes propiedades:
• La suma de los elementos de la lista es
• La única moda de la lista es
• La mediana de la lista es un entero positivo que no aparece en la lista misma.
Halla la suma de los cuadrados de todos los elementos de la lista.
A list of positive integers has the following properties:
• The sum of the items in the list is
• The unique mode of the list is
• The median of the list is a positive integer that does not appear in the list itself.
Find the sum of the squares of all the items in the list.
Respuesta: 236
Pista pequeña:
Una lista de longitud impar tiene su mediana como uno de sus elementos, así que la lista tiene una cantidad par de elementos. La moda aparece al menos dos veces.
An odd-length list has its median as a member, so the list has evenly many items. The mode appears at least twice.
Pista grande:
Prueba con cuatro elementos con la mediana debe ser un número entero, así que es impar
Try four items with the median must be a whole number, so is odd
Solución:
La mediana es un entero que no está en la lista, así que la lista no puede tener longitud impar (pues la mediana sería uno de sus elementos). La moda única aparece al menos dos veces. Dos elementos suman no así que probemos cuatro elementos junto con donde y son distintos (una repetición empataría la moda) y La mediana debe ser entera, así que es impar, y obliga a Por tanto, y la lista tiene mediana que no aparece.
Ninguna lista más larga funciona. Con exactamente dos , seis elementos requerirían otros cuatro valores distintos que sumen a saber o pero ambos dan mediana ocho o más elementos son imposibles porque seis valores positivos distintos ya suman al menos Con tres , los elementos restantes suman y cada opción coloca en la mediana o empata la moda. Cuatro ya suman más de
La suma de cuadrados es
The median is an integer that is not in the list, so the list cannot have odd length (then the median would be a member). The unique mode appears at least twice. Two items sum to not so try four items together with where and are distinct (a repeat would tie the mode) and The median must be an integer, so is odd, and forces Thus and the list has median which indeed does not appear.
No longer list works. With exactly two s, six items would need four distinct other values summing to namely or but both give median eight or more items are impossible because six distinct positive values already sum to at least With three s the remaining items sum to and every option either puts at the median or ties the mode. Four s already sum to more than
The sum of squares is
3.
Halla el número de maneras de colocar un dígito en cada celda de una cuadrícula de de modo que la suma de los dos números formados al leer de izquierda a derecha sea y la suma de los tres números formados al leer de arriba abajo sea La cuadrícula de abajo es un ejemplo de tal disposición porque y
Find the number of ways to place a digit in each cell of a grid so that the sum of the two numbers formed by reading left to right is and the sum of the three numbers formed by reading top to bottom is The grid below is an example of such an arrangement because and
Respuesta: 45
Pista pequeña:
En la suma por filas los dos dígitos de cada columna deben sumar exactamente sin acarreo en ninguna parte
In the row sum each column’s two digits must add to exactly with no carrying anywhere
Pista grande:
Si los dígitos de la fila superior suman los dígitos de la fila inferior suman la condición de columna fija
If the top row’s digits sum to the bottom row’s digits sum to the column condition pins down
Solución:
Sean los dígitos de la fila superior y los de la fila inferior En la suma de los dos números de fila, los dígitos de las unidades cumplen y como de hecho sin acarreo. Repitiendo el argumento en las decenas y las centenas se obtiene y
Los tres números de columna suman Escribiendo los dígitos inferiores suman así que y
Recíprocamente, cualesquiera dígitos con determinan la fila inferior mediante y ambas condiciones se cumplen. El número de soluciones de en dígitos no negativos es
Let the top row hold digits and the bottom row In the sum of the two row numbers, the units digits satisfy and since in fact with no carry. Repeating the argument in the tens and hundreds places gives and
The three column numbers add to Writing the bottom digits sum to so and
Conversely, any digits with determine the bottom row by and both conditions hold. The number of solutions of in nonnegative digits is
4.
Sean y números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:
Entonces el valor de es donde y son enteros positivos primos entre sí. Halla
Let and be positive real numbers that satisfy the following system of equations:
Then the value of is where and are relatively prime positive integers. Find
Respuesta: 33
Pista pequeña:
Define para convertir el sistema en tres ecuaciones lineales
Set to turn the system into three linear equations
Pista grande:
Suma las tres ecuaciones para hallar luego combínala con cada ecuación para despejar una a una
Add all three equations to find then combine it with each equation to solve for one at a time
Solución:
Sean Las ecuaciones se convierten en Sumando las tres se obtiene Como obtenemos así que y de forma análoga y
Por lo tanto así que y
Let The equations become Adding all three gives Since we get so and similarly and
Therefore so and
5.
Sea un hexágono equilátero convexo en el que todos los pares de lados opuestos son paralelos. El triángulo cuyos lados son las prolongaciones de los segmentos y tiene longitudes de lado y Halla la longitud del lado del hexágono.
Let be a convex equilateral hexagon in which all pairs of opposite sides are parallel. The triangle whose sides are extensions of segments and has side lengths and Find the side length of the hexagon.
Respuesta: 80
Pista pequeña:
Cada triángulo de esquina entre el hexágono y el triángulo grande tiene sus tres lados paralelos a los lados del triángulo grande, así que es semejante al triángulo grande
Each corner triangle between the hexagon and the big triangle has all three sides parallel to the big triangle’s sides, so it is similar to the big triangle
Pista grande:
Escribir el lado que contiene como más dos trozos de esquina conduce a
Writing the side containing as plus two corner pieces leads to
Solución:
Sea la longitud del lado del hexágono, y sea el triángulo formado por las rectas con lados de longitudes a lo largo de esas tres rectas, respectivamente. El triángulo de esquina recortado en el vértice donde se cortan las rectas y tiene tercer lado y como sus tres lados son paralelos a los lados del triángulo grande. Así que es semejante al triángulo grande con razón y su lado a lo largo de la recta tiene longitud De igual modo, la esquina en contiene y recorta del lado .
El lado se descompone por tanto en trozo de esquina, trozo de esquina: Al dividir entre se obtiene una expresión simétrica en los tres lados.
Por lo tanto
Let be the hexagon’s side length, and let the triangle formed by lines have sides of lengths along those three lines, respectively. The corner triangle cut off at the vertex where lines and meet has third side and since all three of its sides are parallel to sides of the big triangle. So it is similar to the big triangle with ratio and its side along line has length Likewise the corner at contains and cuts off from the -side.
The -side therefore decomposes as corner piece, corner piece: and dividing by gives symmetric in the three sides.
Hence
6.
Alice elige un conjunto de enteros positivos. Luego Bob enumera todos los conjuntos finitos no vacíos de enteros positivos con la propiedad de que el elemento máximo de pertenece a La lista de Bob tiene conjuntos. Halla la suma de los elementos de
Alice chooses a set of positive integers. Then Bob lists all finite nonempty sets of positive integers with the property that the maximum element of belongs to Bob’s list has sets. Find the sum of the elements of
Respuesta: 55
Pista pequeña:
Agrupa los conjuntos de Bob según su máximo: si el máximo es el resto del conjunto es cualquier subconjunto de
Group Bob’s sets by their maximum: if the maximum is the rest of the set is any subset of
Pista grande:
Así que la lista tiene conjuntos; las representaciones binarias son únicas, así que escribe en base
So the list has sets; binary representations are unique, so write in base
Solución:
Fijado los conjuntos con elemento máximo constan de junto con un subconjunto arbitrario de así que hay de ellos, y cada conjunto de la lista de Bob se cuenta exactamente una vez por su máximo. Por lo tanto
Como y las representaciones binarias son únicas, La suma de los elementos de es
For a fixed the sets with maximum element consist of together with an arbitrary subset of so there are of them, and every set on Bob’s list is counted exactly once by its maximum. Hence
Since and binary representations are unique, The sum of the elements of is
7.
Sea el mayor entero de cuatro dígitos con la propiedad de que cada vez que uno de sus dígitos se cambia a el número resultante es divisible por Sean y el cociente y el resto, respectivamente, cuando se divide entre Halla
Let be the greatest four-digit integer with the property that whenever one of its digits is changed to the resulting number is divisible by Let and be the quotient and remainder, respectively, when is divided by Find
Respuesta: 699
Pista pequeña:
Cambiar un dígito a resta veces una potencia de así que para los dígitos
Changing a digit to subtracts times a power of so for digits
Pista grande:
Sea cada dígito queda entonces determinado módulo y la consistencia de con sus propios dígitos obliga a un único valor de
Let each digit is then determined mod and consistency of with its own digits forces a single value of
Solución:
Escribe con dígitos Cambiar el dígito de los millares a produce así que y de forma análoga para los demás dígitos. Como y
Sea Usando y los inversos los dígitos cumplen Pero además sustituyendo se obtiene así que y
Entonces y tomando el mayor dígito en cada clase se obtiene (la clase no tiene un dígito mayor), En efecto, son todos múltiplos de Finalmente y
Write with digits Changing the thousands digit to produces so and similarly for the other digits. Since and
Let Using and the inverses the digits satisfy But also substituting gives so and
Then and taking the largest digit in each class gives (the class has no larger digit), Indeed are all multiples of Finally and
8.
El toro es la superficie que se produce al girar un círculo de radio alrededor de un eje en el plano del círculo que está a una distancia del centro del círculo (o sea, como una rosquilla).
Sea una esfera de radio Cuando descansa en el interior de es internamente tangente a a lo largo de un círculo de radio y cuando descansa en el exterior de es externamente tangente a a lo largo de un círculo de radio La diferencia se puede escribir como donde y son enteros positivos primos entre sí. Halla
Torus is the surface produced by revolving a circle with radius around an axis in the plane of the circle that is a distance from the center of the circle (so like a donut).
Let be a sphere with a radius When rests on the inside of it is internally tangent to along a circle with radius and when rests on the outside of it is externally tangent to along a circle with radius The difference can be written as where and are relatively prime positive integers. Find
Respuesta: 127
Pista pequeña:
Corta con un plano que pase por el eje: el tubo es un círculo de radio centrado a del eje, y el centro de la esfera está sobre el eje
Slice with a plane through the axis: the tube is a circle of radius centered from the axis, and the sphere’s center lies on the axis
Pista grande:
La tangencia coloca el centro del tubo a distancia o del centro de la esfera; escala la distancia del centro del tubo al eje por o
Tangency puts the tube’s center at distance or from the sphere’s center; scale the tube center’s distance from the axis by or
Solución:
Por simetría, el eje del toro pasa por el centro de la esfera. Trabaja en un plano que pase por el eje: allí el toro aparece como un círculo de radio (el tubo) cuyo centro está a distancia del eje, y la esfera aparece como un círculo de radio centrado en Las dos superficies son tangentes a lo largo del círculo barrido por el punto de tangencia de estas secciones transversales, que está sobre el rayo desde que pasa por el centro del tubo. Para la tangencia interna, el centro del tubo está a distancia de para la tangencia externa,
El punto de tangencia está a distancia de a lo largo de ese rayo, así que es el centro del tubo escalado por (resp. ) desde y su distancia al eje es el mismo múltiplo de la distancia del centro del tubo
Entonces que está en su mínima expresión, así que
By symmetry the axis of the torus passes through the center of the sphere. Work in a plane through the axis: there the torus appears as a circle of radius (the tube) whose center sits at distance from the axis, and the sphere appears as a circle of radius centered at The two surfaces are tangent along the circle swept by the tangency point of these cross-sections, which lies on the ray from through the tube’s center. For internal tangency the tube’s center is at distance from for external tangency,
The tangency point lies at distance from along that ray, so it is the tube center scaled by (resp. ) from and its distance from the axis is the same multiple of the tube center’s distance
Then which is in lowest terms, so
9.
Hay una colección de fichas blancas indistinguibles y fichas negras indistinguibles. Halla el número de maneras de colocar algunas de estas fichas en una cuadrícula de de modo que:
• cada celda contenga a lo sumo una ficha
• todas las fichas de una misma fila y todas las fichas de una misma columna tengan el mismo color, y
• cualquier ficha adicional colocada en la cuadrícula violaría una o más de las dos condiciones anteriores.
There is a collection of indistinguishable white chips and indistinguishable black chips. Find the number of ways to place some of these chips in a grid such that:
• each cell contains at most one chip
• all chips in the same row and all chips in the same column have the same color, and
• any additional chip placed on the grid would violate one or more of the previous two conditions.
Respuesta: 902
Pista pequeña:
Una colocación maximal no tiene ninguna fila ni columna vacía: siempre se podría añadir una ficha que coincida con el color de la columna dentro de una fila vacía
A maximal placement has no empty row or column: a chip matching the column’s color could always be added inside an empty row
Pista grande:
Así que cada fila y cada columna lleva un color, las fichas llenan exactamente las celdas donde los dos colores coinciden, y las filas y columnas deben usar el mismo conjunto de colores
So every row and column carries a color, chips fill exactly the cells where the two colors agree, and rows and columns must use the same set of colors
Solución:
En una colocación válida, cada fila no vacía tiene un solo color, e igualmente cada columna. Si alguna fila estuviera vacía, elige cualquier celda de ella: una ficha del color de la columna de esa celda (cualquier color si la columna también está vacía) podría añadirse legalmente, contradiciendo la tercera condición. Así que cada fila y cada columna es no vacía, y podemos hablar de su color.
Una ficha en una celda obliga a que los colores de su fila y su columna coincidan; recíprocamente, si una fila y una columna comparten color pero su celda común está vacía, se podría añadir una ficha de ese color. Por lo tanto las fichas ocupan exactamente las celdas cuyo color de fila es igual al color de columna. Para que cada fila sea no vacía, el color de cada fila debe aparecer entre los colores de columna, y viceversa: las filas y las columnas usan el mismo conjunto de colores. Cualquier coloración de este tipo produce recíprocamente una colocación maximal válida (a lo sumo celdas contienen fichas de cada color, así que el suministro alcanza), y coloraciones distintas dan colocaciones distintas.
Contando las coloraciones: todas las filas y columnas blancas, todas negras, o ambos colores usados por las filas y por las columnas:
In a valid placement, each nonempty row has a single color, and likewise each column. If some row were empty, choose any cell of it: a chip of the color of that cell’s column (either color if the column is also empty) could legally be added, contradicting the third condition. So every row and every column is nonempty, and we may speak of its color.
A chip at a cell forces its row and column colors to agree; conversely, if a row and a column share a color but their common cell is empty, a chip of that color could be added. Hence chips occupy exactly the cells whose row color equals the column color. For every row to be nonempty, each row’s color must appear among the column colors, and vice versa — the rows and the columns use the same set of colors. Any such coloring conversely yields a valid maximal placement (at most cells hold chips of each color, so the supply suffices), and distinct colorings give distinct placements.
Counting the colorings: all rows and columns white, all black, or both colors used by the rows and by the columns:
10.
Sea con incentro circuncentro inradio y circunradio Supón que Halla
Let have incenter circumcenter inradius and circumradius Suppose that Find
Respuesta: 468
Pista pequeña:
El ángulo recto da y la fórmula de Euler lo convierte en
The right angle gives and Euler’s formula turns this into
Pista grande:
Combina con y
Combine with and
Solución:
Como el teorema de Pitágoras en el triángulo da y la fórmula de Euler produce Al combinar esto con se obtiene así que
Entonces así que mientras que Por lo tanto el semiperímetro es
Igualando las dos fórmulas del área
Since the Pythagorean theorem in triangle gives and Euler’s formula yields Combining with gives so
Then so while Hence the semiperimeter is
Equating the two area formulas
11.
Halla el número de ternas de enteros no negativos que satisfacen y
Find the number of triples of nonnegative integers satisfying and
Respuesta: 601
Pista pequeña:
Con la suma dada es igual a
With the given sum equals
Pista grande:
Desarrolla usando la condición dice exactamente que este producto se anula
Expand using the condition says exactly that this product vanishes
Solución:
El lado izquierdo es la suma simétrica donde y Así que la condición es Ahora desarrolla usando La condición se cumple exactamente cuando este producto es es decir, cuando al menos uno de es igual a
Si entonces lo que da ternas, y de igual modo para y Una terna contada más de una vez tiene dos variables iguales a lo que obliga a que la tercera también sea ; la terna se cuenta tres veces, así que el total es
The left side is the symmetric sum where and So the condition is Now expand using The condition holds exactly when this product is that is, when at least one of equals
If then giving triples, and likewise for and A triple counted more than once has two variables equal to which forces the third to be as well; the triple is counted three times, so the total is
12.
Sean y puntos del plano coordenado. Sea la familia de segmentos de longitud unitaria situados en el primer cuadrante con sobre el eje y sobre el eje . Existe un único punto sobre distinto de y que no pertenece a ningún segmento de salvo Entonces donde y son enteros positivos primos entre sí. Halla
Let and be points in the coordinate plane. Let be the family of segments of unit length lying in the first quadrant with on the -axis and on the -axis. There is a unique point on distinct from and that does not belong to any segment from other than Then where and are relatively prime positive integers. Find
Respuesta: 23
Pista pequeña:
El segmento de a está sobre es el miembro
The segment from to lies on is the member
Pista grande:
Igualar a cero la derivada respecto a de en da corta eso con
Setting the -derivative of to zero at gives intersect that with
Solución:
Los miembros de son los segmentos que van de a para sobre las rectas el segmento corresponde a Para un punto de con sea de modo que el punto pertenece al segmento de ángulo exactamente cuando Observemos que en ambos extremos de y que Si entonces es negativa a un lado de y el teorema del valor intermedio produce otro cero en ese lado; el punto queda cubierto por otro segmento. Por tanto, debe satisfacer Como y son estrictamente convexas en este intervalo, es estrictamente convexa; así, para ese punto, es el mínimo global estricto de y ningún otro segmento lo contiene.
Ahora, y da es decir, Al intersectar con , obtenemos así que y un punto interior de
Por tanto, y
The members of are the segments from to for lying on the lines the segment is the member with For a point of with let so the point lies on the member for angle exactly when Note at both endpoints of and If then is negative on one side of and the intermediate value theorem produces another zero on that side — the point is covered by another segment. So must satisfy Because both and are strictly convex on this interval, is strictly convex; thus for that point is the strict global minimum of so no other segment contains it.
Now and gives i.e. Intersecting with gives so and an interior point of
Therefore and
13.
Sea una raíz -ésima de la unidad. Halla el resto cuando se divide entre
Let be a th root of unity. Find the remainder when is divided by
Respuesta: 321
Pista pequeña:
Factoriza y usa sobre todas las raíces -ésimas de la unidad
Factor and use over all th roots of unity
Pista grande:
hace que sea fácil de calcular; todo el producto se convierte en
makes easy to compute; the whole product becomes
Solución:
Como cada factor del producto se descompone, y cuando recorre de a recorre todas las raíces -ésimas de la unidad. Como para cualquier obtenemos Por lo tanto el producto es igual a
Como obtenemos y por conjugación Así que el producto es cuyo resto al dividir entre es
Since each factor of the product splits, and as runs from to runs over all th roots of unity. Because for any we get Hence the product equals
Since we get and by conjugation So the product is whose remainder upon division by is
14.
Sea un entero. Un entero positivo se llama -eautiful si tiene exactamente dos dígitos al expresarse en base y estos dos dígitos suman Por ejemplo, es -eautiful porque y Halla el menor entero para el cual hay más de diez enteros -eautiful.
Let be an integer. Call a positive integer -eautiful if it has exactly two digits when expressed in base and these two digits sum to For example, is -eautiful because and Find the least integer for which there are more than ten -eautiful integers.
Respuesta: 211
Pista pequeña:
Escribe con suma de dígitos entonces así que debe dividir
Write with digit sum then so must divide
Pista grande:
Cada tal que es divisible por da un módulo hay de tales residuos, donde cuenta los primos distintos de
Each for which is divisible by gives one mod there are such residues, where counts the distinct primes of
Solución:
Un número de dos dígitos en base es con y y la condición dice donde Entonces así que Observa que Recíprocamente, para cualquier con y divisible por tomando y se obtiene y por lo que hay exactamente un entero -eautiful Así que el recuento es igual al número de con
Sea Como y son coprimos, cada potencia de primo que divide debe dividir o así que por el teorema chino del resto hay soluciones módulo donde es el número de factores primos distintos de Entre los representantes solo cae fuera de nuestro rango (y califica), así que el recuento es
Necesitamos es decir El menor entero positivo con cuatro factores primos distintos es así que la menor base es (que tiene enteros -eautiful).
A two-digit number in base is with and and the condition says where Then so Note Conversely, for any with and divisible by setting and gives and hence exactly one -eautiful integer So the count equals the number of with
Let Since and are coprime, each prime power dividing must divide or so by the Chinese remainder theorem there are solutions modulo where is the number of distinct prime factors of Among the representatives only falls outside our range (and qualifies), so the count is
We need i.e. The smallest positive integer with four distinct prime factors is so the least base is (which has -eautiful integers).
15.
Halla el número de rectángulos que pueden formarse dentro de un dodecágono regular fijo (-gono) donde cada lado del rectángulo está sobre un lado o una diagonal del dodecágono. El diagrama de abajo muestra tres de esos rectángulos.
Find the number of rectangles that can be formed inside a fixed regular dodecagon (-gon) where each side of the rectangle lies on either a side or a diagonal of the dodecagon. The diagram below shows three of those rectangles.
Respuesta: 315
Pista pequeña:
Cada lado y diagonal apunta en una de direcciones, múltiplos de un rectángulo usa dos cuerdas de cada una de dos direcciones perpendiculares
Every side and diagonal points in one of directions, multiples of a rectangle uses two chords from each of two perpendicular directions
Pista grande:
Registra la distancia al centro de cada cuerda paralela y su semilongitud: las esquinas encajan si y solo si la mayor distancia de cada par es a lo sumo la semilongitud de la cuerda más lejana del otro par
Record each parallel chord’s distance from center and half-length: the corners fit iff each pair’s larger distance is at most the half-length of the other pair’s farther chord
Solución:
Coloca los vértices en los ángulos sobre un círculo unitario. La cuerda que une los vértices y tiene dirección así que las cuerdas vienen en direcciones separadas , y un rectángulo usa dos cuerdas de cada una de dos direcciones perpendiculares. Los seis pares de direcciones perpendiculares se dividen en dos clases, tres de cada una, por rotación. Cuando es par, una familia de cuerdas paralelas tiene miembros, a distancias del centro con semilongitudes respectivamente; cuando es impar, una familia tiene miembros, a distancias con semilongitudes
Una esquina es la intersección de una cuerda de cada dirección, y su desplazamiento a lo largo de una cuerda es igual a la distancia al centro de la otra cuerda. Como las semilongitudes decrecen a medida que la distancia crece, las cuatro esquinas están sobre los cuatro segmentos de cuerda exactamente cuando, escribiendo para las mayores distancias de los dos pares elegidos, cada es a lo sumo la semilongitud de la cuerda más lejana del otro par. Para las familias de cuerdas: los pares con (hay ) tienen cota de semilongitud y los pares con (hay ) tienen cota las combinaciones válidas dan rectángulos. Para las familias de cuerdas: hay pares con y las combinaciones válidas son ambos órdenes de y y lo que da
Cada clase de par de direcciones ocurre tres veces, así que el total es
Put the vertices at angles on a unit circle. The chord joining vertices and has direction so chords come in directions spaced apart, and a rectangle uses two chords from each of two perpendicular directions. The six perpendicular direction pairs split into two kinds, three of each, by rotation. When is even, a family of parallel chords has members, at distances from the center with half-lengths respectively; when is odd, a family has members, at distances with half-lengths
A corner is the intersection of one chord from each direction, and its offset along a chord equals the other chord’s distance from the center. Since half-lengths shrink as distance grows, the four corners lie on all four chord segments exactly when, writing for the larger distances of the two chosen pairs, each is at most the half-length of the other pair’s farther chord. For the -chord families: pairs with (there are ) have half-length bound and pairs with (there are ) have bound the valid combinations give rectangles. For the -chord families: there are pairs with and the valid combinations are both orders of and and giving
Each kind of direction pair occurs three times, so the total is