2024 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Entre los $900$ residentes de Aimeville, hay $195$ que poseen un anillo de diamantes, $367$ que poseen un juego de palos de golf y $562$ que poseen una pala de jardín. Además, cada uno de los $900$ residentes posee una bolsa de caramelos de corazón. Hay $437$ residentes que poseen exactamente dos de estas cosas, y $234$ residentes que poseen exactamente tres de estas cosas. Halla el número de residentes de Aimeville que poseen las cuatro cosas.

Among the $900$ residents of Aimeville, there are $195$ who own a diamond ring, $367$ who own a set of golf clubs, and $562$ who own a garden spade. In addition, each of the $900$ residents owns a bag of candy hearts. There are $437$ residents who own exactly two of these things, and $234$ residents who own exactly three of these things. Find the number of residents of Aimeville who own all four of these things.

Respuesta

Respuesta: 73

Conceptos:inclusión-exclusión Diagrama de Venn doble conteo

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Al sumar los cuatro recuentos de posesión se obtienen $195 + 367 + 562 + 900 = 2024$ posesiones de objetos entre los $900$ residentes. Como todos poseen una bolsa de caramelos de corazón, cada residente posee al menos un objeto, y un residente que posee exactamente $k$ objetos se cuenta $k - 1$ veces además de la primera.

Si $n_4$ residentes poseen las cuatro cosas, los recuentos adicionales suman $\begin{aligned} 2024 - 900 &= 437 \cdot 1 + 234 \cdot 2 \\ &\quad {}+ n_4 \cdot 3, \end{aligned}$ así que $1124 = 905 + 3 n_4,$ lo que da $n_4 = \frac{219}{3} = 73.$

Adding the four ownership counts gives $195 + 367 + 562 + 900 = 2024$ item ownerships among the $900$ residents. Since everyone owns a bag of candy hearts, every resident owns at least one item, and a resident owning exactly $k$ items is counted $k - 1$ times beyond the first.

If $n_4$ residents own all four things, the extra counts total $\begin{aligned} 2024 - 900 &= 437 \cdot 1 + 234 \cdot 2 \\ &\quad {}+ n_4 \cdot 3, \end{aligned}$ so $1124 = 905 + 3 n_4,$ giving $n_4 = \frac{219}{3} = 73.$

2.

Una lista de enteros positivos tiene las siguientes propiedades:

• La suma de los elementos de la lista es $30.$

• La única moda de la lista es $9.$

• La mediana de la lista es un entero positivo que no aparece en la lista misma.

Halla la suma de los cuadrados de todos los elementos de la lista.

A list of positive integers has the following properties:

• The sum of the items in the list is $30.$

• The unique mode of the list is $9.$

• The median of the list is a positive integer that does not appear in the list itself.

Find the sum of the squares of all the items in the list.

Respuesta

Respuesta: 236

Conceptos:moda mediana (datos)análisis por casos

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

La mediana es un entero que no está en la lista, así que la lista no puede tener longitud impar (entonces la mediana sería uno de sus elementos). La única moda $9$ aparece al menos dos veces. Dos elementos $9, 9$ suman $18,$ no $30,$ así que prueba con cuatro elementos $a \lt b \lt 9$ junto con $9, 9,$ donde $a$ y $b$ son distintos (una repetición empataría la moda) y $a + b = 12.$ La mediana $\frac{b + 9}{2}$ debe ser un entero, así que $b$ es impar, y $a = 12 - b \lt b$ obliga a que $b \gt 6.$ Por lo tanto $b = 7$ y $a = 5:$ la lista $5, 7, 9, 9$ tiene mediana $8,$ que en efecto no aparece.

Ninguna lista más larga funciona: con dos $9$ , seis elementos requerirían otros cuatro valores distintos que sumen $12,$ a saber $\{1, 2, 3, 6\}$ o $\{1, 2, 4, 5\},$ pero ambos dan mediana $4.5.$ Con tres $9$ , los elementos restantes suman $3,$ y toda opción o bien coloca $9$ en la mediana o bien empata la moda.

La suma de los cuadrados es $25 + 49 + 81 + 81 = 236.$

The median is an integer that is not in the list, so the list cannot have odd length (then the median would be a member). The unique mode $9$ appears at least twice. Two items $9, 9$ sum to $18,$ not $30,$ so try four items $a \lt b \lt 9$ together with $9, 9,$ where $a$ and $b$ are distinct (a repeat would tie the mode) and $a + b = 12.$ The median $\frac{b + 9}{2}$ must be an integer, so $b$ is odd, and $a = 12 - b \lt b$ forces $b \gt 6.$ Thus $b = 7$ and $a = 5:$ the list $5, 7, 9, 9$ has median $8,$ which indeed does not appear.

No longer list works: with two $9$ s, six items would need four distinct other values summing to $12,$ namely $\{1, 2, 3, 6\}$ or $\{1, 2, 4, 5\},$ but both give median $4.5.$ With three $9$ s the remaining items sum to $3,$ and every option either puts $9$ at the median or ties the mode.

The sum of squares is $25 + 49 + 81 + 81 = 236.$

3.

Halla el número de maneras de colocar un dígito en cada celda de una cuadrícula de $2 \times 3$ de modo que la suma de los dos números formados al leer de izquierda a derecha sea $999,$ y la suma de los tres números formados al leer de arriba abajo sea $99.$ La cuadrícula de abajo es un ejemplo de tal disposición porque $8 + 991 = 999$ y $9 + 9 + 81 = 99.$

Find the number of ways to place a digit in each cell of a $2 \times 3$ grid so that the sum of the two numbers formed by reading left to right is $999,$ and the sum of the three numbers formed by reading top to bottom is $99.$ The grid below is an example of such an arrangement because $8 + 991 = 999$ and $9 + 9 + 81 = 99.$

Respuesta

Respuesta: 45

Conceptos:dígitos valor posicional estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Sean $a, b, c$ los dígitos de la fila superior y los de la fila inferior $d, e, f.$ En la suma de los dos números de fila, los dígitos de las unidades cumplen $c + f \equiv 9 \pmod{10},$ y como $c + f \le 18$ de hecho $c + f = 9$ sin acarreo. Repitiendo el argumento en las decenas y las centenas se obtiene $b + e = 9$ y $a + d = 9.$

Los tres números de columna suman $10(a + b + c) + (d + e + f)$ $= 99.$ Escribiendo $S = a + b + c,$ los dígitos inferiores suman $27 - S,$ así que $10S + 27 - S = 99$ y $S = 8.$

Recíprocamente, cualesquiera dígitos con $a + b + c = 8$ determinan la fila inferior mediante $d = 9 - a,$ $e = 9 - b,$ $f = 9 - c,$ y ambas condiciones se cumplen. El número de soluciones de $a + b + c = 8$ en dígitos no negativos es $\binom{10}{2} = 45.$

Let the top row hold digits $a, b, c$ and the bottom row $d, e, f.$ In the sum of the two row numbers, the units digits satisfy $c + f \equiv 9 \pmod{10},$ and since $c + f \le 18$ in fact $c + f = 9$ with no carry. Repeating the argument in the tens and hundreds places gives $b + e = 9$ and $a + d = 9.$

The three column numbers add to $10(a + b + c) + (d + e + f)$ $= 99.$ Writing $S = a + b + c,$ the bottom digits sum to $27 - S,$ so $10S + 27 - S = 99$ and $S = 8.$

Conversely, any digits with $a + b + c = 8$ determine the bottom row by $d = 9 - a,$ $e = 9 - b,$ $f = 9 - c,$ and both conditions hold. The number of solutions of $a + b + c = 8$ in nonnegative digits is $\binom{10}{2} = 45.$

4.

Sean $x,$ $y,$ y $z$ números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $\log_2\left(\frac{x}{yz}\right) = \frac{1}{2}$ $\log_2\left(\frac{y}{xz}\right) = \frac{1}{3}$ $\log_2\left(\frac{z}{xy}\right) = \frac{1}{4}$

Entonces el valor de $\left|\log_2(x^4 y^3 z^2)\right|$ es $\frac{m}{n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ be positive real numbers that satisfy the following system of equations: $\log_2\left(\frac{x}{yz}\right) = \frac{1}{2}$ $\log_2\left(\frac{y}{xz}\right) = \frac{1}{3}$ $\log_2\left(\frac{z}{xy}\right) = \frac{1}{4}$

Then the value of $\left|\log_2(x^4 y^3 z^2)\right|$ is $\frac{m}{n}$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 33

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Sean $a = \log_2 x,$ $b = \log_2 y,$ $c = \log_2 z.$ Las ecuaciones se convierten en $a - b - c = \frac{1}{2},$ $b - a - c = \frac{1}{3},$ $c - a - b = \frac{1}{4}.$ Sumando las tres se obtiene $-(a + b + c) = \frac{13}{12}.$ Como $a - b - c = 2a - (a + b + c),$ obtenemos $2a = \frac{1}{2} - \frac{13}{12} = -\frac{7}{12},$ así que $a = -\frac{7}{24},$ y de forma análoga $b = -\frac{3}{8}$ y $c = -\frac{5}{12}.$

Por lo tanto $4a + 3b + 2c = -\frac{28}{24}$ $- \frac{27}{24}$ $- \frac{20}{24} = -\frac{75}{24}$ $= -\frac{25}{8},$ así que $\left|\log_2(x^4 y^3 z^2)\right| = \frac{25}{8}$ y $m + n = 25 + 8 = 33.$

Let $a = \log_2 x,$ $b = \log_2 y,$ $c = \log_2 z.$ The equations become $a - b - c = \frac{1}{2},$ $b - a - c = \frac{1}{3},$ $c - a - b = \frac{1}{4}.$ Adding all three gives $-(a + b + c) = \frac{13}{12}.$ Since $a - b - c = 2a - (a + b + c),$ we get $2a = \frac{1}{2} - \frac{13}{12} = -\frac{7}{12},$ so $a = -\frac{7}{24},$ and similarly $b = -\frac{3}{8}$ and $c = -\frac{5}{12}.$

Therefore $4a + 3b + 2c = -\frac{28}{24}$ $- \frac{27}{24}$ $- \frac{20}{24} = -\frac{75}{24}$ $= -\frac{25}{8},$ so $\left|\log_2(x^4 y^3 z^2)\right| = \frac{25}{8}$ and $m + n = 25 + 8 = 33.$

5.

Sea $ABCDEF$ un hexágono equilátero convexo en el que todos los pares de lados opuestos son paralelos. El triángulo cuyos lados son las prolongaciones de los segmentos $\overline{AB},$ $\overline{CD},$ y $\overline{EF}$ tiene longitudes de lado $200, 240,$ y $300.$ Halla la longitud del lado del hexágono.

Let $ABCDEF$ be a convex equilateral hexagon in which all pairs of opposite sides are parallel. The triangle whose sides are extensions of segments $\overline{AB},$ $\overline{CD},$ and $\overline{EF}$ has side lengths $200, 240,$ and $300.$ Find the side length of the hexagon.

Respuesta

Respuesta: 80

Conceptos:semejanza rectas paralelas

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del hexágono, y sea el triángulo formado por las rectas $AB,$ $CD,$ $EF$ con lados de longitudes $P,$ $Q,$ $R$ a lo largo de esas tres rectas, respectivamente. El triángulo de esquina recortado en el vértice $X$ donde se cortan las rectas $AB$ y $CD$ tiene tercer lado $BC,$ y como $BC \parallel EF,$ sus tres lados son paralelos a los lados del triángulo grande. Así que es semejante al triángulo grande con razón $\frac{BC}{R} = \frac{s}{R},$ y su lado a lo largo de la recta $AB$ tiene longitud $P \cdot \frac{s}{R}.$ De igual modo, la esquina en $AB \cap EF$ contiene $FA \parallel CD$ y recorta $P \cdot \frac{s}{Q}$ del lado $P$ .

El lado $P$ se descompone por tanto en trozo de esquina, $AB,$ trozo de esquina: $P = P \cdot \frac{s}{R} + s + P \cdot \frac{s}{Q},$ y al dividir entre $P$ se obtiene $1 = s\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{R}\right),$ simétrica en los tres lados.

Por lo tanto $s = \frac{1}{\frac{1}{200} + \frac{1}{240} + \frac{1}{300}} = \frac{1200}{6 + 5 + 4} = 80.$

Let $s$ be the hexagon's side length, and let the triangle formed by lines $AB,$ $CD,$ $EF$ have sides of lengths $P,$ $Q,$ $R$ along those three lines, respectively. The corner triangle cut off at the vertex $X$ where lines $AB$ and $CD$ meet has third side $BC,$ and since $BC \parallel EF,$ all three of its sides are parallel to sides of the big triangle. So it is similar to the big triangle with ratio $\frac{BC}{R} = \frac{s}{R},$ and its side along line $AB$ has length $P \cdot \frac{s}{R}.$ Likewise the corner at $AB \cap EF$ contains $FA \parallel CD$ and cuts off $P \cdot \frac{s}{Q}$ from the $P$ -side.

The $P$ -side therefore decomposes as corner piece, $AB,$ corner piece: $P = P \cdot \frac{s}{R} + s + P \cdot \frac{s}{Q},$ and dividing by $P$ gives $1 = s\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{R}\right),$ symmetric in the three sides.

Hence $s = \frac{1}{\frac{1}{200} + \frac{1}{240} + \frac{1}{300}} = \frac{1200}{6 + 5 + 4} = 80.$

6.

Alice elige un conjunto $A$ de enteros positivos. Luego Bob enumera todos los conjuntos finitos no vacíos $B$ de enteros positivos con la propiedad de que el elemento máximo de $B$ pertenece a $A.$ La lista de Bob tiene $2024$ conjuntos. Halla la suma de los elementos de $A.$

Alice chooses a set $A$ of positive integers. Then Bob lists all finite nonempty sets $B$ of positive integers with the property that the maximum element of $B$ belongs to $A.$ Bob's list has $2024$ sets. Find the sum of the elements of $A.$

Respuesta

Respuesta: 55

Conceptos:subconjuntos potencia de 2 base numérica

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Fijado $a \in A,$ los conjuntos $B$ con elemento máximo $a$ constan de $a$ junto con un subconjunto arbitrario de $\{1, \ldots, a - 1\},$ así que hay $2^{a-1}$ de ellos, y cada conjunto de la lista de Bob se cuenta exactamente una vez por su máximo. Por lo tanto $\sum_{a \in A} 2^{a-1} = 2024.$

Como $2024 = 2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7$ $+ 2^6 + 2^5 + 2^3$ y las representaciones binarias son únicas, $A = \{11, 10, 9, 8, 7, 6, 4\}.$ La suma de los elementos de $A$ es $11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6$ $+ 4 = 55.$

For a fixed $a \in A,$ the sets $B$ with maximum element $a$ consist of $a$ together with an arbitrary subset of $\{1, \ldots, a - 1\},$ so there are $2^{a-1}$ of them, and every set on Bob's list is counted exactly once by its maximum. Hence $\sum_{a \in A} 2^{a-1} = 2024.$

Since $2024 = 2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7$ $+ 2^6 + 2^5 + 2^3$ and binary representations are unique, $A = \{11, 10, 9, 8, 7, 6, 4\}.$ The sum of the elements of $A$ is $11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6$ $+ 4 = 55.$

7.

Sea $N$ el mayor entero de cuatro dígitos con la propiedad de que cada vez que uno de sus dígitos se cambia a $1,$ el número resultante es divisible entre $7.$ Sean $Q$ y $R$ el cociente y el resto, respectivamente, cuando $N$ se divide entre $1000.$ Halla $Q + R.$

Let $N$ be the greatest four-digit integer with the property that whenever one of its digits is changed to $1,$ the resulting number is divisible by $7.$ Let $Q$ and $R$ be the quotient and remainder, respectively, when $N$ is divided by $1000.$ Find $Q + R.$

Respuesta

Respuesta: 699

Conceptos:aritmética modular dígitos optimización

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Escribe $N$ con dígitos $a, b, c, d.$ Cambiar el dígito de los millares a $1$ produce $N - (a - 1) \cdot 1000,$ así que $N \equiv 1000(a-1) \pmod 7,$ y de forma análoga para los demás dígitos. Como $1000 \equiv 6,$ $100 \equiv 2,$ y $10 \equiv 3 \pmod 7,$ $\begin{aligned} N &\equiv 6(a-1) \\ &\equiv 2(b-1) \equiv 3(c-1) \\ &\equiv d - 1 \pmod 7. \end{aligned}$

Sea $k = N \bmod 7.$ Usando $6 \equiv -1$ y los inversos $2^{-1} \equiv 4,$ $3^{-1} \equiv 5,$ los dígitos cumplen $a \equiv 1 - k,$ $b \equiv 1 + 4k,$ $c \equiv 1 + 5k,$ $d \equiv 1 + k \pmod 7.$ Pero además $k \equiv N$ $\equiv 6a + 2b + 3c + d \pmod 7;$ sustituyendo se obtiene $k \equiv 12 + 18k \equiv 5 + 4k,$ así que $3k \equiv 2$ y $k \equiv 3 \pmod 7.$

Entonces $a \equiv 5,$ $b \equiv 6,$ $c \equiv 2,$ $d \equiv 4 \pmod 7,$ y tomando el mayor dígito en cada clase se obtiene $a = 5$ (la clase $\{5, 12, \ldots\}$ no tiene un dígito mayor), $b = 6,$ $c = 9,$ $d = 4:$ $N = 5694.$ En efecto, $1694, 5194, 5614, 5691$ son todos múltiplos de $7.$ Finalmente $Q = 5,$ $R = 694,$ y $Q + R = 699.$

Write $N$ with digits $a, b, c, d.$ Changing the thousands digit to $1$ produces $N - (a - 1) \cdot 1000,$ so $N \equiv 1000(a-1) \pmod 7,$ and similarly for the other digits. Since $1000 \equiv 6,$ $100 \equiv 2,$ and $10 \equiv 3 \pmod 7,$ $\begin{aligned} N &\equiv 6(a-1) \\ &\equiv 2(b-1) \equiv 3(c-1) \\ &\equiv d - 1 \pmod 7. \end{aligned}$

Let $k = N \bmod 7.$ Using $6 \equiv -1$ and the inverses $2^{-1} \equiv 4,$ $3^{-1} \equiv 5,$ the digits satisfy $a \equiv 1 - k,$ $b \equiv 1 + 4k,$ $c \equiv 1 + 5k,$ $d \equiv 1 + k \pmod 7.$ But also $k \equiv N$ $\equiv 6a + 2b + 3c + d \pmod 7;$ substituting gives $k \equiv 12 + 18k \equiv 5 + 4k,$ so $3k \equiv 2$ and $k \equiv 3 \pmod 7.$

Then $a \equiv 5,$ $b \equiv 6,$ $c \equiv 2,$ $d \equiv 4 \pmod 7,$ and taking the largest digit in each class gives $a = 5$ (the class $\{5, 12, \ldots\}$ has no larger digit), $b = 6,$ $c = 9,$ $d = 4:$ $N = 5694.$ Indeed $1694, 5194, 5614, 5691$ are all multiples of $7.$ Finally $Q = 5,$ $R = 694,$ and $Q + R = 699.$

8.

El toro $T$ es la superficie que se produce al girar un círculo de radio $3$ alrededor de un eje en el plano del círculo que está a una distancia $6$ del centro del círculo (o sea, como una rosquilla).

Sea $S$ una esfera de radio $11.$ Cuando $T$ descansa en el interior de $S,$ es internamente tangente a $S$ a lo largo de un círculo de radio $r_i,$ y cuando $T$ descansa en el exterior de $S,$ es externamente tangente a $S$ a lo largo de un círculo de radio $r_o.$ La diferencia $r_i - r_o$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Torus $T$ is the surface produced by revolving a circle with radius $3$ around an axis in the plane of the circle that is a distance $6$ from the center of the circle (so like a donut).

Let $S$ be a sphere with a radius $11.$ When $T$ rests on the inside of $S,$ it is internally tangent to $S$ along a circle with radius $r_i,$ and when $T$ rests on the outside of $S,$ it is externally tangent to $S$ along a circle with radius $r_o.$ The difference $r_i - r_o$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 127

Conceptos:Geometría 3D circunferencias tangentes semejanza

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Por simetría, el eje del toro pasa por el centro $O$ de la esfera. Trabaja en un plano que pase por el eje: allí el toro aparece como un círculo de radio $3$ (el tubo) cuyo centro está a distancia $6$ del eje, y la esfera aparece como un círculo de radio $11$ centrado en $O.$ Las dos superficies son tangentes a lo largo del círculo barrido por el punto de tangencia de estas secciones transversales, que está sobre el rayo desde $O$ que pasa por el centro del tubo. Para la tangencia interna, el centro del tubo está a distancia $11 - 3 = 8$ de $O;$ para la tangencia externa, $11 + 3 = 14.$

El punto de tangencia está a distancia $11$ de $O$ a lo largo de ese rayo, así que es el centro del tubo escalado por $\frac{11}{8}$ (resp. $\frac{11}{14}$ ) desde $O,$ y su distancia al eje es el mismo múltiplo de la distancia del centro del tubo $6:$ $r_i = \frac{11}{8} \cdot 6 = \frac{33}{4},$ $r_o = \frac{11}{14} \cdot 6 = \frac{33}{7}.$

Entonces $r_i - r_o = \frac{33 \cdot 3}{28} = \frac{99}{28},$ que está en su mínima expresión, así que $m + n = 99 + 28 = 127.$

By symmetry the axis of the torus passes through the center $O$ of the sphere. Work in a plane through the axis: there the torus appears as a circle of radius $3$ (the tube) whose center sits at distance $6$ from the axis, and the sphere appears as a circle of radius $11$ centered at $O.$ The two surfaces are tangent along the circle swept by the tangency point of these cross-sections, which lies on the ray from $O$ through the tube's center. For internal tangency the tube's center is at distance $11 - 3 = 8$ from $O;$ for external tangency, $11 + 3 = 14.$

The tangency point lies at distance $11$ from $O$ along that ray, so it is the tube center scaled by $\frac{11}{8}$ (resp. $\frac{11}{14}$ ) from $O,$ and its distance from the axis is the same multiple of the tube center's distance $6:$ $r_i = \frac{11}{8} \cdot 6 = \frac{33}{4},$ $r_o = \frac{11}{14} \cdot 6 = \frac{33}{7}.$

Then $r_i - r_o = \frac{33 \cdot 3}{28} = \frac{99}{28},$ which is in lowest terms, so $m + n = 99 + 28 = 127.$

9.

Hay una colección de $25$ fichas blancas indistinguibles y $25$ fichas negras indistinguibles. Halla el número de maneras de colocar algunas de estas fichas en una cuadrícula de $5 \times 5$ de modo que:

• cada celda contenga a lo sumo una ficha

• todas las fichas de una misma fila y todas las fichas de una misma columna tengan el mismo color, y

• cualquier ficha adicional colocada en la cuadrícula violaría una o más de las dos condiciones anteriores.

There is a collection of $25$ indistinguishable white chips and $25$ indistinguishable black chips. Find the number of ways to place some of these chips in a $5 \times 5$ grid such that:

• each cell contains at most one chip

• all chips in the same row and all chips in the same column have the same color, and

• any additional chip placed on the grid would violate one or more of the previous two conditions.

Respuesta

Respuesta: 902

Conceptos:arreglos con restricciones argumento extremal principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

En una colocación válida, cada fila no vacía tiene un solo color, e igualmente cada columna. Si alguna fila estuviera vacía, elige cualquier celda de ella: una ficha del color de la columna de esa celda (cualquier color si la columna también está vacía) podría añadirse legalmente, contradiciendo la tercera condición. Así que cada fila y cada columna es no vacía, y podemos hablar de su color.

Una ficha en una celda obliga a que los colores de su fila y su columna coincidan; recíprocamente, si una fila y una columna comparten color pero su celda común está vacía, se podría añadir una ficha de ese color. Por lo tanto las fichas ocupan exactamente las celdas cuyo color de fila es igual al color de columna. Para que cada fila sea no vacía, el color de cada fila debe aparecer entre los colores de columna, y viceversa: las filas y las columnas usan el mismo conjunto de colores. Cualquier coloración de este tipo produce recíprocamente una colocación maximal válida (a lo sumo $25$ celdas contienen fichas de cada color, así que el suministro alcanza), y coloraciones distintas dan colocaciones distintas.

Contando las coloraciones: todas las filas y columnas blancas, todas negras, o ambos colores usados por las filas y por las columnas: $1 + 1 + (2^5 - 2)^2 = 2 + 900$ $= 902.$

In a valid placement, each nonempty row has a single color, and likewise each column. If some row were empty, choose any cell of it: a chip of the color of that cell's column (either color if the column is also empty) could legally be added, contradicting the third condition. So every row and every column is nonempty, and we may speak of its color.

A chip at a cell forces its row and column colors to agree; conversely, if a row and a column share a color but their common cell is empty, a chip of that color could be added. Hence chips occupy exactly the cells whose row color equals the column color. For every row to be nonempty, each row's color must appear among the column colors, and vice versa — the rows and the columns use the same set of colors. Any such coloring conversely yields a valid maximal placement (at most $25$ cells hold chips of each color, so the supply suffices), and distinct colorings give distinct placements.

Counting the colorings: all rows and columns white, all black, or both colors used by the rows and by the columns: $1 + 1 + (2^5 - 2)^2 = 2 + 900$ $= 902.$

10.

Sea $\triangle ABC$ con incentro $I,$ circuncentro $O,$ inradio $6,$ y circunradio $13.$ Supón que $\overline{IA} \perp \overline{OI}.$ Halla $AB \cdot AC.$

Let $\triangle ABC$ have incenter $I,$ circumcenter $O,$ inradius $6,$ and circumradius $13.$ Suppose that $\overline{IA} \perp \overline{OI}.$ Find $AB \cdot AC.$

Respuesta

Respuesta: 468

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio trigonometría

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como $\angle OIA = 90^\circ,$ el teorema de Pitágoras en el triángulo $OIA$ da $IA^2 = OA^2 - OI^2 = R^2 - OI^2,$ y la fórmula de Euler $OI^2 = R^2 - 2Rr$ produce $IA^2 = 2Rr = 2 \cdot 13 \cdot 6 = 156.$ Combinando con $IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$ se obtiene $\sin^2\frac{A}{2} = \frac{36}{156} = \frac{3}{13},$ así que $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{10}{13}.$

Entonces $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{13},$ así que $a = BC = 2R \sin A = 4\sqrt{30},$ mientras que $s - a = r \cot\frac{A}{2} = 6\sqrt{\frac{10}{3}}$ $= 2\sqrt{30}.$ Por lo tanto el semiperímetro es $s = 6\sqrt{30}.$

Igualando las dos fórmulas del área $[ABC] = rs = \frac{1}{2}\, bc \sin A,$ $\begin{aligned} bc = \frac{2rs}{\sin A} &= \frac{2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{30}}{2\sqrt{30}/13} \\ &= 36 \cdot 13 = 468. \end{aligned}$

Since $\angle OIA = 90^\circ,$ the Pythagorean theorem in triangle $OIA$ gives $IA^2 = OA^2 - OI^2 = R^2 - OI^2,$ and Euler's formula $OI^2 = R^2 - 2Rr$ yields $IA^2 = 2Rr = 2 \cdot 13 \cdot 6 = 156.$ Combining with $IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$ gives $\sin^2\frac{A}{2} = \frac{36}{156} = \frac{3}{13},$ so $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{10}{13}.$

Then $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{13},$ so $a = BC = 2R \sin A = 4\sqrt{30},$ while $s - a = r \cot\frac{A}{2} = 6\sqrt{\frac{10}{3}}$ $= 2\sqrt{30}.$ Hence the semiperimeter is $s = 6\sqrt{30}.$

Equating the two area formulas $[ABC] = rs = \frac{1}{2}\, bc \sin A,$ $\begin{aligned} bc = \frac{2rs}{\sin A} &= \frac{2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{30}}{2\sqrt{30}/13} \\ &= 36 \cdot 13 = 468. \end{aligned}$

11.

Halla el número de ternas de enteros no negativos $(a, b, c)$ que satisfacen $a + b + c = 300$ y $\begin{aligned} &a^2 b + a^2 c \\ &\quad {}+ b^2 a + b^2 c \\ &\quad {}+ c^2 a + c^2 b = 6{,}000{,}000. \end{aligned}$

Find the number of triples of nonnegative integers $(a, b, c)$ satisfying $a + b + c = 300$ and $\begin{aligned} &a^2 b + a^2 c \\ &\quad {}+ b^2 a + b^2 c \\ &\quad {}+ c^2 a + c^2 b = 6{,}000{,}000. \end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 601

Conceptos:Ecuación diofántica factorización simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

El lado izquierdo es la suma simétrica $(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $- 3abc = 300q - 3p,$ donde $q = ab + bc + ca$ y $p = abc.$ Así que la condición es $100q - p = 2{,}000{,}000.$ Ahora desarrolla $\begin{gathered} (100 - a)(100 - b)(100 - c) \\ = 10^6 - 10^4 (a + b + c) \\ \quad {}+ 100q - p \\ = (100q - p) - 2 \cdot 10^6, \end{gathered}$ usando $a + b + c = 300.$ La condición se cumple exactamente cuando este producto es $0,$ es decir, cuando al menos uno de $a, b, c$ es igual a $100.$

Si $a = 100,$ entonces $b + c = 200,$ lo que da $201$ ternas, y de igual modo para $b$ y $c:$ $3 \cdot 201 = 603.$ Una terna contada más de una vez tiene dos variables iguales a $100,$ lo que obliga a que la tercera también sea $100$ ; la terna $(100, 100, 100)$ se cuenta tres veces, así que el total es $603 - 2 = 601.$

The left side is the symmetric sum $(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $- 3abc = 300q - 3p,$ where $q = ab + bc + ca$ and $p = abc.$ So the condition is $100q - p = 2{,}000{,}000.$ Now expand $\begin{gathered} (100 - a)(100 - b)(100 - c) \\ = 10^6 - 10^4 (a + b + c) \\ \quad {}+ 100q - p \\ = (100q - p) - 2 \cdot 10^6, \end{gathered}$ using $a + b + c = 300.$ The condition holds exactly when this product is $0,$ that is, when at least one of $a, b, c$ equals $100.$

If $a = 100,$ then $b + c = 200,$ giving $201$ triples, and likewise for $b$ and $c:$ $3 \cdot 201 = 603.$ A triple counted more than once has two variables equal to $100,$ which forces the third to be $100$ as well; the triple $(100, 100, 100)$ is counted three times, so the total is $603 - 2 = 601.$

12.

Sean $O = (0, 0),$ $A = \left(\tfrac{1}{2}, 0\right),$ y $B = \left(0, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ puntos del plano coordenado. Sea $\mathcal{F}$ la familia de segmentos $\overline{PQ}$ de longitud unitaria situados en el primer cuadrante con $P$ sobre el eje $x$ y $Q$ sobre el eje $y$ . Existe un único punto $C$ sobre $\overline{AB},$ distinto de $A$ y $B,$ que no pertenece a ningún segmento de $\mathcal{F}$ salvo $\overline{AB}.$ Entonces $OC^2 = \tfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Let $O = (0, 0),$ $A = \left(\tfrac{1}{2}, 0\right),$ and $B = \left(0, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ be points in the coordinate plane. Let $\mathcal{F}$ be the family of segments $\overline{PQ}$ of unit length lying in the first quadrant with $P$ on the $x$ -axis and $Q$ on the $y$ -axis. There is a unique point $C$ on $\overline{AB},$ distinct from $A$ and $B,$ that does not belong to any segment from $\mathcal{F}$ other than $\overline{AB}.$ Then $OC^2 = \tfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 23

Conceptos:cálculo trigonometría optimización

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Los miembros de $\mathcal{F}$ son los segmentos de $(\cos\theta, 0)$ a $(0, \sin\theta)$ para $0 \lt \theta \lt 90^\circ,$ situados sobre las rectas $\frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1;$ el segmento $\overline{AB}$ es el miembro con $\theta = 60^\circ.$ Para un punto $(x, y)$ de $\overline{AB}$ con $x, y \gt 0,$ define $g(\theta) = \frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} - 1,$ de modo que el punto está sobre el miembro del ángulo $\theta$ exactamente cuando $g(\theta) = 0.$ Observa que $g \to +\infty$ en ambos extremos de $(0^\circ, 90^\circ)$ y $g(60^\circ) = 0.$ Si $g'(60^\circ) \neq 0,$ entonces $g$ es negativa a un lado de $60^\circ,$ y el teorema del valor intermedio produce otro cero en ese lado: el punto queda cubierto por otro segmento. Así que $C$ debe cumplir $g'(60^\circ) = 0,$ y para ese punto $60^\circ$ es el mínimo global estricto de $g,$ así que ningún otro segmento lo contiene.

Ahora $g'(\theta) = \frac{x \sin\theta}{\cos^2\theta} - \frac{y \cos\theta}{\sin^2\theta},$ y $g'(60^\circ) = 0$ da $x \sin^3 60^\circ = y \cos^3 60^\circ,$ es decir $y = 3\sqrt{3}\,x.$ Al cortar con $\overline{AB}:$ $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\,x$ se obtiene $3x = \frac{1}{2} - x,$ así que $x = \frac{1}{8}$ y $y = \frac{3\sqrt{3}}{8},$ un punto interior de $\overline{AB}.$

Por lo tanto $OC^2 = \frac{1}{64} + \frac{27}{64} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16},$ y $p + q = 7 + 16 = 23.$

The members of $\mathcal{F}$ are the segments from $(\cos\theta, 0)$ to $(0, \sin\theta)$ for $0 \lt \theta \lt 90^\circ,$ lying on the lines $\frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1;$ the segment $\overline{AB}$ is the member with $\theta = 60^\circ.$ For a point $(x, y)$ of $\overline{AB}$ with $x, y \gt 0,$ let $g(\theta) = \frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} - 1,$ so the point lies on the member for angle $\theta$ exactly when $g(\theta) = 0.$ Note $g \to +\infty$ at both endpoints of $(0^\circ, 90^\circ)$ and $g(60^\circ) = 0.$ If $g'(60^\circ) \neq 0,$ then $g$ is negative on one side of $60^\circ,$ and the intermediate value theorem produces another zero on that side — the point is covered by another segment. So $C$ must satisfy $g'(60^\circ) = 0,$ and for that point $60^\circ$ is the strict global minimum of $g,$ so no other segment contains it.

Now $g'(\theta) = \frac{x \sin\theta}{\cos^2\theta} - \frac{y \cos\theta}{\sin^2\theta},$ and $g'(60^\circ) = 0$ gives $x \sin^3 60^\circ = y \cos^3 60^\circ,$ i.e. $y = 3\sqrt{3}\,x.$ Intersecting with $\overline{AB}:$ $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\,x$ gives $3x = \frac{1}{2} - x,$ so $x = \frac{1}{8}$ and $y = \frac{3\sqrt{3}}{8},$ an interior point of $\overline{AB}.$

Therefore $OC^2 = \frac{1}{64} + \frac{27}{64} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16},$ and $p + q = 7 + 16 = 23.$

13.

Sea $\omega \neq 1$ una raíz $13$ -ésima de la unidad. Halla el resto cuando $\prod_{k=0}^{12} \left(2 - 2\omega^k + \omega^{2k}\right)$ se divide entre $1000.$

Let $\omega \neq 1$ be a $13$ th root of unity. Find the remainder when $\prod_{k=0}^{12} \left(2 - 2\omega^k + \omega^{2k}\right)$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 321

Conceptos:raíces de la unidad número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como $2 - 2x + x^2 = (x - 1)^2 + 1$ $= (x - (1+i))(x - (1-i)),$ cada factor del producto se descompone, y cuando $k$ recorre de $0$ a $12,$ $\omega^k$ recorre todas las raíces $13$ -ésimas de la unidad. Como $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1,$ para cualquier $\alpha$ obtenemos $\prod_k (\omega^k - \alpha) = (-1)^{13}(\alpha^{13} - 1)$ $= 1 - \alpha^{13}.$ Por lo tanto el producto es igual a $\left(1 - (1+i)^{13}\right)\left(1 - (1-i)^{13}\right).$

Como $(1+i)^2 = 2i,$ obtenemos $(1+i)^{13} = (1+i)(2i)^6$ $= -64(1 + i) = -64 - 64i,$ y por conjugación $(1-i)^{13} = -64 + 64i.$ Así que el producto es $\begin{gathered} (65 + 64i)(65 - 64i) \\ = 65^2 + 64^2 = 4225 + 4096 \\ = 8321, \end{gathered}$ cuyo resto al dividir entre $1000$ es $321.$

Since $2 - 2x + x^2 = (x - 1)^2 + 1$ $= (x - (1+i))(x - (1-i)),$ each factor of the product splits, and as $k$ runs from $0$ to $12,$ $\omega^k$ runs over all $13$ th roots of unity. Because $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1,$ for any $\alpha$ we get $\prod_k (\omega^k - \alpha) = (-1)^{13}(\alpha^{13} - 1)$ $= 1 - \alpha^{13}.$ Hence the product equals $\left(1 - (1+i)^{13}\right)\left(1 - (1-i)^{13}\right).$

Since $(1+i)^2 = 2i,$ we get $(1+i)^{13} = (1+i)(2i)^6$ $= -64(1 + i) = -64 - 64i,$ and by conjugation $(1-i)^{13} = -64 + 64i.$ So the product is $\begin{gathered} (65 + 64i)(65 - 64i) \\ = 65^2 + 64^2 = 4225 + 4096 \\ = 8321, \end{gathered}$ whose remainder upon division by $1000$ is $321.$

14.

Sea $b \ge 2$ un entero. Un entero positivo $n$ se llama $b$ -eautiful si tiene exactamente dos dígitos al expresarse en base $b$ y estos dos dígitos suman $\sqrt{n}.$ Por ejemplo, $81$ es $13$ -eautiful porque $81 = \underline{6}\,\underline{3}_{13}$ y $6 + 3 = \sqrt{81}.$ Halla el menor entero $b \ge 2$ para el cual hay más de diez enteros $b$ -eautiful.

Let $b \ge 2$ be an integer. Call a positive integer $n$ $b$ -eautiful if it has exactly two digits when expressed in base $b$ and these two digits sum to $\sqrt{n}.$ For example, $81$ is $13$ -eautiful because $81 = \underline{6}\,\underline{3}_{13}$ and $6 + 3 = \sqrt{81}.$ Find the least integer $b \ge 2$ for which there are more than ten $b$ -eautiful integers.

Respuesta

Respuesta: 211

Conceptos:base numérica dígitos Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Un número de dos dígitos en base $b$ es $n = xb + y$ con $1 \le x \le b-1$ y $0 \le y \le b-1,$ y la condición dice $n = s^2$ donde $s = x + y.$ Entonces $s^2 = xb + y = x(b-1) + s,$ así que $s(s - 1) = x(b - 1).$ Nota que $s \le \sqrt{b^2 - 1} \lt b.$ Recíprocamente, para cualquier $s$ con $2 \le s \le b - 1$ y $(b-1) \mid s(s-1),$ tomando $x = \frac{s(s-1)}{b-1}$ y $y = s - x = \frac{s(b-s)}{b-1}$ se obtiene $1 \le x \le b-1$ y $0 \le y \le b-1,$ por lo que hay exactamente un entero $b$ -eautiful $n = s^2.$ Así que el recuento es igual al número de $s \in \{2, \ldots, b-1\}$ con $s(s-1) \equiv 0 \pmod{b-1}.$

Sea $m = b - 1.$ Como $s$ y $s - 1$ son coprimos, cada potencia de primo que divide $m$ debe dividir $s$ o $s - 1,$ así que por el teorema chino del resto hay $2^{\omega(m)}$ soluciones módulo $m,$ donde $\omega(m)$ es el número de factores primos distintos de $m.$ Entre los representantes $1, 2, \ldots, m,$ solo $s = 1$ cae fuera de nuestro rango (y $s = m$ califica), así que el recuento es $2^{\omega(m)} - 1.$

Necesitamos $2^{\omega(m)} - 1 \gt 10,$ es decir $\omega(m) \ge 4.$ El menor entero positivo con cuatro factores primos distintos es $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210,$ así que la menor base es $b = 211$ (que tiene $2^4 - 1 = 15$ enteros $b$ -eautiful).

A two-digit number in base $b$ is $n = xb + y$ with $1 \le x \le b-1$ and $0 \le y \le b-1,$ and the condition says $n = s^2$ where $s = x + y.$ Then $s^2 = xb + y = x(b-1) + s,$ so $s(s - 1) = x(b - 1).$ Note $s \le \sqrt{b^2 - 1} \lt b.$ Conversely, for any $s$ with $2 \le s \le b - 1$ and $(b-1) \mid s(s-1),$ setting $x = \frac{s(s-1)}{b-1}$ and $y = s - x = \frac{s(b-s)}{b-1}$ gives $1 \le x \le b-1$ and $0 \le y \le b-1,$ hence exactly one $b$ -eautiful integer $n = s^2.$ So the count equals the number of $s \in \{2, \ldots, b-1\}$ with $s(s-1) \equiv 0 \pmod{b-1}.$

Let $m = b - 1.$ Since $s$ and $s - 1$ are coprime, each prime power dividing $m$ must divide $s$ or $s - 1,$ so by the Chinese remainder theorem there are $2^{\omega(m)}$ solutions modulo $m,$ where $\omega(m)$ is the number of distinct prime factors of $m.$ Among the representatives $1, 2, \ldots, m,$ only $s = 1$ falls outside our range (and $s = m$ qualifies), so the count is $2^{\omega(m)} - 1.$

We need $2^{\omega(m)} - 1 \gt 10,$ i.e. $\omega(m) \ge 4.$ The smallest positive integer with four distinct prime factors is $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210,$ so the least base is $b = 211$ (which has $2^4 - 1 = 15$ $b$ -eautiful integers).

15.

Halla el número de rectángulos que pueden formarse dentro de un dodecágono regular fijo ( $12$ -gono) donde cada lado del rectángulo está sobre un lado o una diagonal del dodecágono. El diagrama de abajo muestra tres de esos rectángulos.

Find the number of rectangles that can be formed inside a fixed regular dodecagon ( $12$ -gon) where each side of the rectangle lies on either a side or a diagonal of the dodecagon. The diagram below shows three of those rectangles.

Respuesta

Respuesta: 315

Conceptos:polígono regular conteo de figuras en diagramas análisis por casos

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Coloca los vértices en los ángulos $30k^\circ$ sobre un círculo unitario. La cuerda que une los vértices $i$ y $j$ tiene dirección $15(i+j)^\circ + 90^\circ,$ así que las cuerdas vienen en $12$ direcciones separadas $15^\circ$ , y un rectángulo usa dos cuerdas de cada una de dos direcciones perpendiculares. Los seis pares de direcciones perpendiculares se dividen en dos clases, tres de cada una, por rotación. Cuando $i + j$ es par, una familia de cuerdas paralelas tiene $5$ miembros, a distancias $0, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ del centro con semilongitudes $1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}$ respectivamente; cuando $i + j$ es impar, una familia tiene $6$ miembros, a distancias $\pm\cos 75^\circ, \pm\cos 45^\circ, \pm\cos 15^\circ$ con semilongitudes $\sin 75^\circ, \sin 45^\circ, \sin 15^\circ.$

Una esquina es la intersección de una cuerda de cada dirección, y su desplazamiento a lo largo de una cuerda es igual a la distancia al centro de la otra cuerda. Como las semilongitudes decrecen a medida que la distancia crece, las cuatro esquinas están sobre los cuatro segmentos de cuerda exactamente cuando, escribiendo $D_1, D_2$ para las mayores distancias de los dos pares elegidos, cada $D$ es a lo sumo la semilongitud de la cuerda más lejana del otro par. Para las familias de $5$ cuerdas: los pares con $D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (hay $7$ ) tienen cota de semilongitud $\frac{1}{2},$ y los pares con $D = \frac{1}{2}$ (hay $3$ ) tienen cota $\frac{\sqrt{3}}{2};$ las combinaciones válidas dan $7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + 3 \cdot 3 = 51$ rectángulos. Para las familias de $6$ cuerdas: hay $1, 5, 9$ pares con $D = \cos 75^\circ, \cos 45^\circ, \cos 15^\circ,$ y las combinaciones válidas son $(\cos 75^\circ, \cos 75^\circ),$ ambos órdenes de $(\cos 75^\circ, \cos 45^\circ)$ y $(\cos 75^\circ, \cos 15^\circ),$ y $(\cos 45^\circ, \cos 45^\circ),$ lo que da $1 + 5 + 5 + 9 + 9 + 25 = 54.$

Cada clase de par de direcciones ocurre tres veces, así que el total es $3(51 + 54) = 315.$

Put the vertices at angles $30k^\circ$ on a unit circle. The chord joining vertices $i$ and $j$ has direction $15(i+j)^\circ + 90^\circ,$ so chords come in $12$ directions spaced $15^\circ$ apart, and a rectangle uses two chords from each of two perpendicular directions. The six perpendicular direction pairs split into two kinds, three of each, by rotation. When $i + j$ is even, a family of parallel chords has $5$ members, at distances $0, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ from the center with half-lengths $1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}$ respectively; when $i + j$ is odd, a family has $6$ members, at distances $\pm\cos 75^\circ, \pm\cos 45^\circ, \pm\cos 15^\circ$ with half-lengths $\sin 75^\circ, \sin 45^\circ, \sin 15^\circ.$

A corner is the intersection of one chord from each direction, and its offset along a chord equals the other chord's distance from the center. Since half-lengths shrink as distance grows, the four corners lie on all four chord segments exactly when, writing $D_1, D_2$ for the larger distances of the two chosen pairs, each $D$ is at most the half-length of the other pair's farther chord. For the $5$ -chord families: pairs with $D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (there are $7$ ) have half-length bound $\frac{1}{2},$ and pairs with $D = \frac{1}{2}$ (there are $3$ ) have bound $\frac{\sqrt{3}}{2};$ the valid combinations give $7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + 3 \cdot 3 = 51$ rectangles. For the $6$ -chord families: there are $1, 5, 9$ pairs with $D = \cos 75^\circ, \cos 45^\circ, \cos 15^\circ,$ and the valid combinations are $(\cos 75^\circ, \cos 75^\circ),$ both orders of $(\cos 75^\circ, \cos 45^\circ)$ and $(\cos 75^\circ, \cos 15^\circ),$ and $(\cos 45^\circ, \cos 45^\circ),$ giving $1 + 5 + 5 + 9 + 9 + 25 = 54.$

Each kind of direction pair occurs three times, so the total is $3(51 + 54) = 315.$

Problemas del 2024 AIME II

Respuesta: 73

Solución:

Respuesta: 236

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Respuesta: 45

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Respuesta: 33

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Respuesta: 80

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Respuesta: 55

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Respuesta: 127

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Respuesta: 315

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