Question

Sea $\triangle ABC$ con incentro $I,$ circuncentro $O,$ inradio $6,$ y circunradio $13.$ Supón que $\overline{IA} \perp \overline{OI}.$ Halla $AB \cdot AC.$

Let $\triangle ABC$ have incenter $I,$ circumcenter $O,$ inradius $6,$ and circumradius $13.$ Suppose that $\overline{IA} \perp \overline{OI}.$ Find $AB \cdot AC.$

Respuesta

Solución:

Como $\angle OIA = 90^\circ,$ el teorema de Pitágoras en el triángulo $OIA$ da $IA^2 = OA^2 - OI^2 = R^2 - OI^2,$ y la fórmula de Euler $OI^2 = R^2 - 2Rr$ produce $IA^2 = 2Rr = 2 \cdot 13 \cdot 6 = 156.$ Combinando con $IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$ se obtiene $\sin^2\frac{A}{2} = \frac{36}{156} = \frac{3}{13},$ así que $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{10}{13}.$

Entonces $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{13},$ así que $a = BC = 2R \sin A = 4\sqrt{30},$ mientras que $s - a = r \cot\frac{A}{2} = 6\sqrt{\frac{10}{3}}$ $= 2\sqrt{30}.$ Por lo tanto el semiperímetro es $s = 6\sqrt{30}.$

Igualando las dos fórmulas del área $[ABC] = rs = \frac{1}{2}\, bc \sin A,$ $\begin{aligned} bc = \frac{2rs}{\sin A} &= \frac{2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{30}}{2\sqrt{30}/13} \\ &= 36 \cdot 13 = 468. \end{aligned}$

Since $\angle OIA = 90^\circ,$ the Pythagorean theorem in triangle $OIA$ gives $IA^2 = OA^2 - OI^2 = R^2 - OI^2,$ and Euler's formula $OI^2 = R^2 - 2Rr$ yields $IA^2 = 2Rr = 2 \cdot 13 \cdot 6 = 156.$ Combining with $IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$ gives $\sin^2\frac{A}{2} = \frac{36}{156} = \frac{3}{13},$ so $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{10}{13}.$

Then $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{13},$ so $a = BC = 2R \sin A = 4\sqrt{30},$ while $s - a = r \cot\frac{A}{2} = 6\sqrt{\frac{10}{3}}$ $= 2\sqrt{30}.$ Hence the semiperimeter is $s = 6\sqrt{30}.$

Equating the two area formulas $[ABC] = rs = \frac{1}{2}\, bc \sin A,$ $\begin{aligned} bc = \frac{2rs}{\sin A} &= \frac{2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{30}}{2\sqrt{30}/13} \\ &= 36 \cdot 13 = 468. \end{aligned}$

2024 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años