Question

Sea

\triangle ABC

un triángulo con

D

en

\overline{BC}

tal que

\overline{AD}

biseca

\angle BAC.

Sea

\omega

la circunferencia que pasa por

A

y es tangente al segmento

\overline{BC}

en

D.

Sean

E \ne A

y

F \ne A

las intersecciones de

\omega

con los segmentos

\overline{AB}

y

\overline{AC},

respectivamente. Supongamos que

AB = 200,

AC = 225,

y que todos

AE,

AF,

BD,

y

CD

son enteros positivos. Halla el mayor valor posible de

BC.

Let

\triangle ABC

be a triangle with

D

on

\overline{BC}

such that

\overline{AD}

bisects

\angle BAC.

Let

\omega

be the circle that passes through

A

and is tangent to segment

\overline{BC}

at

D.

Let

E \ne A

and

F \ne A

be the intersections of

\omega

with segments

\overline{AB}

and

\overline{AC},

respectively. Suppose that

AB = 200,

AC = 225,

and all of

AE,

AF,

BD,

and

CD

are positive integers. Find the greatest possible value of

BC.

Respuesta

Respuesta: 340

Conceptos:potencia de un punto teorema de la bisectriz divisibilidad

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

La tangencia en

D

da las potencias de

B

y

C:

BD^2 = BE \cdot BA

y

CD^2 = CF \cdot CA;

la bisectriz da

BD : DC = 8 : 9.

Tangency at

D

gives the powers of

B

and

C:

BD^2 = BE \cdot BA

and

CD^2 = CF \cdot CA;

the bisector gives

BD : DC = 8 : 9.

Pista grande:

Escribe

BD = 8t,

CD = 9t;

entonces

t = CD - BD

es un entero, y que

AE

y

AF

sean enteros obliga a que

t

sea divisible por

5,

mientras que

AE \gt 0

acota

t.

Write

BD = 8t,

CD = 9t;

then

t = CD - BD

is an integer, and integrality of

AE

and

AF

forces

t

to be divisible by

5,

while

AE \gt 0

bounds

t.

Solución:

Como

\omega

es tangente a

BC

en

D,

la potencia de

B

da

BD^2 = BE \cdot BA

y la potencia de

C

da

CD^2 = CF \cdot CA.

La bisectriz del ángulo da

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{9},

así que

BD = 8t

y

CD = 9t,

donde

t = CD - BD

es un entero positivo. Entonces

\begin{aligned} &BE = \frac{64t^2}{200} = \frac{8t^2}{25}, \\ &CF = \frac{81t^2}{225} = \frac{9t^2}{25}, \end{aligned}

así que

AE = 200 - \frac{8t^2}{25}

y

AF = 225 - \frac{9t^2}{25}.

Para que

AE

y

AF

sean enteros necesitamos que

t^2

sea divisible por

25,

es decir,

t = 5s.

Entonces

AE = 200 - 8s^2 \gt 0

obliga a

s \le 4,

y

BC = 17t = 85s.

Con

s = 4:

BC = 340,

con

BD = 160,

CD = 180,

AE = 72,

AF = 81

todos enteros positivos, y los lados

200, 225, 340

forman un triángulo válido puesto que

200 + 225 \gt 340.

El mayor valor posible de

BC

es

340.

Since

\omega

is tangent to

BC

at

D,

the power of

B

gives

BD^2 = BE \cdot BA

and the power of

C

gives

CD^2 = CF \cdot CA.

The angle bisector gives

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{9},

so

BD = 8t

and

CD = 9t,

where

t = CD - BD

is a positive integer. Then

\begin{aligned} &BE = \frac{64t^2}{200} = \frac{8t^2}{25}, \\ &CF = \frac{81t^2}{225} = \frac{9t^2}{25}, \end{aligned}

so

AE = 200 - \frac{8t^2}{25}

and

AF = 225 - \frac{9t^2}{25}.

For

AE

and

AF

to be integers we need

t^2

to be divisible by

25,

that is,

t = 5s.

Then

AE = 200 - 8s^2 \gt 0

forces

s \le 4,

and

BC = 17t = 85s.

At

s = 4:

BC = 340,

with

BD = 160,

CD = 180,

AE = 72,

AF = 81

all positive integers, and the sides

200, 225, 340

form a valid triangle since

200 + 225 \gt 340.

The greatest possible value of

BC

is

340.

2026 AIME II Problema 10

Respuesta: 340

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años