Soluciones del 2026 AIME II
Desplázate hacia abajo para ver las soluciones preparadas profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh, imprime las soluciones en PDF, consulta la clave de respuestas, o haz el examen cronometrado completo.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
1.
Halla la suma de los -ésimos términos de todas las sucesiones aritméticas de enteros cuyo primer término es igual a y que incluyen tanto a como a entre sus términos.
Find the sum of the th terms of all arithmetic sequences of integers that have first term equal to and include both and as terms.
Nivel de dificultad: 1840
Solución:
Sea la diferencia común Como el primer término es y aparecen tanto como , divide a y a así que divide a La diferencia debe ser positiva para alcanzar y desde por lo que (y cada uno de ellos funciona, ya que y colocan ambos objetivos en la sucesión).
El -ésimo término es por lo que la suma pedida es
Let the common difference be Since the first term is and both and appear, divides and so divides The difference must be positive to reach and from so (and each of these works, since and put both targets in the sequence).
The th term is so the requested sum is
2.
La figura de abajo muestra una cuadrícula de cuadrados en una fila. Cada cuadrado tiene una diagonal que conecta su vértice inferior izquierdo con su vértice superior derecho. Un insecto se mueve a lo largo de los segmentos de vértice a vértice, sin recorrer nunca el mismo segmento dos veces y sin moverse nunca de derecha a izquierda por un segmento horizontal o diagonal. Sea el número de caminos que el insecto puede tomar desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha Uno de esos caminos de a se muestra con los segmentos gruesos en la figura. Halla
The figure below shows a grid of squares in a row. Each square has a diagonal connecting its lower left vertex to its upper right vertex. A bug moves along the line segments from vertex to vertex, never traversing the same segment twice and never moving from right to left along a horizontal or diagonal segment. Let be the number of paths the bug can take from the lower left corner to the upper right corner One such path from to is shown by the thick line segments in the figure. Find
Nivel de dificultad: 2230
Solución:
Pongamos y Todo movimiento horizontal y diagonal va hacia la derecha, así que la coordenada del insecto nunca disminuye, y cruza cada una de las franjas verticales exactamente una vez, usando exactamente uno de los tres segmentos hacia la derecha de ese cuadrado: el borde inferior, el borde superior, o la diagonal.
Estas diez elecciones determinan todo el camino. Cada cruce llega a una altura determinada (borde inferior: baja; borde superior o diagonal: alta) y sale a una altura determinada (borde inferior o diagonal: baja; borde superior: alta), así que en cada línea vertical el insecto recorre el segmento vertical exactamente cuando las alturas de llegada y de salida difieren, y cada segmento vertical se necesita a lo sumo una vez, por lo que ningún segmento se repite. Lo mismo vale en los extremos: el insecto empieza abajo en y termina arriba en usando los verticales de los extremos si es necesario. Recíprocamente, toda sucesión de elecciones produce un camino válido.
Por lo tanto y
Put and Every horizontal and diagonal move goes rightward, so the bug's -coordinate never decreases, and it crosses each of the vertical strips exactly once, using exactly one of that square's three rightward segments: the bottom edge, the top edge, or the diagonal.
These ten choices determine the whole path. Each crossing arrives at a definite height (bottom edge: low; top edge or diagonal: high) and departs at a definite height (bottom edge or diagonal: low; top edge: high), so at each vertical line the bug traverses the vertical segment exactly when the arrival and departure heights differ — and each vertical segment is needed at most once, so no segment repeats. The same applies at the ends: the bug starts low at and finishes high at using the end verticals if necessary. Conversely, every sequence of choices yields a valid path.
Therefore and
3.
Sea un pentágono no convexo con ángulos internos y Supongamos que y que los puntos y están del mismo lado de la recta Supongamos además que es un entero con y que el área del pentágono es un múltiplo entero de Halla el número de valores posibles de
Let be a nonconvex pentagon with internal angles and Suppose that and points and lie on the same side of line Suppose further that is an integer with and the area of pentagon is an integer multiple of Find the number of possible values of
Nivel de dificultad: 2510
Solución:
Coloquemos y con el pentágono por encima de la recta y escribamos Los ángulos rectos en y hacen que y sean verticales: y con En el lado forma un ángulo de con el rayo descendente dirigiéndose hacia el interior del pentágono, así que De manera similar en el lado forma un ángulo de con el rayo descendente así que donde Igualar coordenadas da y El ángulo interior en es entonces el ángulo reflejo (suma de ángulos ), y automáticamente.
La fórmula del cordón de zapato en da un área de La condición se reduce a es decir, Para que esté estrictamente del mismo lado de la recta que y necesitamos
Así que recorre lo que da valores.
Place and with the pentagon above line and write The right angles at and make and vertical: and with At the side makes a angle with the downward ray heading into the pentagon, so Similarly at the side makes a angle with the downward ray so where Matching coordinates gives and The interior angle at is then the reflex angle (angle sum ), and automatically.
The shoelace formula on gives area The condition reduces to that is, For to lie strictly on the same side of line as and we need
So runs over which is values.
4.
Para cada entero positivo sea el valor del numeral en base diez visto en base donde es el menor entero mayor que el mayor dígito de Por ejemplo, si entonces y como numeral en base es igual a por lo tanto Halla el número de enteros positivos menores que tales que
For each positive integer let be the value of the base-ten numeral viewed in base where is the least integer greater than the greatest digit in For example, if then and as a numeral in base equals therefore Find the number of positive integers less than such that
Nivel de dificultad: 2300
Solución:
Si tiene un solo dígito entonces el numeral tiene valor en toda base, así que los números de un dígito funcionan. Si tiene dígitos con entonces siempre , y si entonces porque el dígito principal cumple Así que un de varios dígitos cumple exactamente cuando es decir, cuando algún dígito de es igual a
Números de dos dígitos que contienen un los números hasta más para un total de Números de tres dígitos que contienen un restando los números sin ningún (dígito principal – los demás –).
El total es
If has a single digit then the numeral has value in every base, so all one-digit numbers work. If has digits with then always, and if then because the leading digit satisfies So a multi-digit satisfies exactly when that is, when some digit of equals
Two-digit numbers containing a the numbers through plus for Three-digit numbers containing a subtracting the numbers with no (leading digit – others –).
The total is
5.
Una urna contiene canicas. Cada canica es roja o azul, y hay al menos canicas de cada color. Cuando se extraen al azar canicas de la urna sin reemplazo, la probabilidad de que exactamente de ellas sean rojas es igual a la probabilidad de que exactamente de ellas sean rojas. Halla la suma de los cinco menores valores de para los cuales esto es posible.
An urn contains marbles. Each marble is either red or blue, and there are at least marbles of each color. When marbles are drawn randomly from the urn without replacement, the probability that exactly of them are red equals the probability that exactly of them are red. Find the sum of the five least values of for which this is possible.
Nivel de dificultad: 2390
Solución:
Digamos que hay canicas rojas y azules, La condición es Como y al cancelar se obtiene es decir,
Así que y requiere por lo que Las cinco elecciones más pequeñas son con que dan
La suma es
Say there are red and blue marbles, The condition is Since and cancelling gives that is,
So and requires so The five smallest choices are with giving
The sum is
6.
Halla la suma de todos los números reales tales que haya al menos un punto donde la circunferencia de radio centrada en sea tangente a la parábola de ecuación
Find the sum of all real numbers such that there is at least one point where the circle with radius centered at is tangent to the parabola with equation
Nivel de dificultad: 2650
Solución:
Completando el cuadrado, así que con la parábola es el conjunto de puntos y el centro está sobre su eje. La circunferencia es tangente a la parábola en un punto exactamente cuando las dos curvas comparten allí una recta tangente, es decir, cuando el radio hasta ese punto es normal a la parábola, lo que ocurre exactamente en los puntos críticos de la distancia al cuadrado
En así que (la circunferencia toca la parábola en dos puntos simétricos). En el punto es el vértice a distancia donde la parábola y la circunferencia de radio tienen ambas rectas tangentes horizontales, así que también funciona.
La suma es
Completing the square, so with the parabola is the set of points and the center lies on its axis. The circle is tangent to the parabola at a point exactly when the two curves share a tangent line there, i.e. when the radius to that point is normal to the parabola — which happens exactly at critical points of the squared distance
At so (the circle touches the parabola at two symmetric points). At the point is the vertex at distance where the parabola and the circle of radius both have horizontal tangent lines, so also works.
The sum is
7.
Se lanza repetidamente un dado estándar y justo de seis caras. Cada vez que el dado muestra o Alice recibe una moneda; cada vez que muestra o Bob recibe una moneda; y cada vez que muestra o Carol recibe una moneda. La probabilidad de que Alice y Bob reciban cada uno al menos dos monedas antes de que Carol reciba alguna moneda se puede escribir como donde y son enteros positivos primos entre sí. Halla
A standard fair six-sided die is rolled repeatedly. Each time the die reads or Alice gets a coin; each time it reads or Bob gets a coin; and each time it reads or Carol gets a coin. The probability that Alice and Bob each receive at least two coins before Carol receives any coins can be written as where and are relatively prime positive integers. Find
Nivel de dificultad: 2840
Solución:
Cada lanzamiento es un lanzamiento de Alice, de Bob, o de Carol, cada uno con probabilidad El evento tiene éxito exactamente cuando los lanzamientos anteriores al primer lanzamiento de Carol incluyen al menos dos lanzamientos de Alice y al menos dos de Bob. El primer lanzamiento de Carol es el lanzamiento con probabilidad y dado esto, los primeros lanzamientos forman una de cadenas de Alice/Bob igualmente probables. Para las cadenas malas, a lo sumo un Alice o a lo sumo un Bob, suman y ninguna cadena es mala de ambas formas. Por lo tanto
La primera parte es Para la segunda, así que
Por lo tanto y
Each roll is an Alice roll, a Bob roll, or a Carol roll, each with probability The event succeeds exactly when the rolls before the first Carol roll include at least two Alice rolls and at least two Bob rolls. The first Carol roll is roll with probability and given this, the first rolls form one of equally likely Alice/Bob strings. For the bad strings — at most one Alice, or at most one Bob — number and no string is bad in both ways. Hence
The first piece is For the second, so
Therefore and
8.
El triángulo isósceles tiene Sea el incentro de Los perímetros de y están en la razón y todos los lados de ambos triángulos tienen longitudes enteras. Halla el valor mínimo posible de
Isosceles triangle has Let be the incenter of The perimeters of and are in the ratio and all the sides of both triangles have integer lengths. Find the minimum possible value of
Nivel de dificultad: 2990
Solución:
Sea y de modo que La circunferencia inscrita toca a en su punto medio (la longitud de la tangente desde es ), así que Por la fórmula de Herón, y por lo tanto La condición de perímetros es
Como es racional, escribamos en forma irreducible. Entonces obliga a que escribiendo se obtiene y La condición de perímetros pierde entonces por completo a : Como obtenemos y debe ser par, ya que para impar ambos factores de la izquierda son impares mientras que el lado derecho es par. Escribiendo y simplificando, Ambos factores de la izquierda son coprimos con (pues ), así que y tiene la solución única
Así que y que es un entero exactamente cuando Tomando se obtiene con lados y con lados cuyos perímetros y están efectivamente en la razón El mínimo posible de es
Let and so The incircle touches at its midpoint (tangent length from is ), so By Heron's formula, and therefore The perimeter condition is
Since is rational, write in lowest terms. Then forces writing gives and The perimeter condition then loses entirely: Since we get and must be even, since for odd both factors on the left are odd while the right side is even. Writing and simplifying, Both factors on the left are coprime to (as ), so and has the unique solution
So and which is an integer exactly when Taking gives with sides and with sides whose perimeters and are indeed in ratio The minimum possible is
9.
Sea el valor de la suma infinita Halla el resto cuando el mayor entero menor o igual que se divide entre
Let denote the value of the infinite sum Find the remainder when the greatest integer less than or equal to is divided by
Nivel de dificultad: 2920
Solución:
Cada término es así que sumando sobre y agrupando por el exponente donde es el número de divisores de Por lo tanto con
A partir de la cola empieza y como los términos restantes aportan menos de Así que y
Módulo todo término con es un múltiplo de dejando Como y el resto es
Each term is so summing over and collecting the exponent where is the number of divisors of Hence with
From the tail starts and since the remaining terms contribute less than So and
Modulo every term with is a multiple of leaving Since and the remainder is
10.
Sea un triángulo con en tal que biseca Sea la circunferencia que pasa por y es tangente al segmento en Sean y las intersecciones de con los segmentos y respectivamente. Supongamos que y que todos y son enteros positivos. Halla el mayor valor posible de
Let be a triangle with on such that bisects Let be the circle that passes through and is tangent to segment at Let and be the intersections of with segments and respectively. Suppose that and all of and are positive integers. Find the greatest possible value of
Nivel de dificultad: 2840
Solución:
Como es tangente a en la potencia de da y la potencia de da La bisectriz del ángulo da así que y donde es un entero positivo. Entonces así que y
Para que y sean enteros necesitamos es decir, Entonces obliga a y Con con todos enteros positivos, y los lados forman un triángulo válido puesto que
El mayor valor posible de es
Since is tangent to at the power of gives and the power of gives The angle bisector gives so and where is a positive integer. Then so and
For and to be integers we need that is, Then forces and At with all positive integers, and the sides form a valid triangle since
The greatest possible value of is
11.
Halla el mayor entero tal que el polinomio cúbico tenga raíces y donde y son números complejos, y haya exactamente siete valores posibles distintos para
Find the greatest integer such that the cubic polynomial has roots and where and are complex numbers, and there are exactly seven different possible values for
Nivel de dificultad: 3060
Solución:
Las raíces de la cúbica son Fija raíces cuadradas de ellas; entonces recorre las ocho expresiones que vienen en cuatro pares Genéricamente las ocho son distintas. Una coincidencia entre elecciones que no son opuestas obliga a que para algún lo que colapsa los ocho valores a lo sumo a seis. Así que aparecen exactamente siete valores precisamente cuando una elección cumple (su opuesta da entonces el mismo valor ) y no ocurren más degeneraciones.
Esa condición es la anulación de donde son las raíces y sus funciones simétricas elementales. Por las fórmulas de Vieta y así que es decir, con raíces y
Para las raíces de la cúbica son distintas y no nulas (el término constante es ), así que la única coincidencia es el valor y aparecen exactamente siete sumas. El mayor entero de este tipo es
The roots of the cubic are Fix square roots of them; then ranges over the eight expressions which come in four pairs Generically all eight are distinct. A coincidence between choices that are not opposite forces for some which collapses the eight values to at most six. So exactly seven values occur precisely when one choice satisfies — its opposite is then the same value — and no further degeneracies occur.
That condition is the vanishing of where are the roots and their elementary symmetric functions. By Vieta's formulas and so i.e. with roots and
For the cubic's roots are distinct and nonzero (the constant term is ), so the only coincidence is the value and exactly seven sums occur. The greatest such integer is
12.
Considera un tetraedro con dos caras triangulares isósceles de lados y y dos caras triangulares isósceles de lados y Los cuatro vértices del tetraedro están sobre una esfera de centro y las cuatro caras del tetraedro son tangentes a una esfera de centro La distancia se puede escribir como donde y son enteros positivos primos entre sí. Halla
Consider a tetrahedron with two isosceles triangle faces with side lengths and and two isosceles triangle faces with side lengths and The four vertices of the tetrahedron lie on a sphere with center and the four faces of the tetrahedron are tangent to a sphere with center The distance can be written as where and are relatively prime positive integers. Find
Nivel de dificultad: 2990
Solución:
Las cuatro caras tienen el multiconjunto de lados y cada arista está en dos caras, así que el tetraedro tiene y como aristas opuestas y las otras cuatro aristas iguales a Coloca lo cual es consistente puesto que La configuración es simétrica bajo y bajo así que ambos centros están sobre el eje .
Para igualar las distancias a y a da así que Para la cara tiene plano y la cara tiene plano así que distancias iguales requieren y por las dos simetrías especulares este punto es equidistante (a distancia ) de las cuatro caras.
Por lo tanto que ya es irreducible, así que
The four faces have side multiset and each edge lies on two faces, so the tetrahedron has and as opposite edges and the other four edges equal to Place which is consistent since The configuration is symmetric under and under so both centers lie on the -axis.
For equating distances to and gives so For face has plane and face has plane so equal distances require and by the two mirror symmetries this point is equidistant (at distance ) from all four faces.
Therefore which is in lowest terms, so
13.
Llamamos primos a dos conjuntos finitos de enteros y si
• y tienen el mismo número de elementos,
• y son disjuntos, y
• los elementos de se pueden emparejar con los elementos de de modo que los dos elementos de cada par difieran exactamente en
Por ejemplo, y son primos. Supongamos que el conjunto tiene exactamente primos. Halla el menor número de elementos que puede tener el conjunto .
Call finite sets of integers and cousins if
• and have the same number of elements,
• and are disjoint, and
• the elements of can be paired with the elements of so that the elements in each pair differ by exactly
For example, and are cousins. Suppose that the set has exactly cousins. Find the least number of elements the set can have.
Nivel de dificultad: 3370
Solución:
Un conjunto primo es la imagen de una inyección que envía cada a o cayendo fuera de Si entonces no tiene a dónde ir, así que todo bloque maximal de elementos consecutivos de tiene tamaño o Un bloque doble está obligado a aplicarse en mientras que un bloque unitario elige o Dos bloques solo pueden disputarse un valor cuando exactamente un entero los separa, así que agrupamos los bloques en cadenas: bloques consecutivos con huecos de exactamente uno. Dentro de una cadena los únicos patrones consistentes son "los primeros bloques se desplazan a la izquierda y el resto a la derecha", ya que un bloque que elige la derecha y su sucesor que elige la izquierda colisionarían; un bloque doble actúa a la vez como izquierda y derecha, forzando a que el cambio ocurra exactamente en él. Por lo tanto una cadena de unitarios produce imágenes distintas, una cadena que contiene un doble produce exactamente y una cadena con dos dobles produce Patrones distintos dan conjuntos distintos y las elecciones en cadenas diferentes son independientes, así que el número de primos es el producto de sobre las cadenas totalmente unitarias.
Necesitamos minimizando a la vez el número de elementos (las cadenas con dobles solo desperdician elementos). Reemplazar un factor compuesto por los dos factores reduce estrictamente el costo, porque Así que el óptimo usa la factorización en primos: realizada por cinco cadenas de unitarios, series de enteros alternos, colocadas muy separadas.
El menor número posible de elementos es
A cousin is the image of an injection sending each to or landing outside If then has nowhere to go, so every maximal block of consecutive elements of has size or A double block is forced to map to while a singleton chooses or Two blocks can fight over a value only when exactly one integer separates them, so group blocks into chains: consecutive blocks with gaps of exactly one. Within a chain the only consistent patterns are "the first blocks shift left and the rest shift right," since a block choosing right and its successor choosing left would collide; a double block acts as both left and right, forcing the switch to happen exactly at it. Hence a chain of singletons produces distinct images, a chain containing one double produces exactly and a chain with two doubles produces Distinct patterns give distinct sets and choices in different chains are independent, so the number of cousins is the product of over the all-singleton chains.
We need while minimizing the element count (chains with doubles only waste elements). Replacing a composite factor with the two factors strictly lowers the cost, because So the optimum uses the prime factorization: realized by five chains of singletons — runs of every-other integer — placed far apart.
The least possible number of elements is
14.
Para enteros y definimos si es impar y es par, y en caso contrario. Halla el número de sucesiones de enteros positivos tales que y donde las operaciones se realizan de izquierda a derecha; es decir, significa
For integers and let if is odd and is even, and otherwise. Find the number of sequences of positive integers such that and where the operations are performed from left to right; that is, means
Nivel de dificultad: 3370
Solución:
Como el valor acumulado tras pasos tiene la misma paridad que Así que el término se resta exactamente cuando es par y la suma prefija es impar, y el valor final es menos el doble del total de los términos restados. Debemos contar las composiciones de en las que los términos pares situados donde la suma prefija es impar suman exactamente La paridad prefija cambia exactamente en los términos impares, así que los términos impares vienen en número (el total es par), y los términos restados son precisamente los términos pares que están entre el -ésimo y el -ésimo términos impares; estos "tramos impares" deben contener términos pares que sumen mientras que los otros tramos contienen términos pares que suman donde es la suma de los términos impares.
Sea el número de maneras de llenar tramos ordenados con sucesiones de términos pares que suman Un tramo es una composición de en partes pares, es decir, de para y al convolucionar se obtienen los valores necesarios más abajo: y Las composiciones de en partes impares son en número
Análisis por casos según y para dan y Para dan y Para da El total es
Since the running value after steps has the same parity as So term is subtracted exactly when is even and the prefix sum is odd, and the final value is minus twice the total of the subtracted terms. We must count compositions of in which the even terms sitting where the prefix sum is odd total exactly The prefix parity flips exactly at odd terms, so the odd terms come in (the total is even), and the subtracted terms are precisely the even terms lying between the st and th odd terms; these "odd stretches" must hold even terms totaling while the other stretches hold even terms totaling where is the sum of the odd terms.
Let be the number of ways to fill ordered stretches with sequences of even terms totaling One stretch is a composition of into even parts, i.e. of for and convolving gives the values needed below: and Compositions of into odd parts number
Casework on and for give and For give and For gives The total is
15.
Halla el número de 7-tuplas ordenadas que tienen las siguientes propiedades:
• para todo
• es un múltiplo de
• es un múltiplo de
Find the number of ordered 7-tuples having the following properties:
• for all
• is a multiple of
• is a multiple of
Nivel de dificultad: 3500
Solución:
Trabajamos módulo las entradas son y las entradas son Como las diferencias de alcanzan cada residuo no nulo módulo exactamente una vez, las siete ternas son las rectas de un plano de Fano sobre las posiciones: cada par de posiciones está en exactamente una recta, y dos rectas cualesquiera se cortan en exactamente un punto. Sea el conjunto de posiciones que tienen un y Un término producto sobrevive exactamente cuando su recta evita aportando y la condición lineal obliga a que los valores sumen módulo
Análisis por casos según la tupla con todos funciona: un único no puede sumar ninguna. ninguna recta sobrevive; las dos entradas no nulas deben ser un y un tres suman solo si son todos iguales, y las tres posiciones no nulas no deben formar una recta, pues de lo contrario su producto es cuatro deben repartirse dos y dos; si no es una recta, exactamente una recta la evita (arruinando la suma), mientras que si es una recta ninguna recta la evita: cinco deben ir cuatro y uno; exactamente dos rectas evitan se cortan en un punto y cubren las cinco posiciones, y sus productos se cancelan exactamente cuando el único valor minoritario evita seis suman si son todos iguales o tres de cada; las cuatro rectas que evitan se cortan por pares en las seis posiciones no nulas, y como el producto de los cuatro productos de recta es necesitamos exactamente dos rectas negativas. Todos iguales da o rectas negativas; para tres , viendo las posiciones como aristas de sobre las cuatro rectas, una recta es negativa exactamente cuando tiene grado impar en el conjunto de aristas elegido, y exactamente los caminos de tres aristas (de los subconjuntos) dan dos grados impares: siete necesitan dos o cinco , que hacen o rectas negativas respectivamente, pero necesita ninguna.
El total es
Work modulo entries are and entries are Because the differences of hit every nonzero residue mod exactly once, the seven triples are the lines of a Fano plane on the positions: every pair of positions lies on exactly one line, and any two lines meet in exactly one point. Let be the set of positions holding a and A product term survives exactly when its line avoids contributing and the linear condition constrains the values to sum to mod
Casework on the all-s tuple works: a single can't sum to none. no line survives; the two nonzero entries must be a and a three s sum to only if all equal, and the three nonzero positions must not form a line, else its product is four s must split two and two; exactly one line avoids a non-line (spoiling the sum), while a line is avoided by no line: five s must go four and one; exactly two lines avoid meeting at a point and covering the five positions, and their products cancel exactly when the lone minority value avoids six s sum to if all equal or three of each; the four lines avoiding pairwise meet in the six nonzero positions, and since the product of all four line-products is we need exactly two negative lines. All-equal gives or negative lines; for three 's, viewing positions as edges of on the four lines, a line is negative exactly when it has odd degree in the chosen -edge set, and exactly the three-edge paths (of the subsets) give two odd degrees: seven s need two or five 's, which make or lines negative respectively, but needs none.
The total is