Question

Sea $N$ el número de maneras de escribir $2010$ en la forma $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$ donde los $a_i$ son enteros, y $0 \le a_i \le 99.$ Un ejemplo de tal representación es $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Halle $N.$

Let $N$ be the number of ways to write $2010$ in the form $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$ where the $a_i$ 's are integers, and $0 \le a_i \le 99.$ An example of such a representation is $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Find $N.$

Respuesta

Solución:

Escriba cada coeficiente como $a_i = 10b_i + c_i$ con dígitos $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};$ todo entero $0 \le a_i \le 99$ se divide así de manera única. Poniendo $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ y $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ (leídos como números en base $10$ ), la condición se convierte en $2010 = 10m + n.$

Recíprocamente, cualesquiera enteros no negativos $m, n$ con $10m + n = 2010$ satisfacen $m \le 201$ y $n \le 2010,$ así que cada uno tiene a lo sumo cuatro dígitos; esos dígitos recuperan los $b_i$ y $c_i,$ y por tanto los $a_i.$ Así que las representaciones corresponden exactamente a elecciones de $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ con $n = 2010 - 10m,$ y $N = 202.$

Write each coefficient as $a_i = 10b_i + c_i$ with digits $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};$ every integer $0 \le a_i \le 99$ splits this way uniquely. Setting $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ and $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ (read as base- $10$ numbers), the condition becomes $2010 = 10m + n.$

Conversely, any nonnegative integers $m, n$ with $10m + n = 2010$ satisfy $m \le 201$ and $n \le 2010,$ so each has at most four digits; those digits recover the $b_i$ and $c_i,$ hence the $a_i.$ So representations correspond exactly to choices of $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ with $n = 2010 - 10m,$ and $N = 202.$

2010 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años