2010 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Maya enumera todos los divisores positivos de $2010^2.$ Luego selecciona al azar dos divisores distintos de esta lista. Sea $p$ la probabilidad de que exactamente uno de los divisores seleccionados sea un cuadrado perfecto. La probabilidad $p$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Maya lists all the positive divisors of $2010^2.$ She then randomly selects two distinct divisors from this list. Let $p$ be the probability that exactly one of the selected divisors is a perfect square. The probability $p$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 107

Conceptos:conteo de factores cuadrado perfecto probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Factorice $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2:$ tiene $3^4 = 81$ divisores

Factor $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2:$ it has $3^4 = 81$ divisors

Pista grande:

Un divisor es un cuadrado perfecto exactamente cuando los cuatro exponentes son pares, así que $2^4 = 16$ de los divisores son cuadrados. Cuente los pares que usan un cuadrado y un no cuadrado.

A divisor is a perfect square exactly when all four exponents are even, so $2^4 = 16$ of the divisors are squares. Count pairs using one square and one non-square.

Solución:

Como $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,$ tiene $(2 + 1)^4 = 81$ divisores positivos. Un divisor es un cuadrado perfecto exactamente cuando cada uno de sus cuatro exponentes es $0$ o $2,$ lo que da $2^4 = 16$ cuadrados perfectos y $81 - 16 = 65$ no cuadrados.

La probabilidad de elegir uno de cada tipo es $p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},$ así que $m + n = 26 + 81 = 107.$

Since $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,$ it has $(2 + 1)^4 = 81$ positive divisors. A divisor is a perfect square exactly when each of its four exponents is $0$ or $2,$ giving $2^4 = 16$ perfect squares and $81 - 16 = 65$ non-squares.

The probability of picking one of each is $p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},$ so $m + n = 26 + 81 = 107.$

2.

Halle el residuo al dividir $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nueves}}$ entre $1000.$

Find the remainder when $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nines}}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras $9$ , así que es $\equiv -1 \pmod{1000}$

Every factor from the third one on ends in at least three $9$ s, so it is $\equiv -1 \pmod{1000}$

Pista grande:

Cuente cuántos factores son $\equiv -1 \pmod{1000}$ y determine si ese número es par o impar; solo queda calcular $9 \cdot 99$

Count how many factors are $\equiv -1 \pmod{1000}$ and check whether that count is odd or even; only $9 \cdot 99$ remains to compute

Solución:

Trabaje módulo $1000.$ Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras $9$ , así que cada uno es $\equiv -1 \pmod{1000}.$ Hay $999$ factores en total, de modo que $997$ de ellos son $\equiv -1.$

Por lo tanto, el producto satisface $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ así que el residuo es $109.$

Work modulo $1000.$ Every factor from the third one on ends in at least three $9$ s, so each is $\equiv -1 \pmod{1000}.$ There are $999$ factors in all, hence $997$ of them are $\equiv -1.$

The product is therefore $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ so the remainder is $109.$

3.

Suponga que $y = \frac{3}{4}x$ y $x^y = y^x.$ La cantidad $x + y$ puede expresarse como un número racional $\frac{r}{s},$ donde $r$ y $s$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $r + s.$

Suppose that $y = \frac{3}{4}x$ and $x^y = y^x.$ The quantity $x + y$ can be expressed as a rational number $\frac{r}{s},$ where $r$ and $s$ are relatively prime positive integers. Find $r + s.$

Respuesta

Respuesta: 529

Conceptos:exponente sustitución

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Sustituya $y = \frac{3}{4}x$ en $x^y = y^x$ y tome la raíz $x$ -ésima de ambos lados

Substitute $y = \frac{3}{4}x$ into $x^y = y^x$ and take $x$ th roots of both sides

Pista grande:

La ecuación se convierte en $x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,$ así que $x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},$ lo que da $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4$

The equation becomes $x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,$ so $x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},$ which gives $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4$

Solución:

Sustituir $y = \frac{3}{4}x$ en $x^y = y^x$ da $x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.$ Tomando raíces $x$ -ésimas (las cantidades aquí son positivas), $x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,$ así que al dividir entre $x$ se obtiene $x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},$ es decir, $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.$

Entonces $y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},$ y $x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.$ Como $\gcd(448, 81) = 1,$ la respuesta es $448 + 81 = 529.$

Substituting $y = \frac{3}{4}x$ into $x^y = y^x$ gives $x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.$ Taking $x$ th roots (the quantities here are positive), $x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,$ so dividing by $x$ yields $x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},$ that is, $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.$

Then $y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},$ and $x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.$ Since $\gcd(448, 81) = 1,$ the answer is $448 + 81 = 529.$

4.

Jackie y Phil tienen dos monedas justas y una tercera moneda que sale cara con probabilidad $\frac{4}{7}.$ Jackie lanza las tres monedas y luego Phil lanza las tres monedas. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que Jackie obtenga el mismo número de caras que Phil, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Jackie and Phil have two fair coins and a third coin that comes up heads with probability $\frac{4}{7}.$ Jackie flips the three coins, and then Phil flips the three coins. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that Jackie gets the same number of heads as Phil, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 515

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Calcule la probabilidad de que un jugador saque $0,$ $1,$ $2,$ $3$ caras; las cuatro tienen denominador $28$

Compute the probability that one player flips $0,$ $1,$ $2,$ $3$ heads; all four have denominator $28$

Pista grande:

Los dos jugadores son independientes e idénticos, así que la probabilidad de que coincidan es la suma de los cuadrados de esas cuatro probabilidades

The two players are independent and identical, so the probability they match is the sum of the squares of those four probabilities

Solución:

Sea $p(h)$ la probabilidad de que un jugador saque $h$ caras. Separando según las dos monedas justas y la moneda sesgada, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Los lanzamientos de Jackie y Phil son independientes y con la misma distribución, así que la probabilidad de que sus conteos de caras coincidan es $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $m + n = 123 + 392 = 515.$

Let $p(h)$ be the probability that one player flips $h$ heads. Splitting according to the two fair coins and the biased coin, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Jackie’s and Phil’s flips are independent with the same distribution, so the probability that their head counts agree is $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 123 + 392 = 515.$

5.

Los enteros positivos $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ satisfacen $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ y $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Halle el número de valores posibles de $a.$

Positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ satisfy $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ and $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Find the number of possible values of $a.$

Respuesta

Respuesta: 501

Conceptos:diferencia de cuadrados acotación a casos límite conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Factorice: $a^2 - b^2 + c^2 - d^2$ $= (a-b)(a+b)$ $+ (c-d)(c+d)$ $\ge (a+b) + (c+d)$

Factor: $a^2 - b^2 + c^2 - d^2$ $= (a-b)(a+b)$ $+ (c-d)(c+d)$ $\ge (a+b) + (c+d)$

Pista grande:

La igualdad obliga a $a - b = c - d = 1,$ así que $a + c = 1006;$ luego halle el rango de $a$ permitido por $b \gt c$ y $d \ge 1$

Equality forces $a - b = c - d = 1,$ so $a + c = 1006;$ then find the range of $a$ allowed by $b \gt c$ and $d \ge 1$

Solución:

Factorizando, $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}$ ya que $a - b \ge 1$ y $c - d \ge 1.$ Se cumple la igualdad, así que $a - b = c - d = 1,$ es decir, $b = a - 1$ y $d = c - 1.$ Entonces $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ da $a + c = 1006.$

La condición $b \gt c$ significa $a - 1 \gt c = 1006 - a,$ así que $a \ge 504,$ y $d \ge 1$ significa $c \ge 2,$ así que $a \le 1004.$ Todo $a$ en este rango funciona, mediante $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a).$

El conteo es $1004 - 504 + 1 = 501.$

Factoring, $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}$ since $a - b \ge 1$ and $c - d \ge 1.$ Equality holds, so $a - b = c - d = 1,$ that is, $b = a - 1$ and $d = c - 1.$ Then $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ gives $a + c = 1006.$

The condition $b \gt c$ means $a - 1 \gt c = 1006 - a,$ so $a \ge 504,$ and $d \ge 1$ means $c \ge 2,$ so $a \le 1004.$ Every $a$ in this range works, via $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a).$

The count is $1004 - 504 + 1 = 501.$

6.

Sea $P(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes reales que satisface $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$ para todos los números reales $x,$ y suponga que $P(11) = 181.$ Halle $P(16).$

Let $P(x)$ be a quadratic polynomial with real coefficients satisfying $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$ for all real numbers $x,$ and suppose $P(11) = 181.$ Find $P(16).$

Respuesta

Respuesta: 406

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado polinomio

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Complete el cuadrado: ambas cuadráticas de cota valen $(x-1)^2 + 1$ y $2(x-1)^2 + 1,$ con vértice común $(1, 1)$

Complete the square: both bounding quadratics equal $(x-1)^2 + 1$ and $2(x-1)^2 + 1,$ with common vertex $(1, 1)$

Pista grande:

$P(x) - (x-1)^2 - 1$ es no negativo en todas partes y cero en $x = 1,$ así que es $c(x-1)^2;$ use $P(11) = 181$ para hallar $c$

$P(x) - (x-1)^2 - 1$ is nonnegative everywhere and zero at $x = 1,$ so it is $c(x-1)^2;$ use $P(11) = 181$ to find $c$

Solución:

Completando el cuadrado, la condición queda $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$ En $x = 1$ ambas cotas valen $1,$ así que $P(1) = 1.$ La cuadrática $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ es no negativa para todo $x$ y se anula en $x = 1,$ así que $x = 1$ es una raíz doble: $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ para alguna constante $a.$

De $P(11) = 100a + 1 = 181$ obtenemos $a = \frac{9}{5}.$ Entonces $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

Completing the square, the condition reads $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$ At $x = 1$ both bounds equal $1,$ so $P(1) = 1.$ The quadratic $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ is nonnegative for all $x$ and vanishes at $x = 1,$ so $x = 1$ is a double root: $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ for some constant $a.$

From $P(11) = 100a + 1 = 181$ we get $a = \frac{9}{5}.$ Then $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

7.

Se dice que una terna ordenada $(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})$ de conjuntos es mínimamente intersecante si $|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}| = |\mathcal{B} \cap \mathcal{C}| = |\mathcal{C} \cap \mathcal{A}| = 1$ y $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset.$ Por ejemplo, $(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3, 4\})$ es una terna mínimamente intersecante. Sea $N$ el número de ternas ordenadas mínimamente intersecantes de conjuntos para las que cada conjunto es un subconjunto de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.$ Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Nota: $|\mathcal{S}|$ representa el número de elementos en el conjunto $\mathcal{S}.$

Define an ordered triple $(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})$ of sets to be minimally intersecting if $|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}| = |\mathcal{B} \cap \mathcal{C}| = |\mathcal{C} \cap \mathcal{A}| = 1$ and $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset.$ For example, $(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3, 4\})$ is a minimally intersecting triple. Let $N$ be the number of minimally intersecting ordered triples of sets for which each set is a subset of $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Note: $|\mathcal{S}|$ represents the number of elements in the set $\mathcal{S}.$

Respuesta

Respuesta: 760

Conceptos:Diagrama de Venn principio de multiplicación subconjuntos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Las tres intersecciones por pares son elementos individuales $x,$ $y,$ $z,$ que deben ser distintos ya que la intersección triple es vacía

The three pairwise intersections are single elements $x,$ $y,$ $z,$ which must be distinct since the triple intersection is empty

Pista grande:

Después de colocar $x,$ $y,$ $z$ de $7 \cdot 6 \cdot 5$ maneras, cada elemento restante puede ir a exactamente uno de los tres conjuntos o a ninguno

After placing $x,$ $y,$ $z$ in $7 \cdot 6 \cdot 5$ ways, each remaining element may go into exactly one of the three sets or into none

Solución:

Escriba $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \{x\},$ $\mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \{y\},$ y $\mathcal{C} \cap \mathcal{A} = \{z\}.$ Como $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset,$ los elementos $x,$ $y,$ $z$ son distintos, y pueden elegirse de $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ maneras.

Cada uno de los $4$ elementos restantes no debe crear más intersecciones por pares, así que puede pertenecer a exactamente uno de $\mathcal{A},$ $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ o a ninguno de ellos: $4$ opciones cada uno, para $4^4 = 256$ asignaciones.

Por lo tanto, $N = 210 \cdot 256 = 53760,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $760.$

Write $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \{x\},$ $\mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \{y\},$ and $\mathcal{C} \cap \mathcal{A} = \{z\}.$ Since $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset,$ the elements $x,$ $y,$ $z$ are distinct, and they can be chosen in $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ ways.

Each of the remaining $4$ elements must not create any further pairwise intersections, so it can belong to exactly one of $\mathcal{A},$ $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ or to none of them: $4$ choices each, for $4^4 = 256$ assignments.

Hence $N = 210 \cdot 256 = 53760,$ and the remainder upon division by $1000$ is $760.$

8.

Para un número real $a,$ sea $\lfloor a \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $a.$ Sea $\mathcal{R}$ la región del plano coordenado formada por los puntos $(x, y)$ tales que $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$ La región $\mathcal{R}$ está completamente contenida en un disco de radio $r$ (un disco es la unión de un círculo y su interior). El valor mínimo de $r$ puede escribirse como $\frac{\sqrt{m}}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros y $m$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

For a real number $a,$ let $\lfloor a \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $a.$ Let $\mathcal{R}$ denote the region in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$ The region $\mathcal{R}$ is completely contained in a disk of radius $r$ (a disk is the union of a circle and its interior). The minimum value of $r$ can be written as $\frac{\sqrt{m}}{n},$ where $m$ and $n$ are integers and $m$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 132

Conceptos:funciones piso y techo punto reticular fórmula de la distancia simetría

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

$(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ debe ser uno de los $12$ pares de enteros cuyos cuadrados suman $25,$ así que $\mathcal{R}$ es una unión de $12$ cuadrados unitarios

$(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ must be one of the $12$ integer pairs with squares summing to $25,$ so $\mathcal{R}$ is a union of $12$ unit squares

Pista grande:

$\mathcal{R}$ es simétrica respecto de $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ así que el mejor disco está centrado ahí; halle la esquina de cuadrado más lejana de ese centro

$\mathcal{R}$ is symmetric about $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ so the best disk is centered there; find the square corner farthest from that center

Solución:

Como $\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor y \rfloor$ son enteros cuyos cuadrados suman $25,$ el par $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ es uno de los $12$ pares $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ Por tanto, $\mathcal{R}$ es la unión de los $12$ cuadrados unitarios cuyas esquinas inferiores izquierdas son esos puntos.

Sea $K$ la clausura de $\mathcal{R}.$ Todo disco cerrado que contiene a $\mathcal{R}$ también contiene a $K,$ así que ambos conjuntos tienen el mismo radio mínimo de cobertura. La aplicación $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permuta los cuadrados unitarios cerrados de $K,$ por lo que $K$ es simétrico bajo una rotación de $180^\circ$ alrededor de $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ Si $X \in K,$ su punto opuesto $X' = 2Q-X$ también está en $K.$ Todo disco que contiene ambos extremos de $\overline{XX'}$ tiene radio al menos $\frac{XX'}{2} = XQ.$ Por tanto, ningún disco envolvente puede tener radio menor que la mayor distancia de $Q$ a $K.$

Esa mayor distancia se alcanza en esquinas como $A = (4, 5)$ y $B = (5, 4),$ y al revisar las esquinas de los doce cuadrados cerrados se obtiene $\begin{aligned} QA = QB &= \sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{130}}{2}. \end{aligned}$ El disco centrado en $Q$ con este radio contiene cada cuadrado, así que alcanza la cota inferior.

Por tanto, el radio mínimo es $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ y $m + n = 130 + 2 = 132.$

Since $\lfloor x \rfloor$ and $\lfloor y \rfloor$ are integers whose squares sum to $25,$ the pair $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ is one of the $12$ pairs $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ So $\mathcal{R}$ is the union of the $12$ unit squares whose lower-left corners are these points.

Let $K$ be the closure of $\mathcal{R}.$ Any closed disk containing $\mathcal{R}$ also contains $K,$ so the two sets have the same minimum enclosing radius. The map $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permutes the closed unit squares in $K,$ so $K$ is symmetric under $180^\circ$ rotation about $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ If $X \in K,$ its opposite point $X' = 2Q-X$ also lies in $K.$ Every disk containing both endpoints of $\overline{XX'}$ has radius at least $\frac{XX'}{2} = XQ.$ Thus no enclosing disk can have radius smaller than the greatest distance from $Q$ to $K.$

That greatest distance is attained at square corners such as $A = (4, 5)$ and $B = (5, 4),$ and checking the corners of all twelve closed squares gives $\begin{aligned} QA = QB &= \sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{130}}{2}. \end{aligned}$ The disk centered at $Q$ with this radius contains every square, so it attains the lower bound.

Hence the minimum radius is $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ and $m + n = 130 + 2 = 132.$

9.

Sea $(a, b, c)$ una solución real del sistema de ecuaciones $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$ El mayor valor posible de $a^3 + b^3 + c^3$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $(a, b, c)$ be a real solution of the system of equations $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$ The greatest possible value of $a^3 + b^3 + c^3$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 158

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 2740

Pista pequeña:

Sume $xyz$ a cada ecuación y ponga $P = xyz,$ así $x^3 = 2 + P,$ $y^3 = 6 + P,$ $z^3 = 20 + P$

Add $xyz$ to each equation and set $P = xyz,$ so $x^3 = 2 + P,$ $y^3 = 6 + P,$ $z^3 = 20 + P$

Pista grande:

Multiplicar las tres da $P^3 = (2+P)(6+P)(20+P),$ que en realidad es una cuadrática en $P;$ note que $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P$

Multiplying the three gives $P^3 = (2+P)(6+P)(20+P),$ which is really a quadratic in $P;$ note $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P$

Solución:

Sumar $xyz$ a cada ecuación da $x^3 = 2 + xyz,$ $y^3 = 6 + xyz,$ y $z^3 = 20 + xyz.$ Sea $P = xyz.$ Multiplicar las tres ecuaciones produce $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$ así que $28P^2 + 172P + 240 = 0,$ es decir, $7P^2 + 43P + 60 = 0,$ cuyas raíces son $P = -\frac{15}{7}$ y $P = -4.$ Cada raíz es alcanzable: las raíces cúbicas de $2 + P,$ $6 + P,$ $20 + P$ entonces sí tienen producto $P.$

Sumando las ecuaciones originales, $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,$ que se maximiza con la raíz mayor $P = -\frac{15}{7}:$ $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$ Por lo tanto, $m + n = 151 + 7 = 158.$

Adding $xyz$ to each equation gives $x^3 = 2 + xyz,$ $y^3 = 6 + xyz,$ and $z^3 = 20 + xyz.$ Let $P = xyz.$ Multiplying the three equations yields $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$ so $28P^2 + 172P + 240 = 0,$ i.e. $7P^2 + 43P + 60 = 0,$ whose roots are $P = -\frac{15}{7}$ and $P = -4.$ Each root is achievable: the cube roots of $2 + P,$ $6 + P,$ $20 + P$ then really do have product $P.$

Adding the original equations, $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,$ which is maximized by the larger root $P = -\frac{15}{7}:$ $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$ Thus $m + n = 151 + 7 = 158.$

10.

Sea $N$ el número de maneras de escribir $2010$ en la forma $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$ donde los $a_i$ son enteros, y $0 \le a_i \le 99.$ Un ejemplo de tal representación es $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Halle $N.$

Let $N$ be the number of ways to write $2010$ in the form $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$ where the $a_i$ ’s are integers, and $0 \le a_i \le 99.$ An example of such a representation is $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Find $N.$

Respuesta

Respuesta: 202

Conceptos:base numérica dígitos biyección

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Divida cada coeficiente en dígitos: $a_i = 10 b_i + c_i$ con $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\}$

Split each coefficient into digits: $a_i = 10 b_i + c_i$ with $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\}$

Pista grande:

Los $b_i$ son los dígitos de un número $m$ y los $c_i$ de un número $n,$ y la condición es exactamente $10m + n = 2010;$ cuente los $m$ posibles

The $b_i$ are the digits of a number $m$ and the $c_i$ of a number $n,$ and the condition is exactly $10m + n = 2010;$ count the possible $m$

Solución:

Escriba cada coeficiente como $a_i = 10b_i + c_i$ con dígitos $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};$ todo entero $0 \le a_i \le 99$ se descompone así de manera única. Poniendo $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ y $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ (leídos como números en base $10$ ), la condición se convierte en $2010 = 10m + n.$

Recíprocamente, cualesquiera enteros no negativos $m, n$ con $10m + n = 2010$ satisfacen $m \le 201$ y $n \le 2010,$ así que cada uno tiene a lo sumo cuatro dígitos; esos dígitos recuperan los $b_i$ y $c_i,$ y por tanto los $a_i.$ Así que las representaciones corresponden exactamente a elecciones de $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ con $n = 2010 - 10m,$ y $N = 202.$

Write each coefficient as $a_i = 10b_i + c_i$ with digits $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};$ every integer $0 \le a_i \le 99$ splits this way uniquely. Setting $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ and $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ (read as base- $10$ numbers), the condition becomes $2010 = 10m + n.$

Conversely, any nonnegative integers $m, n$ with $10m + n = 2010$ satisfy $m \le 201$ and $n \le 2010,$ so each has at most four digits; those digits recover the $b_i$ and $c_i,$ hence the $a_i.$ So representations correspond exactly to choices of $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ with $n = 2010 - 10m,$ and $N = 202.$

11.

Sea $\mathcal{R}$ la región formada por el conjunto de puntos del plano coordenado que satisfacen a la vez $|8 - x| + y \le 10$ y $3y - x \ge 15.$ Cuando $\mathcal{R}$ se hace girar alrededor de la recta cuya ecuación es $3y - x = 15,$ el volumen del sólido resultante es $\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos entre sí, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n + p.$

Let $\mathcal{R}$ be the region consisting of the set of points in the coordinate plane that satisfy both $|8 - x| + y \le 10$ and $3y - x \ge 15.$ When $\mathcal{R}$ is revolved around the line whose equation is $3y - x = 15,$ the volume of the resulting solid is $\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Respuesta: 365

Conceptos:volumen cono geometría analítica

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

La región es un triángulo con un lado sobre el eje de revolución $3y - x = 15;$ halle sus tres vértices

The region is a triangle with one side on the axis of revolution $3y - x = 15;$ find its three vertices

Pista grande:

Al girar se obtienen dos conos que comparten una base: volumen total $\frac{1}{3}\pi\,d^2 \cdot AB,$ donde $d$ es la distancia del vértice fuera del eje a la recta

Revolving gives two cones sharing a base: total volume $\frac{1}{3}\pi\,d^2 \cdot AB,$ where $d$ is the distance from the off-axis vertex to the line

Solución:

La condición $|8 - x| + y \le 10$ significa $y \le x + 2$ para $x \le 8$ y $y \le 18 - x$ para $x \ge 8.$ Al intersecar con el semiplano $3y - x \ge 15$ queda el triángulo con vértices $A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)$ y $B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)$ sobre la recta $3y - x = 15,$ y ápice $C = (8, 10).$

El lado $AB$ está sobre el eje de revolución, y el pie $D$ de la perpendicular desde $C$ a la recta, a saber $(8.7, 7.9),$ está entre $A$ y $B.$ Así que el sólido está formado por dos conos que comparten una base de radio $CD$ y cuyas alturas suman $AB,$ y su volumen es $\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.$ Aquí $\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}$

El volumen es $\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},$ así que $m + n + p = 343 + 12 + 10$ $= 365.$

The condition $|8 - x| + y \le 10$ means $y \le x + 2$ for $x \le 8$ and $y \le 18 - x$ for $x \ge 8.$ Intersecting with the half-plane $3y - x \ge 15$ leaves the triangle with vertices $A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)$ and $B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)$ on the line $3y - x = 15,$ and apex $C = (8, 10).$

Side $AB$ lies on the axis of revolution, and the foot $D$ of the perpendicular from $C$ to the line, namely $(8.7, 7.9),$ lies between $A$ and $B.$ So the solid is two cones sharing a base of radius $CD$ with heights summing to $AB,$ and its volume is $\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.$ Here $\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}$

The volume is $\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},$ so $m + n + p = 343 + 12 + 10$ $= 365.$

12.

Sea $m \ge 3$ un entero y sea $S = \{3, 4, 5, \ldots, m\}.$ Halle el menor valor de $m$ tal que para toda partición de $S$ en dos subconjuntos, al menos uno de los subconjuntos contiene enteros $a,$ $b,$ y $c$ (no necesariamente distintos) tales que $ab = c.$

Nota: una partición de $S$ es un par de conjuntos $A,$ $B$ tales que $A \cap B = \emptyset$ y $A \cup B = S.$

Let $m \ge 3$ be an integer and let $S = \{3, 4, 5, \ldots, m\}.$ Find the smallest value of $m$ such that for every partition of $S$ into two subsets, at least one of the subsets contains integers $a,$ $b,$ and $c$ (not necessarily distinct) such that $ab = c.$

Note: a partition of $S$ is a pair of sets $A,$ $B$ such that $A \cap B = \emptyset$ and $A \cup B = S.$

Respuesta

Respuesta: 243

Conceptos:deducción lógica argumento extremal

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pruebe particiones en dos subconjuntos que mantengan separados los números pequeños y sus productos por pares, como separar $\{3, \ldots, 8\}$ de $\{9, \ldots, 80\}$

Try two-subset partitions that keep small numbers and their pairwise products apart, such as separating $\{3, \ldots, 8\}$ from $\{9, \ldots, 80\}$

Pista grande:

Para la cota superior, siga las potencias de $3:$ una vez que $3$ y $9$ quedan forzados en subconjuntos distintos, coloque $27$ y $81,$ y una potencia más crea una contradicción

For the upper bound, follow the powers of $3:$ once $3$ and $9$ are forced into different subsets, place $27$ and $81,$ and one more power creates a contradiction

Solución:

Primero, $m = 243$ funciona. Suponga que $S = \{3, 4, \ldots, 243\}$ se particiona en $T$ y $U$ sin que ninguno contenga un producto, y digamos que $3 \in T.$ Entonces $9 = 3 \cdot 3$ debe estar en $U,$ así que $81 = 9 \cdot 9$ debe estar en $T,$ y luego $243 = 3 \cdot 81$ debe estar en $U.$ Ahora considere $27:$ si $27 \in T,$ entonces $3 \cdot 27 = 81$ pone un producto en $T;$ si $27 \in U,$ entonces $9 \cdot 27 = 243$ pone uno en $U.$ En cualquier caso llegamos a una contradicción.

Para $m = 242,$ la partición $T = \{3, \ldots, 8\} \cup \{81, \ldots, 242\}$ y $U = \{9, \ldots, 80\}$ evita productos: dos elementos de $\{3, \ldots, 8\}$ se multiplican dando algo en $[9, 64] \subseteq U,$ cualquier producto que involucre un elemento de $\{81, \ldots, 242\}$ es al menos $3 \cdot 81 = 243 \gt 242,$ y dos elementos de $U$ se multiplican dando al menos $81 \gt 80.$

Por lo tanto, el menor $m$ con esta propiedad es $243.$

First, $m = 243$ works. Suppose $S = \{3, 4, \ldots, 243\}$ were partitioned into $T$ and $U$ with neither containing a product, and say $3 \in T.$ Then $9 = 3 \cdot 3$ must lie in $U,$ so $81 = 9 \cdot 9$ must lie in $T,$ and then $243 = 3 \cdot 81$ must lie in $U.$ Now consider $27:$ if $27 \in T,$ then $3 \cdot 27 = 81$ puts a product in $T;$ if $27 \in U,$ then $9 \cdot 27 = 243$ puts one in $U.$ Either way we reach a contradiction.

For $m = 242,$ the partition $T = \{3, \ldots, 8\} \cup \{81, \ldots, 242\}$ and $U = \{9, \ldots, 80\}$ avoids products: two elements of $\{3, \ldots, 8\}$ multiply to something in $[9, 64] \subseteq U,$ any product involving an element of $\{81, \ldots, 242\}$ is at least $3 \cdot 81 = 243 \gt 242,$ and two elements of $U$ multiply to at least $81 \gt 80.$

Hence the smallest such $m$ is $243.$

13.

El rectángulo $ABCD$ y un semicírculo de diámetro $\overline{AB}$ son coplanares y tienen interiores que no se superponen. Sea $\mathcal{R}$ la región encerrada por el semicírculo y el rectángulo. La recta $\ell$ corta al semicírculo, al segmento $\overline{AB},$ y al segmento $\overline{CD}$ en puntos distintos $N,$ $U,$ y $T,$ respectivamente. La recta $\ell$ divide la región $\mathcal{R}$ en dos regiones con áreas en razón $1 : 2.$ Suponga que $AU = 84,$ $AN = 126,$ y $UB = 168.$ Entonces $DA$ puede representarse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

Rectangle $ABCD$ and a semicircle with diameter $\overline{AB}$ are coplanar and have nonoverlapping interiors. Let $\mathcal{R}$ denote the region enclosed by the semicircle and the rectangle. Line $\ell$ meets the semicircle, segment $\overline{AB},$ and segment $\overline{CD}$ at distinct points $N,$ $U,$ and $T,$ respectively. Line $\ell$ divides region $\mathcal{R}$ into two regions with areas in the ratio $1 : 2.$ Suppose that $AU = 84,$ $AN = 126,$ and $UB = 168.$ Then $DA$ can be represented as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 69

Conceptos:sector circular descomposición de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Con $AB = 252,$ el centro $O$ satisface $AO = ON = AN = 126,$ así que el triángulo $AON$ es equilátero y el sector $AON$ es un tercio del semicírculo

With $AB = 252,$ the center $O$ satisfies $AO = ON = AN = 126,$ so triangle $AON$ is equilateral and sector $AON$ is one third of the semicircle

Pista grande:

Como $AU:UB = 1:2$ divide el rectángulo también en razón $1:2,$ los dos triángulos pequeños que $\ell$ recorta a cada lado de $\overline{AB}$ deben tener áreas iguales

Since $AU:UB = 1:2$ splits the rectangle in ratio $1:2$ as well, the two small triangles that $\ell$ cuts off on either side of $\overline{AB}$ must have equal areas

Solución:

Aquí $AB = 84 + 168 = 252,$ así que el semicírculo tiene centro $O$ (el punto medio de $\overline{AB}$ ) y radio $126.$ Como $AN = AO = ON = 126,$ el triángulo $AON$ es equilátero, así que $\angle AON = 60^\circ$ y el sector $AON$ es exactamente un tercio del semicírculo. Del mismo modo, si $Q$ es el pie de la perpendicular desde $U$ a $\overline{DC},$ entonces $AU : UB = 1 : 2$ hace que el rectángulo $AUQD$ sea un tercio del rectángulo $ABCD.$

La parte de $\mathcal{R}$ del lado de $A$ respecto de $\ell$ es igual a (sector $AON$ ) $-$ $[NUO]$ $+$ (rectángulo $AUQD$ ) $+$ $[UQT].$ Como esto debe ser un tercio de $\mathcal{R},$ necesitamos $[NUO] = [UQT].$ Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $N$ a $\overline{AB}.$ En el triángulo $30$ - $60$ - $90$ $NOP,$ $OP = 63$ y $NP = 63\sqrt{3},$ así que $UP = 84 - 63 = 21$ y $UO = 126 - 84 = 42.$ Los triángulos $NUP$ y $TUQ$ son triángulos rectángulos semejantes (ángulos opuestos por el vértice en $U$ ), así que $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$ esto último porque ambos triángulos tienen altura $NP$ sobre las bases $UO$ y $UP.$

Igualar las áreas de los dos triángulos da $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,$ así que $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$ y $m + n = 63 + 6 = 69.$

Here $AB = 84 + 168 = 252,$ so the semicircle has center $O$ (the midpoint of $\overline{AB}$ ) and radius $126.$ Since $AN = AO = ON = 126,$ triangle $AON$ is equilateral, so $\angle AON = 60^\circ$ and sector $AON$ is exactly one third of the semicircle. Likewise, if $Q$ is the foot of the perpendicular from $U$ to $\overline{DC},$ then $AU : UB = 1 : 2$ makes rectangle $AUQD$ one third of rectangle $ABCD.$

The part of $\mathcal{R}$ on the $A$ -side of $\ell$ equals (sector $AON$ ) $-$ $[NUO]$ $+$ (rectangle $AUQD$ ) $+$ $[UQT].$ Since this must be one third of $\mathcal{R},$ we need $[NUO] = [UQT].$ Let $P$ be the foot of the perpendicular from $N$ to $\overline{AB}.$ In the $30$ - $60$ - $90$ triangle $NOP,$ $OP = 63$ and $NP = 63\sqrt{3},$ so $UP = 84 - 63 = 21$ and $UO = 126 - 84 = 42.$ Triangles $NUP$ and $TUQ$ are similar right triangles (vertical angles at $U$ ), so $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$ the latter because both triangles have height $NP$ over bases $UO$ and $UP.$

Setting the two triangle areas equal gives $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,$ so $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$ and $m + n = 63 + 6 = 69.$

14.

Para cada entero positivo $n,$ sea $f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.$ Halle el mayor valor de $n$ para el cual $f(n) \le 300.$

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$

For each positive integer $n,$ let $f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.$ Find the largest value of $n$ for which $f(n) \le 300.$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo dígitos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Cada término $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ nunca decrece a medida que $n$ crece, así que $f$ es no decreciente; calcule $f(100) = 292$ como referencia

Each term $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ never decreases as $n$ grows, so $f$ is nondecreasing; compute $f(100) = 292$ as a baseline

Pista grande:

Para $n$ apenas mayor que $100,$ cuente los $k$ con $kn \ge 1000$ y los $k$ con $kn \ge 10000$ para ver exactamente cuándo $f(n)$ alcanza $300$

For $n$ slightly above $100,$ count the $k$ with $kn \ge 1000$ and the $k$ with $kn \ge 10000$ to see exactly when $f(n)$ reaches $300$

Solución:

Cada término $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ es no decreciente en $n,$ así que $f$ es no decreciente y basta localizar dónde supera $300.$ Para $n = 100:$ los productos $kn$ van de $100$ a $10^4,$ dando $\lfloor \log_{10} \rfloor = 2$ para $k \le 9,$ $3$ para $10 \le k \le 99,$ y $4$ para $k = 100,$ así que $f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3$ $+ 4 = 292.$

Para $n = 109:$ como $9 \cdot 109 = 981 \lt 1000$ y $91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,$ los términos son $2$ para $k \le 9,$ $3$ para $10 \le k \le 91,$ y $4$ para $92 \le k \le 100:$ $\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}$ Para $n = 110:$ ahora $91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,$ así que diez términos valen $4$ y $f(110) = 18 + 81 \cdot 3$ $+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.$

Por monotonía, el mayor $n$ válido es $109.$

Each term $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ is nondecreasing in $n,$ so $f$ is nondecreasing and we just locate where it passes $300.$ For $n = 100:$ the products $kn$ run from $100$ to $10^4,$ giving $\lfloor \log_{10} \rfloor = 2$ for $k \le 9,$ $3$ for $10 \le k \le 99,$ and $4$ for $k = 100,$ so $f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3$ $+ 4 = 292.$

For $n = 109:$ since $9 \cdot 109 = 981 \lt 1000$ and $91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,$ the terms are $2$ for $k \le 9,$ $3$ for $10 \le k \le 91,$ and $4$ for $92 \le k \le 100:$ $\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}$ For $n = 110:$ now $91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,$ so ten terms equal $4$ and $f(110) = 18 + 81 \cdot 3$ $+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.$

By monotonicity, the largest valid $n$ is $109.$

15.

En $\triangle ABC$ con $AB = 12,$ $BC = 13,$ y $AC = 15,$ sea $M$ un punto sobre $\overline{AC}$ tal que los círculos inscritos de $\triangle ABM$ y $\triangle BCM$ tienen radios iguales. Sean $p$ y $q$ enteros positivos primos entre sí tales que $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.$ Halle $p + q.$

In $\triangle ABC$ with $AB = 12,$ $BC = 13,$ and $AC = 15,$ let $M$ be a point on $\overline{AC}$ such that the incircles of $\triangle ABM$ and $\triangle BCM$ have equal radii. Let $p$ and $q$ be positive relatively prime integers such that $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.$ Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 45

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Stewart razón de áreas

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Escribiendo el área como $K,$ tenemos $r = \frac{K}{s}.$ Por lo tanto, radios inscritos iguales significan que las áreas y los perímetros de los dos triángulos están en la misma razón, y ambas razones son iguales a $\frac{AM}{CM}$

Writing the area as $K,$ we have $r = \frac{K}{s}.$ Thus equal inradii mean the two triangles’ areas and perimeters are in the same ratio, and both ratios equal $\frac{AM}{CM}$

Pista grande:

Ponga $k = \frac{AM}{CM};$ la condición de perímetros da $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$ y el teorema de Stewart sobre la ceviana $BM$ da una segunda expresión para $BM^2$

Set $k = \frac{AM}{CM};$ the perimeter condition gives $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$ and Stewart’s theorem on cevian $BM$ gives a second expression for $BM^2$

Solución:

Sea $k = \frac{AM}{CM}.$ Los triángulos $ABM$ y $CBM$ comparten la altura desde $B,$ así que $\frac{[ABM]}{[CBM]} = k.$ Como el radio inscrito de un triángulo es su área dividida entre su semiperímetro, radios inscritos iguales también obligan a $\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k$ . De $AM + CM = 15$ obtenemos $AM = \frac{15k}{k+1}$ y $CM = \frac{15}{k+1};$ como $AM = k \cdot CM,$ la ecuación de perímetros se simplifica a $BM(1 - k) = 13k - 12,$ así que $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$ y $BM \gt 0$ obliga a $\frac{12}{13} \lt k \lt 1.$

El teorema de Stewart sobre la ceviana $\overline{BM}$ da $AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM$ $= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right),$ así que $\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}$ Igualar esto a $\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}$ y quitar denominadores produce $(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2$ $= (13k-12)^2(k+1)^2,$ que se simplifica a $4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0.$

Las raíces son $k = 0,$ $k = \frac{2}{3},$ y $k = \frac{22}{23},$ y solo $k = \frac{22}{23}$ supera $\frac{12}{13}$ (entonces $AM = \frac{22}{3},$ $CM = \frac{23}{3},$ $BM = 10$ ). Por lo tanto, $p + q = 22 + 23 = 45.$

Let $k = \frac{AM}{CM}.$ Triangles $ABM$ and $CBM$ share the altitude from $B,$ so $\frac{[ABM]}{[CBM]} = k.$ Since the inradius of a triangle is its area divided by its semiperimeter, equal inradii force $\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k$ as well. From $AM + CM = 15$ we get $AM = \frac{15k}{k+1}$ and $CM = \frac{15}{k+1};$ since $AM = k \cdot CM,$ the perimeter equation simplifies to $BM(1 - k) = 13k - 12,$ so $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$ and $BM \gt 0$ forces $\frac{12}{13} \lt k \lt 1.$

Stewart’s theorem on cevian $\overline{BM}$ gives $AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM$ $= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right),$ so $\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}$ Setting this equal to $\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}$ and clearing denominators yields $(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2$ $= (13k-12)^2(k+1)^2,$ which simplifies to $4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0.$

The roots are $k = 0,$ $k = \frac{2}{3},$ and $k = \frac{22}{23},$ and only $k = \frac{22}{23}$ exceeds $\frac{12}{13}$ (then $AM = \frac{22}{3},$ $CM = \frac{23}{3},$ $BM = 10$ ). Hence $p + q = 22 + 23 = 45.$

Problemas del 2010 AIME I

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