2010 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Maya enumera todos los divisores positivos de $2010^2.$ Luego selecciona al azar dos divisores distintos de esta lista. Sea $p$ la probabilidad de que exactamente uno de los divisores seleccionados sea un cuadrado perfecto. La probabilidad $p$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Maya lists all the positive divisors of $2010^2.$ She then randomly selects two distinct divisors from this list. Let $p$ be the probability that exactly one of the selected divisors is a perfect square. The probability $p$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 107

Conceptos:conteo de factores cuadrado perfecto probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Como $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,$ tiene $(2+1)^4 = 81$ divisores positivos. Un divisor es un cuadrado perfecto exactamente cuando cada uno de sus cuatro exponentes es $0$ o $2,$ lo que da $2^4 = 16$ cuadrados perfectos y $81 - 16 = 65$ no cuadrados.

La probabilidad de elegir uno de cada tipo es $p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},$ así que $m + n = 26 + 81 = 107.$

Since $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,$ it has $(2+1)^4 = 81$ positive divisors. A divisor is a perfect square exactly when each of its four exponents is $0$ or $2,$ giving $2^4 = 16$ perfect squares and $81 - 16 = 65$ non-squares.

The probability of picking one of each is $p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},$ so $m + n = 26 + 81 = 107.$

2.

Halle el residuo cuando $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 9's}}$ se divide entre $1000.$

Find the remainder when $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 9's}}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Trabaje módulo $1000.$ Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres $9$ , así que cada uno es $\equiv -1 \pmod{1000}.$ Hay $999$ factores en total, de modo que $997$ de ellos son $\equiv -1.$

Por lo tanto, el producto es $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ así que el residuo es $109.$

Work modulo $1000.$ Every factor from the third one on ends in at least three $9$ s, so each is $\equiv -1 \pmod{1000}.$ There are $999$ factors in all, hence $997$ of them are $\equiv -1.$

The product is therefore $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ so the remainder is $109.$

3.

Suponga que $y = \frac{3}{4}x$ y $x^y = y^x.$ La cantidad $x + y$ puede expresarse como un número racional $\frac{r}{s},$ donde $r$ y $s$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $r + s.$

Suppose that $y = \frac{3}{4}x$ and $x^y = y^x.$ The quantity $x + y$ can be expressed as a rational number $\frac{r}{s},$ where $r$ and $s$ are relatively prime positive integers. Find $r + s.$

Respuesta

Respuesta: 529

Conceptos:exponente sustitución

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Sustituir $y = \frac{3}{4}x$ en $x^y = y^x$ da $x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.$ Tomando raíces $x$ -ésimas (las cantidades aquí son positivas), $x^{3/4} = \frac{3}{4}x,$ así que al dividir entre $x$ se obtiene $x^{-1/4} = \frac{3}{4},$ es decir, $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.$

Entonces $y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},$ y $x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.$ Como $\gcd(448, 81) = 1,$ la respuesta es $448 + 81 = 529.$

Substituting $y = \frac{3}{4}x$ into $x^y = y^x$ gives $x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.$ Taking $x$ th roots (the quantities here are positive), $x^{3/4} = \frac{3}{4}x,$ so dividing by $x$ yields $x^{-1/4} = \frac{3}{4},$ that is, $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.$

Then $y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},$ and $x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.$ Since $\gcd(448, 81) = 1,$ the answer is $448 + 81 = 529.$

4.

Jackie y Phil tienen dos monedas justas y una tercera moneda que cae cara con probabilidad $\frac{4}{7}.$ Jackie lanza las tres monedas y luego Phil lanza las tres monedas. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que Jackie obtenga el mismo número de caras que Phil, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Jackie and Phil have two fair coins and a third coin that comes up heads with probability $\frac{4}{7}.$ Jackie flips the three coins, and then Phil flips the three coins. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that Jackie gets the same number of heads as Phil, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 515

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

Sea $p(h)$ la probabilidad de que un jugador saque $h$ caras. Separando según las dos monedas justas y la moneda sesgada, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Los lanzamientos de Jackie y Phil son independientes y con la misma distribución, así que la probabilidad de que sus conteos de caras coincidan es $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $m + n = 123 + 392 = 515.$

Let $p(h)$ be the probability that one player flips $h$ heads. Splitting according to the two fair coins and the biased coin, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Jackie's and Phil's flips are independent with the same distribution, so the probability that their head counts agree is $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 123 + 392 = 515.$

5.

Los enteros positivos $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ satisfacen $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ y $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Halle el número de valores posibles de $a.$

Positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ satisfy $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ and $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Find the number of possible values of $a.$

Respuesta

Respuesta: 501

Conceptos:diferencia de cuadrados acotación a casos límite conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Factorizando, $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}$ ya que $a - b \ge 1$ y $c - d \ge 1.$ Se cumple la igualdad, así que $a - b = c - d = 1,$ es decir, $b = a - 1$ y $d = c - 1.$ Entonces $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ da $a + c = 1006.$

La condición $b \gt c$ significa $a - 1 \gt c = 1006 - a,$ así que $a \ge 504,$ y $d \ge 1$ significa $c \ge 2,$ así que $a \le 1004.$ Todo $a$ en este rango funciona, mediante $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a).$

El conteo es $1004 - 504 + 1 = 501.$

Factoring, $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}$ since $a - b \ge 1$ and $c - d \ge 1.$ Equality holds, so $a - b = c - d = 1,$ that is, $b = a - 1$ and $d = c - 1.$ Then $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ gives $a + c = 1006.$

The condition $b \gt c$ means $a - 1 \gt c = 1006 - a,$ so $a \ge 504,$ and $d \ge 1$ means $c \ge 2,$ so $a \le 1004.$ Every $a$ in this range works, via $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a).$

The count is $1004 - 504 + 1 = 501.$

6.

Sea $P(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes reales que satisface $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$ para todos los números reales $x,$ y suponga que $P(11) = 181.$ Halle $P(16).$

Let $P(x)$ be a quadratic polynomial with real coefficients satisfying $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$ for all real numbers $x,$ and suppose $P(11) = 181.$ Find $P(16).$

Respuesta

Respuesta: 406

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado polinomio

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Completando el cuadrado, la condición queda $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$ En $x = 1$ ambas cotas valen $1,$ así que $P(1) = 1.$ La cuadrática $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ es no negativa para todo $x$ y se anula en $x = 1,$ así que $x = 1$ es una raíz doble: $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ para alguna constante $a.$

De $P(11) = 100a + 1 = 181$ obtenemos $a = \frac{9}{5}.$ Entonces $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

Completing the square, the condition reads $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$ At $x = 1$ both bounds equal $1,$ so $P(1) = 1.$ The quadratic $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ is nonnegative for all $x$ and vanishes at $x = 1,$ so $x = 1$ is a double root: $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ for some constant $a.$

From $P(11) = 100a + 1 = 181$ we get $a = \frac{9}{5}.$ Then $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

7.

Se dice que una terna ordenada $(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})$ de conjuntos es mínimamente intersecante si $|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}| = |\mathcal{B} \cap \mathcal{C}| = |\mathcal{C} \cap \mathcal{A}| = 1$ y $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset.$ Por ejemplo, $(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3, 4\})$ es una terna mínimamente intersecante. Sea $N$ el número de ternas ordenadas mínimamente intersecantes de conjuntos para las que cada conjunto es un subconjunto de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.$ Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Nota: $|\mathcal{S}|$ representa el número de elementos en el conjunto $\mathcal{S}.$

Define an ordered triple $(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})$ of sets to be minimally intersecting if $|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}| = |\mathcal{B} \cap \mathcal{C}| = |\mathcal{C} \cap \mathcal{A}| = 1$ and $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset.$ For example, $(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3, 4\})$ is a minimally intersecting triple. Let $N$ be the number of minimally intersecting ordered triples of sets for which each set is a subset of $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Note: $|\mathcal{S}|$ represents the number of elements in the set $\mathcal{S}.$

Respuesta

Respuesta: 760

Conceptos:Diagrama de Venn principio de multiplicación subconjuntos

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Escriba $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \{x\},$ $\mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \{y\},$ y $\mathcal{C} \cap \mathcal{A} = \{z\}.$ Como $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset,$ los elementos $x,$ $y,$ $z$ son distintos, y pueden elegirse de $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ maneras.

Cada uno de los $4$ elementos restantes no debe crear más intersecciones por pares, así que puede pertenecer a exactamente uno de $\mathcal{A},$ $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ o a ninguno de ellos: $4$ opciones cada uno, para $4^4 = 256$ asignaciones.

Por lo tanto, $N = 210 \cdot 256 = 53760,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $760.$

Write $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \{x\},$ $\mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \{y\},$ and $\mathcal{C} \cap \mathcal{A} = \{z\}.$ Since $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset,$ the elements $x,$ $y,$ $z$ are distinct, and they can be chosen in $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ ways.

Each of the remaining $4$ elements must not create any further pairwise intersections, so it can belong to exactly one of $\mathcal{A},$ $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ or to none of them: $4$ choices each, for $4^4 = 256$ assignments.

Hence $N = 210 \cdot 256 = 53760,$ and the remainder upon division by $1000$ is $760.$

8.

Para un número real $a,$ sea $\lfloor a \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $a.$ Sea $\mathcal{R}$ la región del plano coordenado formada por los puntos $(x, y)$ tales que $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$ La región $\mathcal{R}$ está completamente contenida en un disco de radio $r$ (un disco es la unión de un círculo y su interior). El valor mínimo de $r$ puede escribirse como $\frac{\sqrt{m}}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros y $m$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

For a real number $a,$ let $\lfloor a \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $a.$ Let $\mathcal{R}$ denote the region in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$ The region $\mathcal{R}$ is completely contained in a disk of radius $r$ (a disk is the union of a circle and its interior). The minimum value of $r$ can be written as $\frac{\sqrt{m}}{n},$ where $m$ and $n$ are integers and $m$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 132

Conceptos:funciones piso y techo punto reticular fórmula de la distancia simetría

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Como $\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor y \rfloor$ son enteros cuyos cuadrados suman $25,$ el par $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ es uno de los $12$ pares $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ Así que $\mathcal{R}$ es la unión de los $12$ cuadrados unitarios cuyas esquinas inferiores izquierdas son estos puntos.

La aplicación $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permuta estos cuadrados, así que $\mathcal{R}$ es simétrica bajo una rotación de $180^\circ$ alrededor de $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ El disco de encierro mínimo es único, así que su centro debe ser $Q.$ Los puntos de $\mathcal{R}$ más lejanos de $Q$ son esquinas de cuadrados como $A = (4, 5)$ y $B = (5, 4),$ a distancia $\sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{130}}{2};$ revisar los doce cuadrados confirma que ninguna esquina está más lejos.

Por lo tanto, el radio mínimo es $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ y $m + n = 130 + 2 = 132.$

Since $\lfloor x \rfloor$ and $\lfloor y \rfloor$ are integers whose squares sum to $25,$ the pair $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ is one of the $12$ pairs $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ So $\mathcal{R}$ is the union of the $12$ unit squares whose lower-left corners are these points.

The map $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permutes these squares, so $\mathcal{R}$ is symmetric under $180^\circ$ rotation about $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ The smallest enclosing disk is unique, so its center must be $Q.$ The farthest points of $\mathcal{R}$ from $Q$ are square corners such as $A = (4, 5)$ and $B = (5, 4),$ at distance $\sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{130}}{2};$ checking all twelve squares confirms no corner is farther.

Hence the minimum radius is $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ and $m + n = 130 + 2 = 132.$

9.

Sea $(a, b, c)$ una solución real del sistema de ecuaciones $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$ El mayor valor posible de $a^3 + b^3 + c^3$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $(a, b, c)$ be a real solution of the system of equations $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$ The greatest possible value of $a^3 + b^3 + c^3$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 158

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 2740

Solución:

Sumar $xyz$ a cada ecuación da $x^3 = 2 + xyz,$ $y^3 = 6 + xyz,$ y $z^3 = 20 + xyz.$ Sea $P = xyz.$ Multiplicar las tres ecuaciones produce $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$ así que $28P^2 + 172P + 240 = 0,$ es decir, $7P^2 + 43P + 60 = 0,$ cuyas raíces son $P = -\frac{15}{7}$ y $P = -4.$ Cada raíz es alcanzable: las raíces cúbicas de $2 + P,$ $6 + P,$ $20 + P$ entonces sí tienen producto $P.$

Sumando las ecuaciones originales, $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,$ que se maximiza con la raíz mayor $P = -\frac{15}{7}:$ $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$ Por lo tanto, $m + n = 151 + 7 = 158.$

Adding $xyz$ to each equation gives $x^3 = 2 + xyz,$ $y^3 = 6 + xyz,$ and $z^3 = 20 + xyz.$ Let $P = xyz.$ Multiplying the three equations yields $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$ so $28P^2 + 172P + 240 = 0,$ i.e. $7P^2 + 43P + 60 = 0,$ whose roots are $P = -\frac{15}{7}$ and $P = -4.$ Each root is achievable: the cube roots of $2 + P,$ $6 + P,$ $20 + P$ then really do have product $P.$

Adding the original equations, $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,$ which is maximized by the larger root $P = -\frac{15}{7}:$ $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$ Thus $m + n = 151 + 7 = 158.$

10.

Sea $N$ el número de maneras de escribir $2010$ en la forma $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$ donde los $a_i$ son enteros, y $0 \le a_i \le 99.$ Un ejemplo de tal representación es $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Halle $N.$

Let $N$ be the number of ways to write $2010$ in the form $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$ where the $a_i$ 's are integers, and $0 \le a_i \le 99.$ An example of such a representation is $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Find $N.$

Respuesta

Respuesta: 202

Conceptos:base numérica dígitos biyección

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Escriba cada coeficiente como $a_i = 10b_i + c_i$ con dígitos $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};$ todo entero $0 \le a_i \le 99$ se divide así de manera única. Poniendo $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ y $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ (leídos como números en base $10$ ), la condición se convierte en $2010 = 10m + n.$

Recíprocamente, cualesquiera enteros no negativos $m, n$ con $10m + n = 2010$ satisfacen $m \le 201$ y $n \le 2010,$ así que cada uno tiene a lo sumo cuatro dígitos; esos dígitos recuperan los $b_i$ y $c_i,$ y por tanto los $a_i.$ Así que las representaciones corresponden exactamente a elecciones de $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ con $n = 2010 - 10m,$ y $N = 202.$

Write each coefficient as $a_i = 10b_i + c_i$ with digits $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};$ every integer $0 \le a_i \le 99$ splits this way uniquely. Setting $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ and $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ (read as base- $10$ numbers), the condition becomes $2010 = 10m + n.$

Conversely, any nonnegative integers $m, n$ with $10m + n = 2010$ satisfy $m \le 201$ and $n \le 2010,$ so each has at most four digits; those digits recover the $b_i$ and $c_i,$ hence the $a_i.$ So representations correspond exactly to choices of $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ with $n = 2010 - 10m,$ and $N = 202.$

11.

Sea $\mathcal{R}$ la región formada por el conjunto de puntos del plano coordenado que satisfacen a la vez $|8 - x| + y \le 10$ y $3y - x \ge 15.$ Cuando $\mathcal{R}$ se hace girar alrededor de la recta cuya ecuación es $3y - x = 15,$ el volumen del sólido resultante es $\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos entre sí, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n + p.$

Let $\mathcal{R}$ be the region consisting of the set of points in the coordinate plane that satisfy both $|8 - x| + y \le 10$ and $3y - x \ge 15.$ When $\mathcal{R}$ is revolved around the line whose equation is $3y - x = 15,$ the volume of the resulting solid is $\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Respuesta: 365

Conceptos:volumen cono geometría analítica

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

La condición $|8 - x| + y \le 10$ significa $y \le x + 2$ para $x \le 8$ y $y \le 18 - x$ para $x \ge 8.$ Al intersecar con el semiplano $3y - x \ge 15$ queda el triángulo con vértices $A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)$ y $B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)$ sobre la recta $3y - x = 15,$ y ápice $C = (8, 10).$

El lado $AB$ está sobre el eje de revolución, y el pie $D$ de la perpendicular desde $C$ a la recta, a saber $(8.7, 7.9),$ está entre $A$ y $B.$ Así que el sólido son dos conos que comparten una base de radio $CD$ con alturas que suman $AB,$ y su volumen es $\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.$ Aquí $\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}$

El volumen es $\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},$ así que $m + n + p = 343 + 12 + 10$ $= 365.$

The condition $|8 - x| + y \le 10$ means $y \le x + 2$ for $x \le 8$ and $y \le 18 - x$ for $x \ge 8.$ Intersecting with the half-plane $3y - x \ge 15$ leaves the triangle with vertices $A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)$ and $B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)$ on the line $3y - x = 15,$ and apex $C = (8, 10).$

Side $AB$ lies on the axis of revolution, and the foot $D$ of the perpendicular from $C$ to the line, namely $(8.7, 7.9),$ lies between $A$ and $B.$ So the solid is two cones sharing a base of radius $CD$ with heights summing to $AB,$ and its volume is $\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.$ Here $\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}$

The volume is $\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},$ so $m + n + p = 343 + 12 + 10$ $= 365.$

12.

Sea $m \ge 3$ un entero y sea $S = \{3, 4, 5, \ldots, m\}.$ Halle el menor valor de $m$ tal que para toda partición de $S$ en dos subconjuntos, al menos uno de los subconjuntos contiene enteros $a,$ $b,$ y $c$ (no necesariamente distintos) tales que $ab = c.$

Nota: una partición de $S$ es un par de conjuntos $A,$ $B$ tales que $A \cap B = \emptyset$ y $A \cup B = S.$

Let $m \ge 3$ be an integer and let $S = \{3, 4, 5, \ldots, m\}.$ Find the smallest value of $m$ such that for every partition of $S$ into two subsets, at least one of the subsets contains integers $a,$ $b,$ and $c$ (not necessarily distinct) such that $ab = c.$

Note: a partition of $S$ is a pair of sets $A,$ $B$ such that $A \cap B = \emptyset$ and $A \cup B = S.$

Respuesta

Respuesta: 243

Conceptos:deducción lógica argumento extremal

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Primero, $m = 243$ funciona. Suponga que $S = \{3, 4, \ldots, 243\}$ se particiona en $T$ y $U$ sin que ninguno contenga un producto, y digamos que $3 \in T.$ Entonces $9 = 3 \cdot 3$ debe estar en $U,$ así que $81 = 9 \cdot 9$ debe estar en $T,$ y luego $243 = 3 \cdot 81$ debe estar en $U.$ Ahora considere $27:$ si $27 \in T,$ entonces $3 \cdot 27 = 81$ pone un producto en $T;$ si $27 \in U,$ entonces $9 \cdot 27 = 243$ pone uno en $U.$ En cualquier caso llegamos a una contradicción.

Para $m = 242,$ la partición $T = \{3, \ldots, 8\} \cup \{81, \ldots, 242\}$ y $U = \{9, \ldots, 80\}$ evita productos: dos elementos de $\{3, \ldots, 8\}$ se multiplican dando algo en $[9, 64] \subseteq U,$ cualquier producto que involucre un elemento de $\{81, \ldots, 242\}$ es al menos $3 \cdot 81 = 243 \gt 242,$ y dos elementos de $U$ se multiplican dando al menos $81 \gt 80.$

Por lo tanto, el menor $m$ con esta propiedad es $243.$

First, $m = 243$ works. Suppose $S = \{3, 4, \ldots, 243\}$ were partitioned into $T$ and $U$ with neither containing a product, and say $3 \in T.$ Then $9 = 3 \cdot 3$ must lie in $U,$ so $81 = 9 \cdot 9$ must lie in $T,$ and then $243 = 3 \cdot 81$ must lie in $U.$ Now consider $27:$ if $27 \in T,$ then $3 \cdot 27 = 81$ puts a product in $T;$ if $27 \in U,$ then $9 \cdot 27 = 243$ puts one in $U.$ Either way we reach a contradiction.

For $m = 242,$ the partition $T = \{3, \ldots, 8\} \cup \{81, \ldots, 242\}$ and $U = \{9, \ldots, 80\}$ avoids products: two elements of $\{3, \ldots, 8\}$ multiply to something in $[9, 64] \subseteq U,$ any product involving an element of $\{81, \ldots, 242\}$ is at least $3 \cdot 81 = 243 \gt 242,$ and two elements of $U$ multiply to at least $81 \gt 80.$

Hence the smallest such $m$ is $243.$

13.

El rectángulo $ABCD$ y un semicírculo de diámetro $\overline{AB}$ son coplanares y tienen interiores que no se traslapan. Sea $\mathcal{R}$ la región encerrada por el semicírculo y el rectángulo. La recta $\ell$ corta al semicírculo, al segmento $\overline{AB},$ y al segmento $\overline{CD}$ en puntos distintos $N,$ $U,$ y $T,$ respectivamente. La recta $\ell$ divide la región $\mathcal{R}$ en dos regiones con áreas en razón $1 : 2.$ Suponga que $AU = 84,$ $AN = 126,$ y $UB = 168.$ Entonces $DA$ puede representarse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

Rectangle $ABCD$ and a semicircle with diameter $\overline{AB}$ are coplanar and have nonoverlapping interiors. Let $\mathcal{R}$ denote the region enclosed by the semicircle and the rectangle. Line $\ell$ meets the semicircle, segment $\overline{AB},$ and segment $\overline{CD}$ at distinct points $N,$ $U,$ and $T,$ respectively. Line $\ell$ divides region $\mathcal{R}$ into two regions with areas in the ratio $1 : 2.$ Suppose that $AU = 84,$ $AN = 126,$ and $UB = 168.$ Then $DA$ can be represented as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 69

Conceptos:sector circular descomposición de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Aquí $AB = 84 + 168 = 252,$ así que el semicírculo tiene centro $O$ (el punto medio de $\overline{AB}$ ) y radio $126.$ Como $AN = AO = ON = 126,$ el triángulo $AON$ es equilátero, así que $\angle AON = 60^\circ$ y el sector $AON$ es exactamente un tercio del semicírculo. Del mismo modo, si $Q$ es el pie de la perpendicular desde $U$ a $\overline{DC},$ entonces $AU : UB = 1 : 2$ hace que el rectángulo $AUQD$ sea un tercio del rectángulo $ABCD.$

La parte de $\mathcal{R}$ del lado de $A$ respecto de $\ell$ es igual a (sector $AON$ ) $-$ $[NUO]$ $+$ (rectángulo $AUQD$ ) $+$ $[UQT].$ Como esto debe ser un tercio de $\mathcal{R},$ necesitamos $[NUO] = [UQT].$ Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $N$ a $\overline{AB}.$ En el triángulo $30$ - $60$ - $90$ $NOP,$ $OP = 63$ y $NP = 63\sqrt{3},$ así que $UP = 84 - 63 = 21$ y $UO = 126 - 84 = 42.$ Los triángulos $NUP$ y $TUQ$ son triángulos rectángulos semejantes (ángulos opuestos por el vértice en $U$ ), así que $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$ esto último porque ambos triángulos tienen altura $NP$ sobre las bases $UO$ y $UP.$

Igualar las áreas de los dos triángulos da $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,$ así que $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$ y $m + n = 63 + 6 = 69.$

Here $AB = 84 + 168 = 252,$ so the semicircle has center $O$ (the midpoint of $\overline{AB}$ ) and radius $126.$ Since $AN = AO = ON = 126,$ triangle $AON$ is equilateral, so $\angle AON = 60^\circ$ and sector $AON$ is exactly one third of the semicircle. Likewise, if $Q$ is the foot of the perpendicular from $U$ to $\overline{DC},$ then $AU : UB = 1 : 2$ makes rectangle $AUQD$ one third of rectangle $ABCD.$

The part of $\mathcal{R}$ on the $A$ -side of $\ell$ equals (sector $AON$ ) $-$ $[NUO]$ $+$ (rectangle $AUQD$ ) $+$ $[UQT].$ Since this must be one third of $\mathcal{R},$ we need $[NUO] = [UQT].$ Let $P$ be the foot of the perpendicular from $N$ to $\overline{AB}.$ In the $30$ - $60$ - $90$ triangle $NOP,$ $OP = 63$ and $NP = 63\sqrt{3},$ so $UP = 84 - 63 = 21$ and $UO = 126 - 84 = 42.$ Triangles $NUP$ and $TUQ$ are similar right triangles (vertical angles at $U$ ), so $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$ the latter because both triangles have height $NP$ over bases $UO$ and $UP.$

Setting the two triangle areas equal gives $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,$ so $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$ and $m + n = 63 + 6 = 69.$

14.

Para cada entero positivo $n,$ sea $f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.$ Halle el mayor valor de $n$ para el cual $f(n) \le 300.$

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$

For each positive integer $n,$ let $f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.$ Find the largest value of $n$ for which $f(n) \le 300.$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo dígitos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Cada término $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ es no decreciente en $n,$ así que $f$ es no decreciente y solo ubicamos dónde supera $300.$ Para $n = 100:$ los productos $kn$ van de $100$ a $10^4,$ dando $\lfloor \log_{10} \rfloor = 2$ para $k \le 9,$ $3$ para $10 \le k \le 99,$ y $4$ para $k = 100,$ así que $f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3$ $+ 4 = 292.$

Para $n = 109:$ como $9 \cdot 109 = 981 \lt 1000$ y $91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,$ los términos son $2$ para $k \le 9,$ $3$ para $10 \le k \le 91,$ y $4$ para $92 \le k \le 100:$ $\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}$ Para $n = 110:$ ahora $91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,$ así que diez términos valen $4$ y $f(110) = 18 + 81 \cdot 3$ $+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.$

Por monotonía, el mayor $n$ válido es $109.$

Each term $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ is nondecreasing in $n,$ so $f$ is nondecreasing and we just locate where it passes $300.$ For $n = 100:$ the products $kn$ run from $100$ to $10^4,$ giving $\lfloor \log_{10} \rfloor = 2$ for $k \le 9,$ $3$ for $10 \le k \le 99,$ and $4$ for $k = 100,$ so $f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3$ $+ 4 = 292.$

For $n = 109:$ since $9 \cdot 109 = 981 \lt 1000$ and $91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,$ the terms are $2$ for $k \le 9,$ $3$ for $10 \le k \le 91,$ and $4$ for $92 \le k \le 100:$ $\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}$ For $n = 110:$ now $91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,$ so ten terms equal $4$ and $f(110) = 18 + 81 \cdot 3$ $+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.$

By monotonicity, the largest valid $n$ is $109.$

15.

En $\triangle ABC$ con $AB = 12,$ $BC = 13,$ y $AC = 15,$ sea $M$ un punto sobre $\overline{AC}$ tal que los círculos inscritos de $\triangle ABM$ y $\triangle BCM$ tienen radios iguales. Sean $p$ y $q$ enteros positivos primos entre sí tales que $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.$ Halle $p + q.$

In $\triangle ABC$ with $AB = 12,$ $BC = 13,$ and $AC = 15,$ let $M$ be a point on $\overline{AC}$ such that the incircles of $\triangle ABM$ and $\triangle BCM$ have equal radii. Let $p$ and $q$ be positive relatively prime integers such that $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.$ Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 45

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Stewart razón de áreas

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Sea $k = \frac{AM}{CM}.$ Los triángulos $ABM$ y $CBM$ comparten la altura desde $B,$ así que $\frac{[ABM]}{[CBM]} = k.$ Como el radio inscrito de un triángulo es su área dividida entre su semiperímetro, radios inscritos iguales también obligan a $\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k$ . De $AM + CM = 15$ obtenemos $AM = \frac{15k}{k+1}$ y $CM = \frac{15}{k+1};$ como $AM = k \cdot CM,$ la ecuación de perímetros se simplifica a $BM(1 - k) = 13k - 12,$ así que $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$ y $BM \gt 0$ obliga a $\frac{12}{13} \lt k \lt 1.$

El teorema de Stewart sobre la ceviana $\overline{BM}$ da $AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM$ $= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right),$ así que $\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}$ Igualar esto a $\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}$ y quitar denominadores produce $(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2$ $= (13k-12)^2(k+1)^2,$ que se simplifica a $4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0.$

Las raíces son $k = 0,$ $k = \frac{2}{3},$ y $k = \frac{22}{23},$ y solo $k = \frac{22}{23}$ supera $\frac{12}{13}$ (entonces $AM = \frac{22}{3},$ $CM = \frac{23}{3},$ $BM = 10$ ). Por lo tanto, $p + q = 22 + 23 = 45.$

Let $k = \frac{AM}{CM}.$ Triangles $ABM$ and $CBM$ share the altitude from $B,$ so $\frac{[ABM]}{[CBM]} = k.$ Since the inradius of a triangle is its area divided by its semiperimeter, equal inradii force $\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k$ as well. From $AM + CM = 15$ we get $AM = \frac{15k}{k+1}$ and $CM = \frac{15}{k+1};$ since $AM = k \cdot CM,$ the perimeter equation simplifies to $BM(1 - k) = 13k - 12,$ so $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$ and $BM \gt 0$ forces $\frac{12}{13} \lt k \lt 1.$

Stewart's theorem on cevian $\overline{BM}$ gives $AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM$ $= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right),$ so $\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}$ Setting this equal to $\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}$ and clearing denominators yields $(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2$ $= (13k-12)^2(k+1)^2,$ which simplifies to $4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0.$

The roots are $k = 0,$ $k = \frac{2}{3},$ and $k = \frac{22}{23},$ and only $k = \frac{22}{23}$ exceeds $\frac{12}{13}$ (then $AM = \frac{22}{3},$ $CM = \frac{23}{3},$ $BM = 10$ ). Hence $p + q = 22 + 23 = 45.$

Problemas del 2010 AIME I

Respuesta: 107

Solución:

Respuesta: 109

Solución:

Respuesta: 529

Solución:

Respuesta: 515

Solución:

Respuesta: 501

Solución:

Respuesta: 406

Solución:

Respuesta: 760

Solución:

Respuesta: 132

Solución:

Respuesta: 158

Solución:

Respuesta: 202

Solución:

Respuesta: 365

Solución:

Respuesta: 243

Solución:

Respuesta: 69

Solución:

Respuesta: 109

Solución:

Respuesta: 45

Solución: