2010 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Maya enumera todos los divisores positivos de

2010^2.

Luego selecciona al azar dos divisores distintos de esta lista. Sea

p

la probabilidad de que exactamente uno de los divisores seleccionados sea un cuadrado perfecto. La probabilidad

p

puede expresarse en la forma

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Maya lists all the positive divisors of

2010^2.

She then randomly selects two distinct divisors from this list. Let

p

be the probability that exactly one of the selected divisors is a perfect square. The probability

p

can be expressed in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 107

Conceptos:conteo de factores cuadrado perfecto probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Factorice

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2:

tiene

3^4 = 81

divisores

Factor

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2:

it has

3^4 = 81

divisors

Pista grande:

Un divisor es un cuadrado perfecto exactamente cuando los cuatro exponentes son pares, así que

2^4 = 16

de los divisores son cuadrados. Cuente los pares que usan un cuadrado y un no cuadrado.

A divisor is a perfect square exactly when all four exponents are even, so

2^4 = 16

of the divisors are squares. Count pairs using one square and one non-square.

Solución:

Como

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,

tiene

(2 + 1)^4 = 81

divisores positivos. Un divisor es un cuadrado perfecto exactamente cuando cada uno de sus cuatro exponentes es

0

o

2,

lo que da

2^4 = 16

cuadrados perfectos y

81 - 16 = 65

no cuadrados.

La probabilidad de elegir uno de cada tipo es

p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},

así que

m + n = 26 + 81 = 107.

Since

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,

it has

(2 + 1)^4 = 81

positive divisors. A divisor is a perfect square exactly when each of its four exponents is

0

or

2,

giving

2^4 = 16

perfect squares and

81 - 16 = 65

non-squares.

The probability of picking one of each is

p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},

so

m + n = 26 + 81 = 107.

2.

Halle el residuo al dividir

9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nueves}}

entre

1000.

Find the remainder when

9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nines}}

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras

9

, así que es

\equiv -1 \pmod{1000}

Every factor from the third one on ends in at least three

9

s, so it is

\equiv -1 \pmod{1000}

Pista grande:

Cuente cuántos factores son

\equiv -1 \pmod{1000}

y determine si ese número es par o impar; solo queda calcular

9 \cdot 99

Count how many factors are

\equiv -1 \pmod{1000}

and check whether that count is odd or even; only

9 \cdot 99

remains to compute

Solución:

Trabaje módulo

1000.

Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras

9

, así que cada uno es

\equiv -1 \pmod{1000}.

Hay

999

factores en total, de modo que

997

de ellos son

\equiv -1.

Por lo tanto, el producto satisface

\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}

así que el residuo es

109.

Work modulo

1000.

Every factor from the third one on ends in at least three

9

s, so each is

\equiv -1 \pmod{1000}.

There are

999

factors in all, hence

997

of them are

\equiv -1.

The product is therefore

\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}

so the remainder is

109.

3.

Suponga que

y = \frac{3}{4}x

y

x^y = y^x.

La cantidad

x + y

puede expresarse como un número racional

\frac{r}{s},

donde

r

y

s

son enteros positivos primos entre sí. Halle

r + s.

Suppose that

y = \frac{3}{4}x

and

x^y = y^x.

The quantity

x + y

can be expressed as a rational number

\frac{r}{s},

where

r

and

s

are relatively prime positive integers. Find

r + s.

Respuesta

Respuesta: 529

Conceptos:exponente sustitución

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Sustituya

y = \frac{3}{4}x

en

x^y = y^x

y tome la raíz

x

-ésima de ambos lados

Substitute

y = \frac{3}{4}x

into

x^y = y^x

and take

x

th roots of both sides

Pista grande:

La ecuación se convierte en

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

así que

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

lo que da

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4

The equation becomes

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

so

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

which gives

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4

Solución:

Sustituir

y = \frac{3}{4}x

en

x^y = y^x

da

x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.

Tomando raíces

x

-ésimas (las cantidades aquí son positivas),

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

así que al dividir entre

x

se obtiene

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

es decir,

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.

Entonces

y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},

y

x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.

Como

\gcd(448, 81) = 1,

la respuesta es

448 + 81 = 529.

Substituting

y = \frac{3}{4}x

into

x^y = y^x

gives

x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.

Taking

x

th roots (the quantities here are positive),

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

so dividing by

x

yields

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

that is,

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.

Then

y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},

and

x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.

Since

\gcd(448, 81) = 1,

the answer is

448 + 81 = 529.

4.

Jackie y Phil tienen dos monedas justas y una tercera moneda que sale cara con probabilidad

\frac{4}{7}.

Jackie lanza las tres monedas y luego Phil lanza las tres monedas. Sea

\frac{m}{n}

la probabilidad de que Jackie obtenga el mismo número de caras que Phil, donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Jackie and Phil have two fair coins and a third coin that comes up heads with probability

\frac{4}{7}.

Jackie flips the three coins, and then Phil flips the three coins. Let

\frac{m}{n}

be the probability that Jackie gets the same number of heads as Phil, where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 515

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Calcule la probabilidad de que un jugador saque

0,

1,

2,

3

caras; las cuatro tienen denominador

28

Compute the probability that one player flips

0,

1,

2,

3

heads; all four have denominator

28

Pista grande:

Los dos jugadores son independientes e idénticos, así que la probabilidad de que coincidan es la suma de los cuadrados de esas cuatro probabilidades

The two players are independent and identical, so the probability they match is the sum of the squares of those four probabilities

Solución:

Sea

p(h)

la probabilidad de que un jugador saque

h

caras. Separando según las dos monedas justas y la moneda sesgada,

\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}

Los lanzamientos de Jackie y Phil son independientes y con la misma distribución, así que la probabilidad de que sus conteos de caras coincidan es

\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}

Por lo tanto,

m + n = 123 + 392 = 515.

Let

p(h)

be the probability that one player flips

h

heads. Splitting according to the two fair coins and the biased coin,

\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}

Jackie’s and Phil’s flips are independent with the same distribution, so the probability that their head counts agree is

\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}

Thus

m + n = 123 + 392 = 515.

5.

Los enteros positivos

a,

b,

c,

y

d

satisfacen

a \gt b \gt c \gt d,

a + b + c + d = 2010,

y

a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.

Halle el número de valores posibles de

a.

Positive integers

a,

b,

c,

and

d

satisfy

a \gt b \gt c \gt d,

a + b + c + d = 2010,

and

a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.

Find the number of possible values of

a.

Respuesta

Respuesta: 501

Conceptos:diferencia de cuadrados acotación a casos límite conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Factorice:

a^2 - b^2 + c^2 - d^2

= (a-b)(a+b)

+ (c-d)(c+d)

\ge (a+b) + (c+d)

Factor:

a^2 - b^2 + c^2 - d^2

= (a-b)(a+b)

+ (c-d)(c+d)

\ge (a+b) + (c+d)

Pista grande:

La igualdad obliga a

a - b = c - d = 1,

así que

a + c = 1006;

luego halle el rango de

a

permitido por

b \gt c

y

d \ge 1

Equality forces

a - b = c - d = 1,

so

a + c = 1006;

then find the range of

a

allowed by

b \gt c

and

d \ge 1

Solución:

Factorizando,

\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}

ya que

a - b \ge 1

y

c - d \ge 1.

Se cumple la igualdad, así que

a - b = c - d = 1,

es decir,

b = a - 1

y

d = c - 1.

Entonces

2010 = a + (a-1) + c + (c-1)

da

a + c = 1006.

La condición

b \gt c

significa

a - 1 \gt c = 1006 - a,

así que

a \ge 504,

y

d \ge 1

significa

c \ge 2,

así que

a \le 1004.

Todo

a

en este rango funciona, mediante

(a, b, c, d)

= (a,\, a-1,\,

1006-a,\, 1005-a).

El conteo es

1004 - 504 + 1 = 501.

Factoring,

\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}

since

a - b \ge 1

and

c - d \ge 1.

Equality holds, so

a - b = c - d = 1,

that is,

b = a - 1

and

d = c - 1.

Then

2010 = a + (a-1) + c + (c-1)

gives

a + c = 1006.

The condition

b \gt c

means

a - 1 \gt c = 1006 - a,

so

a \ge 504,

and

d \ge 1

means

c \ge 2,

so

a \le 1004.

Every

a

in this range works, via

(a, b, c, d)

= (a,\, a-1,\,

1006-a,\, 1005-a).

The count is

1004 - 504 + 1 = 501.

6.

Sea

P(x)

un polinomio cuadrático con coeficientes reales que satisface

\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}

para todos los números reales

x,

y suponga que

P(11) = 181.

Halle

P(16).

Let

P(x)

be a quadratic polynomial with real coefficients satisfying

\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}

for all real numbers

x,

and suppose

P(11) = 181.

Find

P(16).

Respuesta

Respuesta: 406

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado polinomio

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Complete el cuadrado: ambas cuadráticas de cota valen

(x-1)^2 + 1

y

2(x-1)^2 + 1,

con vértice común

(1, 1)

Complete the square: both bounding quadratics equal

(x-1)^2 + 1

and

2(x-1)^2 + 1,

with common vertex

(1, 1)

Pista grande:

P(x) - (x-1)^2 - 1

es no negativo en todas partes y cero en

x = 1,

así que es

c(x-1)^2;

use

P(11) = 181

para hallar

c

P(x) - (x-1)^2 - 1

is nonnegative everywhere and zero at

x = 1,

so it is

c(x-1)^2;

use

P(11) = 181

to find

c

Solución:

Completando el cuadrado, la condición queda

\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}

En

x = 1

ambas cotas valen

1,

así que

P(1) = 1.

La cuadrática

P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)

es no negativa para todo

x

y se anula en

x = 1,

así que

x = 1

es una raíz doble:

P(x) = a(x-1)^2 + 1

para alguna constante

a.

De

P(11) = 100a + 1 = 181

obtenemos

a = \frac{9}{5}.

Entonces

\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}

Completing the square, the condition reads

\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}

At

x = 1

both bounds equal

1,

so

P(1) = 1.

The quadratic

P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)

is nonnegative for all

x

and vanishes at

x = 1,

so

x = 1

is a double root:

P(x) = a(x-1)^2 + 1

for some constant

a.

From

P(11) = 100a + 1 = 181

we get

a = \frac{9}{5}.

Then

\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}

7.

Se dice que una terna ordenada

(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})

de conjuntos es mínimamente intersecante si

|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}| = |\mathcal{B} \cap \mathcal{C}| = |\mathcal{C} \cap \mathcal{A}| = 1

y

\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset.

Por ejemplo,

(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3, 4\})

es una terna mínimamente intersecante. Sea

N

el número de ternas ordenadas mínimamente intersecantes de conjuntos para las que cada conjunto es un subconjunto de

\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.

Halle el residuo cuando

N

se divide entre

1000.

Nota:

|\mathcal{S}|

representa el número de elementos en el conjunto

\mathcal{S}.

Define an ordered triple

(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})

of sets to be minimally intersecting if

|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}| = |\mathcal{B} \cap \mathcal{C}| = |\mathcal{C} \cap \mathcal{A}| = 1

and

\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset.

For example,

(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3, 4\})

is a minimally intersecting triple. Let

N

be the number of minimally intersecting ordered triples of sets for which each set is a subset of

\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.

Find the remainder when

N

is divided by

1000.

Note:

|\mathcal{S}|

represents the number of elements in the set

\mathcal{S}.

Respuesta

Respuesta: 760

Conceptos:Diagrama de Venn principio de multiplicación subconjuntos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Las tres intersecciones por pares son elementos individuales

x,

y,

z,

que deben ser distintos ya que la intersección triple es vacía

The three pairwise intersections are single elements

x,

y,

z,

which must be distinct since the triple intersection is empty

Pista grande:

Después de colocar

x,

y,

z

de

7 \cdot 6 \cdot 5

maneras, cada elemento restante puede ir a exactamente uno de los tres conjuntos o a ninguno

After placing

x,

y,

z

in

7 \cdot 6 \cdot 5

ways, each remaining element may go into exactly one of the three sets or into none

Solución:

Escriba

\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \{x\},

\mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \{y\},

y

\mathcal{C} \cap \mathcal{A} = \{z\}.

Como

\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset,

los elementos

x,

y,

z

son distintos, y pueden elegirse de

7 \cdot 6 \cdot 5 = 210

maneras.

Cada uno de los

4

elementos restantes no debe crear más intersecciones por pares, así que puede pertenecer a exactamente uno de

\mathcal{A},

\mathcal{B},

\mathcal{C},

o a ninguno de ellos:

4

opciones cada uno, para

4^4 = 256

asignaciones.

Por lo tanto,

N = 210 \cdot 256 = 53760,

y el residuo al dividir entre

1000

es

760.

Write

\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \{x\},

\mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \{y\},

and

\mathcal{C} \cap \mathcal{A} = \{z\}.

Since

\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset,

the elements

x,

y,

z

are distinct, and they can be chosen in

7 \cdot 6 \cdot 5 = 210

ways.

Each of the remaining

4

elements must not create any further pairwise intersections, so it can belong to exactly one of

\mathcal{A},

\mathcal{B},

\mathcal{C},

or to none of them:

4

choices each, for

4^4 = 256

assignments.

Hence

N = 210 \cdot 256 = 53760,

and the remainder upon division by

1000

is

760.

8.

Para un número real

a,

sea

\lfloor a \rfloor

el mayor entero menor o igual que

a.

Sea

\mathcal{R}

la región del plano coordenado formada por los puntos

(x, y)

tales que

\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.

La región

\mathcal{R}

está completamente contenida en un disco de radio

r

(un disco es la unión de un círculo y su interior). El valor mínimo de

r

puede escribirse como

\frac{\sqrt{m}}{n},

donde

m

y

n

son enteros y

m

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle

m + n.

For a real number

a,

let

\lfloor a \rfloor

denote the greatest integer less than or equal to

a.

Let

\mathcal{R}

denote the region in the coordinate plane consisting of points

(x, y)

such that

\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.

The region

\mathcal{R}

is completely contained in a disk of radius

r

(a disk is the union of a circle and its interior). The minimum value of

r

can be written as

\frac{\sqrt{m}}{n},

where

m

and

n

are integers and

m

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 132

Conceptos:funciones piso y techo punto reticular fórmula de la distancia simetría

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)

debe ser uno de los

12

pares de enteros cuyos cuadrados suman

25,

así que

\mathcal{R}

es una unión de

12

cuadrados unitarios

(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)

must be one of the

12

integer pairs with squares summing to

25,

so

\mathcal{R}

is a union of

12

unit squares

Pista grande:

\mathcal{R}

es simétrica respecto de

\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),

así que el mejor disco está centrado ahí; halle la esquina de cuadrado más lejana de ese centro

\mathcal{R}

is symmetric about

\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),

so the best disk is centered there; find the square corner farthest from that center

Solución:

Como

\lfloor x \rfloor

y

\lfloor y \rfloor

son enteros cuyos cuadrados suman

25,

el par

(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)

es uno de los

12

pares

(\pm 5, 0),

(0, \pm 5),

(\pm 3, \pm 4),

(\pm 4, \pm 3).

Por tanto,

\mathcal{R}

es la unión de los

12

cuadrados unitarios cuyas esquinas inferiores izquierdas son esos puntos.

Sea

K

la clausura de

\mathcal{R}.

Todo disco cerrado que contiene a

\mathcal{R}

también contiene a

K,

así que ambos conjuntos tienen el mismo radio mínimo de cobertura. La aplicación

(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)

permuta los cuadrados unitarios cerrados de

K,

por lo que

K

es simétrico bajo una rotación de

180^\circ

alrededor de

Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).

Si

X \in K,

su punto opuesto

X' = 2Q-X

también está en

K.

Todo disco que contiene ambos extremos de

\overline{XX'}

tiene radio al menos

\frac{XX'}{2} = XQ.

Por tanto, ningún disco envolvente puede tener radio menor que la mayor distancia de

Q

a

K.

Esa mayor distancia se alcanza en esquinas como

A = (4, 5)

y

B = (5, 4),

y al revisar las esquinas de los doce cuadrados cerrados se obtiene

\begin{aligned} QA = QB &= \sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{130}}{2}. \end{aligned}

El disco centrado en

Q

con este radio contiene cada cuadrado, así que alcanza la cota inferior.

Por tanto, el radio mínimo es

r = \frac{\sqrt{130}}{2},

y

m + n = 130 + 2 = 132.

Since

\lfloor x \rfloor

and

\lfloor y \rfloor

are integers whose squares sum to

25,

the pair

(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)

is one of the

12

pairs

(\pm 5, 0),

(0, \pm 5),

(\pm 3, \pm 4),

(\pm 4, \pm 3).

So

\mathcal{R}

is the union of the

12

unit squares whose lower-left corners are these points.

Let

K

be the closure of

\mathcal{R}.

Any closed disk containing

\mathcal{R}

also contains

K,

so the two sets have the same minimum enclosing radius. The map

(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)

permutes the closed unit squares in

K,

so

K

is symmetric under

180^\circ

rotation about

Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).

If

X \in K,

its opposite point

X' = 2Q-X

also lies in

K.

Every disk containing both endpoints of

\overline{XX'}

has radius at least

\frac{XX'}{2} = XQ.

Thus no enclosing disk can have radius smaller than the greatest distance from

Q

to

K.

That greatest distance is attained at square corners such as

A = (4, 5)

and

B = (5, 4),

and checking the corners of all twelve closed squares gives

\begin{aligned} QA = QB &= \sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{130}}{2}. \end{aligned}

The disk centered at

Q

with this radius contains every square, so it attains the lower bound.

Hence the minimum radius is

r = \frac{\sqrt{130}}{2},

and

m + n = 130 + 2 = 132.

9.

Sea

(a, b, c)

una solución real del sistema de ecuaciones

\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}

El mayor valor posible de

a^3 + b^3 + c^3

puede escribirse en la forma

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Let

(a, b, c)

be a real solution of the system of equations

\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}

The greatest possible value of

a^3 + b^3 + c^3

can be written in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 158

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 2740

Pista pequeña:

Sume

xyz

a cada ecuación y ponga

P = xyz,

así

x^3 = 2 + P,

y^3 = 6 + P,

z^3 = 20 + P

Add

xyz

to each equation and set

P = xyz,

so

x^3 = 2 + P,

y^3 = 6 + P,

z^3 = 20 + P

Pista grande:

Multiplicar las tres da

P^3 = (2+P)(6+P)(20+P),

que en realidad es una cuadrática en

P;

note que

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P

Multiplying the three gives

P^3 = (2+P)(6+P)(20+P),

which is really a quadratic in

P;

note

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P

Solución:

Sumar

xyz

a cada ecuación da

x^3 = 2 + xyz,

y^3 = 6 + xyz,

y

z^3 = 20 + xyz.

Sea

P = xyz.

Multiplicar las tres ecuaciones produce

\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}

así que

28P^2 + 172P + 240 = 0,

es decir,

7P^2 + 43P + 60 = 0,

cuyas raíces son

P = -\frac{15}{7}

y

P = -4.

Cada raíz es alcanzable: las raíces cúbicas de

2 + P,

6 + P,

20 + P

entonces sí tienen producto

P.

Sumando las ecuaciones originales,

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,

que se maximiza con la raíz mayor

P = -\frac{15}{7}:

a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.

Por lo tanto,

m + n = 151 + 7 = 158.

Adding

xyz

to each equation gives

x^3 = 2 + xyz,

y^3 = 6 + xyz,

and

z^3 = 20 + xyz.

Let

P = xyz.

Multiplying the three equations yields

\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}

so

28P^2 + 172P + 240 = 0,

i.e.

7P^2 + 43P + 60 = 0,

whose roots are

P = -\frac{15}{7}

and

P = -4.

Each root is achievable: the cube roots of

2 + P,

6 + P,

20 + P

then really do have product

P.

Adding the original equations,

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,

which is maximized by the larger root

P = -\frac{15}{7}:

a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.

Thus

m + n = 151 + 7 = 158.

10.

Sea

N

el número de maneras de escribir

2010

en la forma

\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}

donde los

a_i

son enteros, y

0 \le a_i \le 99.

Un ejemplo de tal representación es

1 \cdot 10^3

+ 3 \cdot 10^2

+ 67 \cdot 10^1

+ 40 \cdot 10^0.

Halle

N.

Let

N

be the number of ways to write

2010

in the form

\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}

where the

a_i

’s are integers, and

0 \le a_i \le 99.

An example of such a representation is

1 \cdot 10^3

+ 3 \cdot 10^2

+ 67 \cdot 10^1

+ 40 \cdot 10^0.

Find

N.

Respuesta

Respuesta: 202

Conceptos:base numérica dígitos biyección

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Divida cada coeficiente en dígitos:

a_i = 10 b_i + c_i

con

b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\}

Split each coefficient into digits:

a_i = 10 b_i + c_i

with

b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\}

Pista grande:

Los

b_i

son los dígitos de un número

m

y los

c_i

de un número

n,

y la condición es exactamente

10m + n = 2010;

cuente los

m

posibles

The

b_i

are the digits of a number

m

and the

c_i

of a number

n,

and the condition is exactly

10m + n = 2010;

count the possible

m

Solución:

Escriba cada coeficiente como

a_i = 10b_i + c_i

con dígitos

b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};

todo entero

0 \le a_i \le 99

se descompone así de manera única. Poniendo

m = b_3 b_2 b_1 b_0

y

n = c_3 c_2 c_1 c_0

(leídos como números en base

10

), la condición se convierte en

2010 = 10m + n.

Recíprocamente, cualesquiera enteros no negativos

m, n

con

10m + n = 2010

satisfacen

m \le 201

y

n \le 2010,

así que cada uno tiene a lo sumo cuatro dígitos; esos dígitos recuperan los

b_i

y

c_i,

y por tanto los

a_i.

Así que las representaciones corresponden exactamente a elecciones de

m \in \{0, 1, \ldots, 201\}

con

n = 2010 - 10m,

y

N = 202.

Write each coefficient as

a_i = 10b_i + c_i

with digits

b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};

every integer

0 \le a_i \le 99

splits this way uniquely. Setting

m = b_3 b_2 b_1 b_0

and

n = c_3 c_2 c_1 c_0

(read as base-

10

numbers), the condition becomes

2010 = 10m + n.

Conversely, any nonnegative integers

m, n

with

10m + n = 2010

satisfy

m \le 201

and

n \le 2010,

so each has at most four digits; those digits recover the

b_i

and

c_i,

hence the

a_i.

So representations correspond exactly to choices of

m \in \{0, 1, \ldots, 201\}

with

n = 2010 - 10m,

and

N = 202.

11.

Sea

\mathcal{R}

la región formada por el conjunto de puntos del plano coordenado que satisfacen a la vez

|8 - x| + y \le 10

y

3y - x \ge 15.

Cuando

\mathcal{R}

se hace girar alrededor de la recta cuya ecuación es

3y - x = 15,

el volumen del sólido resultante es

\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},

donde

m,

n,

y

p

son enteros positivos,

m

y

n

son primos entre sí, y

p

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle

m + n + p.

Let

\mathcal{R}

be the region consisting of the set of points in the coordinate plane that satisfy both

|8 - x| + y \le 10

and

3y - x \ge 15.

When

\mathcal{R}

is revolved around the line whose equation is

3y - x = 15,

the volume of the resulting solid is

\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},

where

m,

n,

and

p

are positive integers,

m

and

n

are relatively prime, and

p

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n + p.

Respuesta

Respuesta: 365

Conceptos:volumen cono geometría analítica

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

La región es un triángulo con un lado sobre el eje de revolución

3y - x = 15;

halle sus tres vértices

The region is a triangle with one side on the axis of revolution

3y - x = 15;

find its three vertices

Pista grande:

Al girar se obtienen dos conos que comparten una base: volumen total

\frac{1}{3}\pi\,d^2 \cdot AB,

donde

d

es la distancia del vértice fuera del eje a la recta

Revolving gives two cones sharing a base: total volume

\frac{1}{3}\pi\,d^2 \cdot AB,

where

d

is the distance from the off-axis vertex to the line

Solución:

La condición

|8 - x| + y \le 10

significa

y \le x + 2

para

x \le 8

y

y \le 18 - x

para

x \ge 8.

Al intersecar con el semiplano

3y - x \ge 15

queda el triángulo con vértices

A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)

y

B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)

sobre la recta

3y - x = 15,

y ápice

C = (8, 10).

El lado

AB

está sobre el eje de revolución, y el pie

D

de la perpendicular desde

C

a la recta, a saber

(8.7, 7.9),

está entre

A

y

B.

Así que el sólido está formado por dos conos que comparten una base de radio

CD

y cuyas alturas suman

AB,

y su volumen es

\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.

Aquí

\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}

El volumen es

\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},

así que

m + n + p = 343 + 12 + 10

= 365.

The condition

|8 - x| + y \le 10

means

y \le x + 2

for

x \le 8

and

y \le 18 - x

for

x \ge 8.

Intersecting with the half-plane

3y - x \ge 15

leaves the triangle with vertices

A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)

and

B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)

on the line

3y - x = 15,

and apex

C = (8, 10).

Side

AB

lies on the axis of revolution, and the foot

D

of the perpendicular from

C

to the line, namely

(8.7, 7.9),

lies between

A

and

B.

So the solid is two cones sharing a base of radius

CD

with heights summing to

AB,

and its volume is

\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.

Here

\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}

The volume is

\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},

so

m + n + p = 343 + 12 + 10

= 365.

12.

Sea

m \ge 3

un entero y sea

S = \{3, 4, 5, \ldots, m\}.

Halle el menor valor de

m

tal que para toda partición de

S

en dos subconjuntos, al menos uno de los subconjuntos contiene enteros

a,

b,

y

c

(no necesariamente distintos) tales que

ab = c.

Nota: una partición de

S

es un par de conjuntos

A,

B

tales que

A \cap B = \emptyset

y

A \cup B = S.

Let

m \ge 3

be an integer and let

S = \{3, 4, 5, \ldots, m\}.

Find the smallest value of

m

such that for every partition of

S

into two subsets, at least one of the subsets contains integers

a,

b,

and

c

(not necessarily distinct) such that

ab = c.

Note: a partition of

S

is a pair of sets

A,

B

such that

A \cap B = \emptyset

and

A \cup B = S.

Respuesta

Respuesta: 243

Conceptos:deducción lógica argumento extremal

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pruebe particiones en dos subconjuntos que mantengan separados los números pequeños y sus productos por pares, como separar

\{3, \ldots, 8\}

de

\{9, \ldots, 80\}

Try two-subset partitions that keep small numbers and their pairwise products apart, such as separating

\{3, \ldots, 8\}

from

\{9, \ldots, 80\}

Pista grande:

Para la cota superior, siga las potencias de

3:

una vez que

3

y

9

quedan forzados en subconjuntos distintos, coloque

27

y

81,

y una potencia más crea una contradicción

For the upper bound, follow the powers of

3:

once

3

and

9

are forced into different subsets, place

27

and

81,

and one more power creates a contradiction

Solución:

Primero,

m = 243

funciona. Suponga que

S = \{3, 4, \ldots, 243\}

se particiona en

T

y

U

sin que ninguno contenga un producto, y digamos que

3 \in T.

Entonces

9 = 3 \cdot 3

debe estar en

U,

así que

81 = 9 \cdot 9

debe estar en

T,

y luego

243 = 3 \cdot 81

debe estar en

U.

Ahora considere

27:

si

27 \in T,

entonces

3 \cdot 27 = 81

pone un producto en

T;

si

27 \in U,

entonces

9 \cdot 27 = 243

pone uno en

U.

En cualquier caso llegamos a una contradicción.

Para

m = 242,

la partición

T = \{3, \ldots, 8\} \cup \{81, \ldots, 242\}

y

U = \{9, \ldots, 80\}

evita productos: dos elementos de

\{3, \ldots, 8\}

se multiplican dando algo en

[9, 64] \subseteq U,

cualquier producto que involucre un elemento de

\{81, \ldots, 242\}

es al menos

3 \cdot 81 = 243 \gt 242,

y dos elementos de

U

se multiplican dando al menos

81 \gt 80.

Por lo tanto, el menor

m

con esta propiedad es

243.

First,

m = 243

works. Suppose

S = \{3, 4, \ldots, 243\}

were partitioned into

T

and

U

with neither containing a product, and say

3 \in T.

Then

9 = 3 \cdot 3

must lie in

U,

so

81 = 9 \cdot 9

must lie in

T,

and then

243 = 3 \cdot 81

must lie in

U.

Now consider

27:

if

27 \in T,

then

3 \cdot 27 = 81

puts a product in

T;

if

27 \in U,

then

9 \cdot 27 = 243

puts one in

U.

Either way we reach a contradiction.

For

m = 242,

the partition

T = \{3, \ldots, 8\} \cup \{81, \ldots, 242\}

and

U = \{9, \ldots, 80\}

avoids products: two elements of

\{3, \ldots, 8\}

multiply to something in

[9, 64] \subseteq U,

any product involving an element of

\{81, \ldots, 242\}

is at least

3 \cdot 81 = 243 \gt 242,

and two elements of

U

multiply to at least

81 \gt 80.

Hence the smallest such

m

is

243.

13.

El rectángulo

ABCD

y un semicírculo de diámetro

\overline{AB}

son coplanares y tienen interiores que no se superponen. Sea

\mathcal{R}

la región encerrada por el semicírculo y el rectángulo. La recta

\ell

corta al semicírculo, al segmento

\overline{AB},

y al segmento

\overline{CD}

en puntos distintos

N,

U,

y

T,

respectivamente. La recta

\ell

divide la región

\mathcal{R}

en dos regiones con áreas en razón

1 : 2.

Suponga que

AU = 84,

AN = 126,

y

UB = 168.

Entonces

DA

puede representarse como

m\sqrt{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle

m + n.

Rectangle

ABCD

and a semicircle with diameter

\overline{AB}

are coplanar and have nonoverlapping interiors. Let

\mathcal{R}

denote the region enclosed by the semicircle and the rectangle. Line

\ell

meets the semicircle, segment

\overline{AB},

and segment

\overline{CD}

at distinct points

N,

U,

and

T,

respectively. Line

\ell

divides region

\mathcal{R}

into two regions with areas in the ratio

1 : 2.

Suppose that

AU = 84,

AN = 126,

and

UB = 168.

Then

DA

can be represented as

m\sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 69

Conceptos:sector circular descomposición de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Con

AB = 252,

el centro

O

satisface

AO = ON = AN = 126,

así que el triángulo

AON

es equilátero y el sector

AON

es un tercio del semicírculo

With

AB = 252,

the center

O

satisfies

AO = ON = AN = 126,

so triangle

AON

is equilateral and sector

AON

is one third of the semicircle

Pista grande:

Como

AU:UB = 1:2

divide el rectángulo también en razón

1:2,

los dos triángulos pequeños que

\ell

recorta a cada lado de

\overline{AB}

deben tener áreas iguales

Since

AU:UB = 1:2

splits the rectangle in ratio

1:2

as well, the two small triangles that

\ell

cuts off on either side of

\overline{AB}

must have equal areas

Solución:

Aquí

AB = 84 + 168 = 252,

así que el semicírculo tiene centro

O

(el punto medio de

\overline{AB}

) y radio

126.

Como

AN = AO = ON = 126,

el triángulo

AON

es equilátero, así que

\angle AON = 60^\circ

y el sector

AON

es exactamente un tercio del semicírculo. Del mismo modo, si

Q

es el pie de la perpendicular desde

U

a

\overline{DC},

entonces

AU : UB = 1 : 2

hace que el rectángulo

AUQD

sea un tercio del rectángulo

ABCD.

La parte de

\mathcal{R}

del lado de

A

respecto de

\ell

es igual a (sector

AON

)

-

[NUO]

+

(rectángulo

AUQD

)

+

[UQT].

Como esto debe ser un tercio de

\mathcal{R},

necesitamos

[NUO] = [UQT].

Sea

P

el pie de la perpendicular desde

N

a

\overline{AB}.

En el triángulo

30

-

60

-

90

NOP,

OP = 63

y

NP = 63\sqrt{3},

así que

UP = 84 - 63 = 21

y

UO = 126 - 84 = 42.

Los triángulos

NUP

y

TUQ

son triángulos rectángulos semejantes (ángulos opuestos por el vértice en

U

), así que

\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}

esto último porque ambos triángulos tienen altura

NP

sobre las bases

UO

y

UP.

Igualar las áreas de los dos triángulos da

\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,

así que

\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}

y

m + n = 63 + 6 = 69.

Here

AB = 84 + 168 = 252,

so the semicircle has center

O

(the midpoint of

\overline{AB}

) and radius

126.

Since

AN = AO = ON = 126,

triangle

AON

is equilateral, so

\angle AON = 60^\circ

and sector

AON

is exactly one third of the semicircle. Likewise, if

Q

is the foot of the perpendicular from

U

to

\overline{DC},

then

AU : UB = 1 : 2

makes rectangle

AUQD

one third of rectangle

ABCD.

The part of

\mathcal{R}

on the

A

-side of

\ell

equals (sector

AON

)

-

[NUO]

+

(rectangle

AUQD

)

+

[UQT].

Since this must be one third of

\mathcal{R},

we need

[NUO] = [UQT].

Let

P

be the foot of the perpendicular from

N

to

\overline{AB}.

In the

30

-

60

-

90

triangle

NOP,

OP = 63

and

NP = 63\sqrt{3},

so

UP = 84 - 63 = 21

and

UO = 126 - 84 = 42.

Triangles

NUP

and

TUQ

are similar right triangles (vertical angles at

U

), so

\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}

the latter because both triangles have height

NP

over bases

UO

and

UP.

Setting the two triangle areas equal gives

\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,

so

\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}

and

m + n = 63 + 6 = 69.

14.

Para cada entero positivo

n,

sea

f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.

Halle el mayor valor de

n

para el cual

f(n) \le 300.

Nota:

\lfloor x \rfloor

es el mayor entero menor o igual que

x.

For each positive integer

n,

let

f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.

Find the largest value of

n

for which

f(n) \le 300.

Note:

\lfloor x \rfloor

is the greatest integer less than or equal to

x.

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo dígitos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Cada término

\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor

nunca decrece a medida que

n

crece, así que

f

es no decreciente; calcule

f(100) = 292

como referencia

Each term

\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor

never decreases as

n

grows, so

f

is nondecreasing; compute

f(100) = 292

as a baseline

Pista grande:

Para

n

apenas mayor que

100,

cuente los

k

con

kn \ge 1000

y los

k

con

kn \ge 10000

para ver exactamente cuándo

f(n)

alcanza

300

For

n

slightly above

100,

count the

k

with

kn \ge 1000

and the

k

with

kn \ge 10000

to see exactly when

f(n)

reaches

300

Solución:

Cada término

\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor

es no decreciente en

n,

así que

f

es no decreciente y basta localizar dónde supera

300.

Para

n = 100:

los productos

kn

van de

100

a

10^4,

dando

\lfloor \log_{10} \rfloor = 2

para

k \le 9,

3

para

10 \le k \le 99,

y

4

para

k = 100,

así que

f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3

+ 4 = 292.

Para

n = 109:

como

9 \cdot 109 = 981 \lt 1000

y

91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,

los términos son

2

para

k \le 9,

3

para

10 \le k \le 91,

y

4

para

92 \le k \le 100:

\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}

Para

n = 110:

ahora

91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,

así que diez términos valen

4

y

f(110) = 18 + 81 \cdot 3

+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.

Por monotonía, el mayor

n

válido es

109.

Each term

\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor

is nondecreasing in

n,

so

f

is nondecreasing and we just locate where it passes

300.

For

n = 100:

the products

kn

run from

100

to

10^4,

giving

\lfloor \log_{10} \rfloor = 2

for

k \le 9,

3

for

10 \le k \le 99,

and

4

for

k = 100,

so

f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3

+ 4 = 292.

For

n = 109:

since

9 \cdot 109 = 981 \lt 1000

and

91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,

the terms are

2

for

k \le 9,

3

for

10 \le k \le 91,

and

4

for

92 \le k \le 100:

\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}

For

n = 110:

now

91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,

so ten terms equal

4

and

f(110) = 18 + 81 \cdot 3

+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.

By monotonicity, the largest valid

n

is

109.

15.

En

\triangle ABC

con

AB = 12,

BC = 13,

y

AC = 15,

sea

M

un punto sobre

\overline{AC}

tal que los círculos inscritos de

\triangle ABM

y

\triangle BCM

tienen radios iguales. Sean

p

y

q

enteros positivos primos entre sí tales que

\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.

Halle

p + q.

In

\triangle ABC

with

AB = 12,

BC = 13,

and

AC = 15,

let

M

be a point on

\overline{AC}

such that the incircles of

\triangle ABM

and

\triangle BCM

have equal radii. Let

p

and

q

be positive relatively prime integers such that

\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.

Find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 45

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Stewart razón de áreas

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Escribiendo el área como

K,

tenemos

r = \frac{K}{s}.

Por lo tanto, radios inscritos iguales significan que las áreas y los perímetros de los dos triángulos están en la misma razón, y ambas razones son iguales a

\frac{AM}{CM}

Writing the area as

K,

we have

r = \frac{K}{s}.

Thus equal inradii mean the two triangles’ areas and perimeters are in the same ratio, and both ratios equal

\frac{AM}{CM}

Pista grande:

Ponga

k = \frac{AM}{CM};

la condición de perímetros da

BM = \frac{13k - 12}{1 - k},

y el teorema de Stewart sobre la ceviana

BM

da una segunda expresión para

BM^2

Set

k = \frac{AM}{CM};

the perimeter condition gives

BM = \frac{13k - 12}{1 - k},

and Stewart’s theorem on cevian

BM

gives a second expression for

BM^2

Solución:

Sea

k = \frac{AM}{CM}.

Los triángulos

ABM

y

CBM

comparten la altura desde

B,

así que

\frac{[ABM]}{[CBM]} = k.

Como el radio inscrito de un triángulo es su área dividida entre su semiperímetro, radios inscritos iguales también obligan a

\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k

. De

AM + CM = 15

obtenemos

AM = \frac{15k}{k+1}

y

CM = \frac{15}{k+1};

como

AM = k \cdot CM,

la ecuación de perímetros se simplifica a

BM(1 - k) = 13k - 12,

así que

BM = \frac{13k - 12}{1 - k},

y

BM \gt 0

obliga a

\frac{12}{13} \lt k \lt 1.

El teorema de Stewart sobre la ceviana

\overline{BM}

da

AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM

= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right),

así que

\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}

Igualar esto a

\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}

y quitar denominadores produce

(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2

= (13k-12)^2(k+1)^2,

que se simplifica a

4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0.

Las raíces son

k = 0,

k = \frac{2}{3},

y

k = \frac{22}{23},

y solo

k = \frac{22}{23}

supera

\frac{12}{13}

(entonces

AM = \frac{22}{3},

CM = \frac{23}{3},

BM = 10

). Por lo tanto,

p + q = 22 + 23 = 45.

Let

k = \frac{AM}{CM}.

Triangles

ABM

and

CBM

share the altitude from

B,

so

\frac{[ABM]}{[CBM]} = k.

Since the inradius of a triangle is its area divided by its semiperimeter, equal inradii force

\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k

as well. From

AM + CM = 15

we get

AM = \frac{15k}{k+1}

and

CM = \frac{15}{k+1};

since

AM = k \cdot CM,

the perimeter equation simplifies to

BM(1 - k) = 13k - 12,

so

BM = \frac{13k - 12}{1 - k},

and

BM \gt 0

forces

\frac{12}{13} \lt k \lt 1.

Stewart’s theorem on cevian

\overline{BM}

gives

AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM

= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right),

so

\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}

Setting this equal to

\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}

and clearing denominators yields

(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2

= (13k-12)^2(k+1)^2,

which simplifies to

4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0.

The roots are

k = 0,

k = \frac{2}{3},

and

k = \frac{22}{23},

and only

k = \frac{22}{23}

exceeds

\frac{12}{13}

(then

AM = \frac{22}{3},

CM = \frac{23}{3},

BM = 10

). Hence

p + q = 22 + 23 = 45.

Problemas del 2010 AIME I

Respuesta: 107

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 109

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 529

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 515

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 501

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 406

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 760

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 132

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 158

Nivel de dificultad: 2740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 202

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 365

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 243

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 69

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 109

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 45

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: