Question

Sea $P(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes reales que satisface $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$ para todos los números reales $x,$ y suponga que $P(11) = 181.$ Halle $P(16).$

Let $P(x)$ be a quadratic polynomial with real coefficients satisfying $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$ for all real numbers $x,$ and suppose $P(11) = 181.$ Find $P(16).$

Respuesta

Respuesta: 406

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado polinomio

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Complete el cuadrado: ambas cuadráticas de cota valen $(x-1)^2 + 1$ y $2(x-1)^2 + 1,$ con vértice común $(1, 1)$

Complete the square: both bounding quadratics equal $(x-1)^2 + 1$ and $2(x-1)^2 + 1,$ with common vertex $(1, 1)$

Pista grande:

$P(x) - (x-1)^2 - 1$ es no negativo en todas partes y cero en $x = 1,$ así que es $c(x-1)^2;$ use $P(11) = 181$ para hallar $c$

$P(x) - (x-1)^2 - 1$ is nonnegative everywhere and zero at $x = 1,$ so it is $c(x-1)^2;$ use $P(11) = 181$ to find $c$

Solución:

Completando el cuadrado, la condición queda $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$ En $x = 1$ ambas cotas valen $1,$ así que $P(1) = 1.$ La cuadrática $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ es no negativa para todo $x$ y se anula en $x = 1,$ así que $x = 1$ es una raíz doble: $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ para alguna constante $a.$

De $P(11) = 100a + 1 = 181$ obtenemos $a = \frac{9}{5}.$ Entonces $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

Completing the square, the condition reads $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$ At $x = 1$ both bounds equal $1,$ so $P(1) = 1.$ The quadratic $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ is nonnegative for all $x$ and vanishes at $x = 1,$ so $x = 1$ is a double root: $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ for some constant $a.$

From $P(11) = 100a + 1 = 181$ we get $a = \frac{9}{5}.$ Then $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

2010 AIME I Problema 6

Respuesta: 406

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años