Question

La suma de las áreas de todos los triángulos cuyos vértices son también vértices de un cubo de $1$ por $1$ por $1$ es $m + \sqrt{n} + \sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros. Halla $m + n + p.$

The sum of the areas of all triangles whose vertices are also vertices of a $1$ by $1$ by $1$ cube is $m + \sqrt{n} + \sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are integers. Find $m + n + p.$

Respuesta

Solución:

Cada lado de un triángulo así es una arista del cubo, una diagonal de cara de longitud $\sqrt{2},$ o una diagonal espacial de longitud $\sqrt{3}.$ Solo aparecen tres formas. Un triángulo de dos aristas adyacentes y una diagonal de cara es rectángulo con área $\frac{1}{2};$ hay $4$ por cara, o $24.$ Un triángulo de tres diagonales de cara es equilátero con área $\frac{\sqrt{3}}{2};$ cada uno queda determinado por los tres vértices adyacentes a uno de los $8$ vértices del cubo, así que hay $8.$ Un triángulo de una arista, una diagonal de cara y una diagonal espacial es rectángulo con catetos $1$ y $\sqrt{2},$ así que su área es $\frac{\sqrt{2}}{2};$ cada una de las $4$ diagonales espaciales forma uno con cada uno de los $6$ vértices fuera de esa diagonal, así que hay $24.$ (En efecto $24 + 8 + 24 = \binom{8}{3} = 56.$ )

El área total es $\begin{aligned} &24 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 12 + 4\sqrt{3} + 12\sqrt{2} \\ &= 12 + \sqrt{48} + \sqrt{288}, \end{aligned}$ así que $m + n + p$ $= 12 + 48 + 288$ $= 348.$

Every side of such a triangle is a cube edge, a face diagonal of length $\sqrt{2},$ or a space diagonal of length $\sqrt{3}.$ Only three shapes occur. A triangle of two adjacent edges and a face diagonal is right with area $\frac{1}{2};$ there are $4$ per face, or $24.$ A triangle of three face diagonals is equilateral with area $\frac{\sqrt{3}}{2};$ each is determined by the three vertices adjacent to one of the $8$ cube vertices, so there are $8.$ A triangle of an edge, a face diagonal, and a space diagonal is right with legs $1$ and $\sqrt{2},$ so its area is $\frac{\sqrt{2}}{2};$ each of the $4$ space diagonals forms one with each of the $6$ vertices off that diagonal, so there are $24.$ (Indeed $24 + 8 + 24 = \binom{8}{3} = 56.$ )

The total area is $\begin{aligned} &24 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 12 + 4\sqrt{3} + 12\sqrt{2} \\ &= 12 + \sqrt{48} + \sqrt{288}, \end{aligned}$ so $m + n + p$ $= 12 + 48 + 288$ $= 348.$

2003 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años