Question

Tres monos astutos reparten un montón de plátanos. El primer mono toma algunos plátanos del montón, se queda con tres cuartos de ellos, y reparte el resto por igual entre los otros dos. El segundo mono toma algunos plátanos del montón, se queda con un cuarto de ellos, y reparte el resto por igual entre los otros dos. El tercer mono toma los plátanos restantes del montón, se queda con un doceavo de ellos, y reparte el resto por igual entre los otros dos. Dado que cada mono recibe un número entero de plátanos cada vez que se reparten los plátanos, y que las cantidades de plátanos que el primer, segundo y tercer mono tienen al final del proceso están en la razón $3 : 2 : 1,$ ¿cuál es el mínimo total posible para el número de plátanos?

Three clever monkeys divide a pile of bananas. The first monkey takes some bananas from the pile, keeps three-fourths of them, and divides the rest equally between the other two. The second monkey takes some bananas from the pile, keeps one-fourth of them, and divides the rest equally between the other two. The third monkey takes the remaining bananas from the pile, keeps one-twelfth of them, and divides the rest equally between the other two. Given that each monkey receives a whole number of bananas whenever the bananas are divided, and the numbers of bananas the first, second, and third monkeys have at the end of the process are in the ratio $3 : 2 : 1,$ what is the least possible total for the number of bananas?

Respuesta

Solución:

Supón que el primer mono toma $8x$ plátanos, quedándose con $6x$ y dando $x$ a cada uno de los otros; el segundo toma $8y,$ quedándose con $2y$ y dando $3y$ a cada uno; el tercero toma $24z,$ quedándose con $2z$ y dando $11z$ a cada uno. Todas las divisiones son números enteros exactamente cuando $x,$ $y,$ $z$ son enteros positivos. Las cantidades finales son $6x + 3y + 11z,$ $x + 2y + 11z,$ y $x + 3y + 2z.$

La razón $3 : 2 : 1$ dice que la primera cantidad es el triple de la tercera y la segunda es el doble de la tercera: $\begin{aligned} &6x + 3y + 11z = 3(x + 3y + 2z) \\ &\quad \Longrightarrow\quad 3x + 5z = 6y, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &x + 2y + 11z = 2(x + 3y + 2z) \\ &\quad \Longrightarrow\quad x + 4y = 7z. \end{aligned}$ Sustituyendo $x = 7z - 4y$ en la primera ecuación da $26z = 18y,$ así que $9y = 13z.$ Por tanto $y = 13n$ y $z = 9n$ para un entero positivo $n,$ y entonces $x = 63n - 52n = 11n.$

El total es $8x + 8y + 24z$ $= (88 + 104 + 216)n$ $= 408n,$ mínimo cuando $n = 1:$ la respuesta es $408.$

Say the first monkey takes $8x$ bananas, keeping $6x$ and giving $x$ to each of the others; the second takes $8y,$ keeping $2y$ and giving $3y$ to each; the third takes $24z,$ keeping $2z$ and giving $11z$ to each. All divisions are whole numbers exactly when $x,$ $y,$ $z$ are positive integers. The final amounts are $6x + 3y + 11z,$ $x + 2y + 11z,$ and $x + 3y + 2z.$

The ratio $3 : 2 : 1$ says the first amount is triple the third and the second is double the third: $\begin{aligned} &6x + 3y + 11z = 3(x + 3y + 2z) \\ &\quad \Longrightarrow\quad 3x + 5z = 6y, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &x + 2y + 11z = 2(x + 3y + 2z) \\ &\quad \Longrightarrow\quad x + 4y = 7z. \end{aligned}$ Substituting $x = 7z - 4y$ into the first equation gives $26z = 18y,$ so $9y = 13z.$ Thus $y = 13n$ and $z = 9n$ for a positive integer $n,$ and then $x = 63n - 52n = 11n.$

The total is $8x + 8y + 24z$ $= (88 + 104 + 216)n$ $= 408n,$ least when $n = 1:$ the answer is $408.$

2004 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años