Question

Supón que una parábola tiene vértice $\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)$ y ecuación $y = ax^2 + bx + c,$ donde $a \gt 0$ y $a + b + c$ es un entero. El mínimo valor posible de $a$ se puede escribir en la forma $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Suppose that a parabola has vertex $\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)$ and equation $y = ax^2 + bx + c,$ where $a \gt 0$ and $a + b + c$ is an integer. The minimum possible value of $a$ can be written in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

En forma canónica la parábola es $y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}.$ Como $a + b + c$ es igual al valor de $y$ en $x = 1,$ $\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}$

Si esto es igual al entero $n,$ entonces $a = 2 + \frac{16n}{9}.$ La condición $a \gt 0$ requiere $16n \gt -18,$ es decir $n \ge -1,$ y $a$ es mínimo cuando $n = -1,$ lo que da $a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.$

Así, $p + q = 2 + 9 = 11.$

In vertex form the parabola is $y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}.$ Since $a + b + c$ equals the value of $y$ at $x = 1,$ $\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}$

If this equals the integer $n,$ then $a = 2 + \frac{16n}{9}.$ The condition $a \gt 0$ requires $16n \gt -18,$ that is $n \ge -1,$ and $a$ is smallest when $n = -1,$ giving $a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.$

Thus $p + q = 2 + 9 = 11.$

2011 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años