Question

Steve le dice a Jon: “Estoy pensando en un polinomio cuyas raíces son todas enteros positivos. El polinomio tiene la forma $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ para ciertos enteros positivos $a$ y $c.$ ¿Puedes decirme los valores de $a$ y $c$ ?”

Tras algunos cálculos, Jon dice: “Hay más de un polinomio así.”

Steve dice: “Tienes razón. Aquí está el valor de $a.$ ” Escribe un entero positivo y pregunta: “¿Puedes decirme el valor de $c$ ?”

Jon dice: “Todavía hay dos posibles valores de $c.$ ”

Halla la suma de los dos posibles valores de $c.$

Steve says to Jon, "I am thinking of a polynomial whose roots are all positive integers. The polynomial has the form $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ for some positive integers $a$ and $c.$ Can you tell me the values of $a$ and $c?$ "

After some calculations, Jon says, "There is more than one such polynomial."

Steve says, "You're right. Here is the value of $a.$ " He writes down a positive integer and asks, "Can you tell me the value of $c?$ "

Jon says, "There are still two possible values of $c.$ "

Find the sum of the two possible values of $c.$

Respuesta

Solución:

Dividiendo entre $2,$ las raíces $r \le s \le t$ cumplen $r + s + t = a,$ $rs + rt + st = \frac{a^2 - 81}{2},$ y $rst = \frac{c}{2}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &r^2 + s^2 + t^2 \\ &= (r + s + t)^2 - 2(rs + rt + st) \\ &= a^2 - (a^2 - 81) \\ &= 81. \end{aligned}$

Las ternas de enteros positivos cuyos cuadrados suman $81$ son $(1, 4, 8),$ $(4, 4, 7),$ y $(3, 6, 6),$ con $a = r + s + t$ igual a $13,$ $15,$ y $15.$ Como conocer $a$ aún dejaba a Jon dos opciones, $a = 15,$ y los dos polinomios provienen de $(4, 4, 7)$ y $(3, 6, 6).$

Los valores correspondientes de $c = 2rst$ son $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 7 = 224$ y $2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 6 = 216,$ con suma $224 + 216 = 440.$

Dividing by $2,$ the roots $r \le s \le t$ satisfy $r + s + t = a,$ $rs + rt + st = \frac{a^2 - 81}{2},$ and $rst = \frac{c}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} &r^2 + s^2 + t^2 \\ &= (r + s + t)^2 - 2(rs + rt + st) \\ &= a^2 - (a^2 - 81) \\ &= 81. \end{aligned}$

The triples of positive integers whose squares sum to $81$ are $(1, 4, 8),$ $(4, 4, 7),$ and $(3, 6, 6),$ with $a = r + s + t$ equal to $13,$ $15,$ and $15.$ Since knowing $a$ still left Jon two choices, $a = 15,$ and the two polynomials come from $(4, 4, 7)$ and $(3, 6, 6).$

The corresponding values of $c = 2rst$ are $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 7 = 224$ and $2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 6 = 216,$ with sum $224 + 216 = 440.$

2015 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años