Question

Sea $z = a + bi$ el número complejo con $|z| = 5$ y $b \gt 0$ tal que la distancia entre $(1 + 2i)z^3$ y $z^5$ sea máxima, y sea $z^4 = c + di.$ Halle $c + d.$

Let $z = a + bi$ be the complex number with $|z| = 5$ and $b \gt 0$ such that the distance between $(1 + 2i)z^3$ and $z^5$ is maximized, and let $z^4 = c + di.$ Find $c + d.$

Respuesta

Solución:

La distancia es $|(1 + 2i)z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2i - z^2|$ $= 125\,|1 + 2i - z^2|.$ Cuando $z$ recorre la circunferencia $|z| = 5$ con $b \gt 0,$ el cuadrado $z^2$ alcanza todos los puntos de la circunferencia $|w| = 25$ (la condición $b \gt 0$ solo selecciona una de las dos raíces cuadradas). El punto de esa circunferencia más alejado de $1 + 2i$ está en la dirección diametralmente opuesta: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2i}{|1 + 2i|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2i). \end{aligned}$

Elevando al cuadrado, $z^4 = 125\,(1 + 2i)^2$ $= 125\,(-3 + 4i)$ $= -375 + 500i,$ así que $c + d = -375 + 500 = 125.$

The distance is $|(1 + 2i)z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2i - z^2|$ $= 125\,|1 + 2i - z^2|.$ As $z$ runs over the circle $|z| = 5$ with $b \gt 0,$ the square $z^2$ attains every point of the circle $|w| = 25$ (the condition $b \gt 0$ merely selects one of the two square roots). The point of that circle farthest from $1 + 2i$ is diametrically opposite in direction: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2i}{|1 + 2i|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2i). \end{aligned}$

Squaring, $z^4 = 125\,(1 + 2i)^2$ $= 125\,(-3 + 4i)$ $= -375 + 500i,$ so $c + d = -375 + 500 = 125.$

2012 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años