Question

Sea

z = a + b\mathrm{i}

el número complejo con

|z| = 5

y

b \gt 0

tal que la distancia entre

(1 + 2\mathrm{i})z^3

y

z^5

sea máxima, y sea

z^4 = c + d\mathrm{i}.

Halle

c + d.

Let

z = a + b\mathrm{i}

be the complex number with

|z| = 5

and

b \gt 0

such that the distance between

(1 + 2\mathrm{i})z^3

and

z^5

is maximized, and let

z^4 = c + d\mathrm{i}.

Find

c + d.

Respuesta

Respuesta: 125

Conceptos:número complejo optimización

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Factorice la distancia como

|z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|,

de modo que necesita el punto

z^2

sobre la circunferencia de radio

25

más alejado de

1 + 2\mathrm{i}

.

Factor the distance as

|z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|,

so you need the point

z^2

on the circle of radius

25

farthest from

1 + 2\mathrm{i}

Pista grande:

El punto más alejado está en la dirección exactamente opuesta:

z^2 = -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i});

ahora eleve al cuadrado una vez más.

The farthest point lies in exactly the opposite direction:

z^2 = -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i});

now square once more

Solución:

La distancia es

|(1 + 2\mathrm{i})z^3 - z^5|

= |z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|

= 125\,|1 + 2\mathrm{i} - z^2|.

Cuando

z

recorre la circunferencia

|z| = 5

con

b \gt 0,

el cuadrado

z^2

alcanza todos los puntos de la circunferencia

|w| = 25

(la condición

b \gt 0

solo selecciona una de las dos raíces cuadradas). El punto de esa circunferencia más alejado de

1 + 2\mathrm{i}

está en la dirección diametralmente opuesta:

\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2\mathrm{i}}{|1 + 2\mathrm{i}|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i}). \end{aligned}

Elevando al cuadrado,

z^4 = 125\,(1 + 2\mathrm{i})^2

= 125\,(-3 + 4\mathrm{i})

= -375 + 500\mathrm{i},

así que

c + d = -375 + 500 = 125.

The distance is

|(1 + 2\mathrm{i})z^3 - z^5|

= |z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|

= 125\,|1 + 2\mathrm{i} - z^2|.

As

z

runs over the circle

|z| = 5

with

b \gt 0,

the square

z^2

attains every point of the circle

|w| = 25

(the condition

b \gt 0

merely selects one of the two square roots). The point of that circle farthest from

1 + 2\mathrm{i}

is diametrically opposite in direction:

\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2\mathrm{i}}{|1 + 2\mathrm{i}|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i}). \end{aligned}

Squaring,

z^4 = 125\,(1 + 2\mathrm{i})^2

= 125\,(-3 + 4\mathrm{i})

= -375 + 500\mathrm{i},

so

c + d = -375 + 500 = 125.

2012 AIME II Problema 6

Respuesta: 125

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años