Question

Sea $z = a + b\mathrm{i}$ el número complejo con $|z| = 5$ y $b \gt 0$ tal que la distancia entre $(1 + 2\mathrm{i})z^3$ y $z^5$ sea máxima, y sea $z^4 = c + d\mathrm{i}.$ Halle $c + d.$

Let $z = a + b\mathrm{i}$ be the complex number with $|z| = 5$ and $b \gt 0$ such that the distance between $(1 + 2\mathrm{i})z^3$ and $z^5$ is maximized, and let $z^4 = c + d\mathrm{i}.$ Find $c + d.$

Respuesta

Respuesta: 125

Conceptos:número complejo optimización

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Factorice la distancia como $|z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|,$ de modo que necesita el punto $z^2$ sobre la circunferencia de radio $25$ más alejado de $1 + 2\mathrm{i}$ .

Factor the distance as $|z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|,$ so you need the point $z^2$ on the circle of radius $25$ farthest from $1 + 2\mathrm{i}$

Pista grande:

El punto más alejado está en la dirección exactamente opuesta: $z^2 = -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i});$ ahora eleve al cuadrado una vez más.

The farthest point lies in exactly the opposite direction: $z^2 = -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i});$ now square once more

Solución:

La distancia es $|(1 + 2\mathrm{i})z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|$ $= 125\,|1 + 2\mathrm{i} - z^2|.$ Cuando $z$ recorre la circunferencia $|z| = 5$ con $b \gt 0,$ el cuadrado $z^2$ alcanza todos los puntos de la circunferencia $|w| = 25$ (la condición $b \gt 0$ solo selecciona una de las dos raíces cuadradas). El punto de esa circunferencia más alejado de $1 + 2\mathrm{i}$ está en la dirección diametralmente opuesta: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2\mathrm{i}}{|1 + 2\mathrm{i}|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i}). \end{aligned}$

Elevando al cuadrado, $z^4 = 125\,(1 + 2\mathrm{i})^2$ $= 125\,(-3 + 4\mathrm{i})$ $= -375 + 500\mathrm{i},$ así que $c + d = -375 + 500 = 125.$

The distance is $|(1 + 2\mathrm{i})z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|$ $= 125\,|1 + 2\mathrm{i} - z^2|.$ As $z$ runs over the circle $|z| = 5$ with $b \gt 0,$ the square $z^2$ attains every point of the circle $|w| = 25$ (the condition $b \gt 0$ merely selects one of the two square roots). The point of that circle farthest from $1 + 2\mathrm{i}$ is diametrically opposite in direction: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2\mathrm{i}}{|1 + 2\mathrm{i}|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i}). \end{aligned}$

Squaring, $z^4 = 125\,(1 + 2\mathrm{i})^2$ $= 125\,(-3 + 4\mathrm{i})$ $= -375 + 500\mathrm{i},$ so $c + d = -375 + 500 = 125.$

2012 AIME II Problema 6

Respuesta: 125

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años