Question

Considera la región en forma de L formada por tres cuadrados unitarios unidos por sus lados, como se muestra abajo. Se eligen dos puntos $A$ y $B$ de manera independiente y uniforme al azar dentro de la región. La probabilidad de que el punto medio de $\overline{AB}$ también esté dentro de esta región en forma de L puede expresarse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Consider the L-shaped region formed by three unit squares joined at their sides, as shown below. Two points $A$ and $B$ are chosen independently and uniformly at random from inside the region. The probability that the midpoint of $\overline{AB}$ also lies inside this L-shaped region can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloca la región como $[0,1]^2 \cup \bigl([0,1] \times [1,2]\bigr)$ $\cup \bigl([1,2] \times [0,1]\bigr),$ de modo que es el cuadrado $2 \times 2$ al que se le quita el cuadrado unitario superior derecho. Ambas coordenadas del punto medio son promedios de números en $[0, 2],$ así que el punto medio siempre está en el cuadrado $2 \times 2$ ; no está en la región exactamente cuando cae en el cuadrado que falta, es decir, cuando $x_A + x_B \gt 2$ y $y_A + y_B \gt 2.$

Si ninguno de los puntos está en el cuadrado derecho, entonces $x_A + x_B \le 2;$ si ninguno está en el cuadrado superior, entonces $y_A + y_B \le 2.$ Así que el fallo requiere un punto en el cuadrado superior y el otro en el cuadrado derecho, lo que ocurre con probabilidad $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}.$ En ese caso, una coordenada $x$ es uniforme en $[0,1]$ y la otra en $[1,2],$ así que $x_A + x_B \gt 2$ con probabilidad $\frac{1}{2},$ e independientemente $y_A + y_B \gt 2$ con probabilidad $\frac{1}{2}.$

La probabilidad de fallo es $\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{18},$ así que la probabilidad buscada es $\frac{17}{18}$ y $m + n = 17 + 18 = 35.$

Place the region as $[0,1]^2 \cup \bigl([0,1] \times [1,2]\bigr)$ $\cup \bigl([1,2] \times [0,1]\bigr),$ so it is the $2 \times 2$ square with the top-right unit square removed. Both coordinates of the midpoint are averages of numbers in $[0, 2],$ so the midpoint always lies in the $2 \times 2$ square; it fails to lie in the region exactly when it lands in the missing square, i.e. when $x_A + x_B \gt 2$ and $y_A + y_B \gt 2.$

If neither point is in the right square, then $x_A + x_B \le 2;$ if neither is in the top square, then $y_A + y_B \le 2.$ So failure requires one point in the top square and the other in the right square, which happens with probability $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}.$ In that case, one $x$ -coordinate is uniform on $[0,1]$ and the other on $[1,2],$ so $x_A + x_B \gt 2$ with probability $\frac{1}{2},$ and independently $y_A + y_B \gt 2$ with probability $\frac{1}{2}.$

The failure probability is $\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{18},$ so the desired probability is $\frac{17}{18}$ and $m + n = 17 + 18 = 35.$

2023 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años