Question

Para cualquier conjunto finito $S$ , sea $|S|$ el número de elementos de $S$ . Halle el número de pares ordenados $(A, B)$ tales que $A$ y $B$ son subconjuntos (no necesariamente distintos) de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ que satisfacen $|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.$

For any finite set $S,$ let $|S|$ denote the number of elements in $S.$ Find the number of ordered pairs $(A, B)$ such that $A$ and $B$ are (not necessarily distinct) subsets of $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ that satisfy $|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.$

Respuesta

Solución:

Sean $a = |A|$ , $b = |B|$ e $i = |A \cap B|$ , de modo que $|A \cup B| = a + b - i$ . La condición $ab = i(a + b - i)$ se reorganiza como $\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}$ así que $|A \cap B| = |A|$ o $|A \cap B| = |B|$ . Como $A \cap B$ es un subconjunto de cada uno, eso significa que $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$ .

Para los pares con $A \subseteq B$ , cada uno de los $5$ elementos está, de forma independiente, en ninguno de los dos conjuntos, solo en $B$ , o en ambos: $3^5 = 243$ pares. De igual modo, $243$ pares satisfacen $B \subseteq A$ , y los pares contados dos veces son exactamente aquellos con $A = B$ , de los cuales hay $2^5 = 32$ . La respuesta es $243 + 243 - 32 = 454$ .

Let $a = |A|,$ $b = |B|,$ and $i = |A \cap B|,$ so $|A \cup B| = a + b - i.$ The condition $ab = i(a + b - i)$ rearranges to $\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}$ so $|A \cap B| = |A|$ or $|A \cap B| = |B|.$ Since $A \cap B$ is a subset of each, that means $A \subseteq B$ or $B \subseteq A.$

For pairs with $A \subseteq B,$ each of the $5$ elements independently lies in neither set, in $B$ only, or in both: $3^5 = 243$ pairs. Likewise $243$ pairs satisfy $B \subseteq A,$ and the pairs counted twice are exactly those with $A = B,$ of which there are $2^5 = 32.$ The answer is $243 + 243 - 32 = 454.$

2021 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años