Question

Para cualquier conjunto finito

S,

sea

|S|

el número de elementos de

S.

Halle el número de pares ordenados

(A, B)

tales que

A

y

B

son subconjuntos (no necesariamente distintos) de

\{1, 2, 3, 4, 5\}

que satisfacen

|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.

For any finite set

S,

let

|S|

denote the number of elements in

S.

Find the number of ordered pairs

(A, B)

such that

A

and

B

are (not necessarily distinct) subsets of

\{1, 2, 3, 4, 5\}

that satisfy

|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.

Respuesta

Respuesta: 454

Conceptos:subconjuntos factorización inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Escriba

a = |A|,

b = |B|,

i = |A \cap B|;

entonces

|A \cup B| = a + b - i

Write

a = |A|,

b = |B|,

i = |A \cap B|;

then

|A \cup B| = a + b - i

Pista grande:

La ecuación se factoriza como

(a - i)(b - i) = 0,

así que la condición es

A \subseteq B

o

B \subseteq A

The equation factors as

(a - i)(b - i) = 0,

so the condition is

A \subseteq B

or

B \subseteq A

Solución:

Sean

a = |A|,

b = |B|,

e

i = |A \cap B|,

de modo que

|A \cup B| = a + b - i.

La condición

ab = i(a + b - i)

se reorganiza como

\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}

así que

|A \cap B| = |A|

o

|A \cap B| = |B|.

Como

A \cap B

es un subconjunto de cada uno, eso significa que

A \subseteq B

o

B \subseteq A.

Para los pares con

A \subseteq B,

cada uno de los

5

elementos está, de forma independiente, en ninguno de los dos conjuntos, solo en

B

, o en ambos:

3^5 = 243

pares. De igual modo,

243

pares satisfacen

B \subseteq A,

y los pares contados dos veces son exactamente aquellos con

A = B,

de los cuales hay

2^5 = 32.

La respuesta es

243 + 243 - 32 = 454.

Let

a = |A|,

b = |B|,

and

i = |A \cap B|,

so

|A \cup B| = a + b - i.

The condition

ab = i(a + b - i)

rearranges to

\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}

so

|A \cap B| = |A|

or

|A \cap B| = |B|.

Since

A \cap B

is a subset of each, that means

A \subseteq B

or

B \subseteq A.

For pairs with

A \subseteq B,

each of the

5

elements independently lies in neither set, in

B

only, or in both:

3^5 = 243

pairs. Likewise

243

pairs satisfy

B \subseteq A,

and the pairs counted twice are exactly those with

A = B,

of which there are

2^5 = 32.

The answer is

243 + 243 - 32 = 454.

2021 AIME II Problema 6

Respuesta: 454

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años