Question

Halla la suma de todos los números reales $r$ tales que haya al menos un punto donde la circunferencia de radio $r$ centrada en $(4, 39)$ sea tangente a la parábola de ecuación $2y = x^2 - 8x + 12.$

Find the sum of all real numbers $r$ such that there is at least one point where the circle with radius $r$ centered at $(4, 39)$ is tangent to the parabola with equation $2y = x^2 - 8x + 12.$

Respuesta

Solución:

Completando el cuadrado, $2y = (x - 4)^2 - 4,$ así que con $u = x - 4$ la parábola es el conjunto de puntos $\left(4 + u,\ \frac{u^2}{2} - 2\right)$ y el centro $(4, 39)$ está sobre su eje. La circunferencia es tangente a la parábola en un punto exactamente cuando las dos curvas comparten allí una recta tangente, es decir, cuando el radio hasta ese punto es normal a la parábola, lo que ocurre exactamente en los puntos críticos de la distancia al cuadrado $\begin{aligned} &D(u) = u^2 + \left(\frac{u^2}{2} - 41\right)^2, \\ &D'(u) = 2u + u\left(u^2 - 82\right) \\ &\quad {}= u\left(u^2 - 80\right). \end{aligned}$

En $u = \pm\sqrt{80}:$ $D = 80 + (40 - 41)^2 = 81,$ así que $r = 9$ (la circunferencia toca la parábola en dos puntos simétricos). En $u = 0,$ el punto es el vértice $(4, -2)$ a distancia $41,$ donde la parábola y la circunferencia de radio $41$ tienen ambas rectas tangentes horizontales, así que $r = 41$ también funciona.

La suma es $9 + 41 = 50.$

Completing the square, $2y = (x - 4)^2 - 4,$ so with $u = x - 4$ the parabola is the set of points $\left(4 + u,\ \frac{u^2}{2} - 2\right)$ and the center $(4, 39)$ lies on its axis. The circle is tangent to the parabola at a point exactly when the two curves share a tangent line there, i.e. when the radius to that point is normal to the parabola — which happens exactly at critical points of the squared distance $\begin{aligned} &D(u) = u^2 + \left(\frac{u^2}{2} - 41\right)^2, \\ &D'(u) = 2u + u\left(u^2 - 82\right) \\ &\quad {}= u\left(u^2 - 80\right). \end{aligned}$

At $u = \pm\sqrt{80}:$ $D = 80 + (40 - 41)^2 = 81,$ so $r = 9$ (the circle touches the parabola at two symmetric points). At $u = 0,$ the point is the vertex $(4, -2)$ at distance $41,$ where the parabola and the circle of radius $41$ both have horizontal tangent lines, so $r = 41$ also works.

The sum is $9 + 41 = 50.$

2026 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años