Question

Se lanza repetidamente un dado estándar y justo de seis caras. Cada vez que el dado muestra $1$ o $2,$ Alice recibe una moneda; cada vez que muestra $3$ o $4,$ Bob recibe una moneda; y cada vez que muestra $5$ o $6,$ Carol recibe una moneda. La probabilidad de que Alice y Bob reciban cada uno al menos dos monedas antes de que Carol reciba alguna moneda se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $100m + n.$

A standard fair six-sided die is rolled repeatedly. Each time the die reads $1$ or $2,$ Alice gets a coin; each time it reads $3$ or $4,$ Bob gets a coin; and each time it reads $5$ or $6,$ Carol gets a coin. The probability that Alice and Bob each receive at least two coins before Carol receives any coins can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $100m + n.$

Respuesta

Solución:

Cada lanzamiento es un lanzamiento de Alice, de Bob, o de Carol, cada uno con probabilidad $\frac{1}{3}.$ El evento tiene éxito exactamente cuando los lanzamientos anteriores al primer lanzamiento de Carol incluyen al menos dos lanzamientos de Alice y al menos dos de Bob. El primer lanzamiento de Carol es el lanzamiento $k + 1$ con probabilidad $\left(\frac{2}{3}\right)^k \frac{1}{3},$ y dado esto, los primeros $k$ lanzamientos forman una de $2^k$ cadenas de Alice/Bob igualmente probables. Para $k \ge 3$ las cadenas malas, a lo sumo un Alice o a lo sumo un Bob, suman $(k + 1) + (k + 1) = 2k + 2,$ y ninguna cadena es mala de ambas formas. Por lo tanto $\begin{aligned} P &= \sum_{k \ge 4} \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^k \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \frac{2k + 2}{2^k}\right). \end{aligned}$

La primera parte es $\sum_{k \ge 4} \left(\frac{2}{3}\right)^k = \frac{16}{27}.$ Para la segunda, $\sum_{k \ge 0} \frac{k + 1}{3^k} = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{9}{4},$ así que $\begin{aligned} &\sum_{k \ge 4} \frac{2k + 2}{3^k} \\ &= 2\left(\frac{9}{4} - 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{27}\right) \\ &= 2 \cdot \frac{11}{108} = \frac{11}{54}. \end{aligned}$

Por lo tanto $P = \frac{1}{3}\left(\frac{16}{27} - \frac{11}{54}\right)$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{21}{54} = \frac{7}{54},$ y $100m + n = 700 + 54 = 754.$

Each roll is an Alice roll, a Bob roll, or a Carol roll, each with probability $\frac{1}{3}.$ The event succeeds exactly when the rolls before the first Carol roll include at least two Alice rolls and at least two Bob rolls. The first Carol roll is roll $k + 1$ with probability $\left(\frac{2}{3}\right)^k \frac{1}{3},$ and given this, the first $k$ rolls form one of $2^k$ equally likely Alice/Bob strings. For $k \ge 3$ the bad strings — at most one Alice, or at most one Bob — number $(k + 1) + (k + 1) = 2k + 2,$ and no string is bad in both ways. Hence $\begin{aligned} P &= \sum_{k \ge 4} \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^k \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \frac{2k + 2}{2^k}\right). \end{aligned}$

The first piece is $\sum_{k \ge 4} \left(\frac{2}{3}\right)^k = \frac{16}{27}.$ For the second, $\sum_{k \ge 0} \frac{k + 1}{3^k} = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{9}{4},$ so $\begin{aligned} &\sum_{k \ge 4} \frac{2k + 2}{3^k} \\ &= 2\left(\frac{9}{4} - 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{27}\right) \\ &= 2 \cdot \frac{11}{108} = \frac{11}{54}. \end{aligned}$

Therefore $P = \frac{1}{3}\left(\frac{16}{27} - \frac{11}{54}\right)$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{21}{54} = \frac{7}{54},$ and $100m + n = 700 + 54 = 754.$

2026 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años