Question

Sea $n$ el número de cuádruplas ordenadas $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ de enteros positivos impares que satisfacen $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ . Halla $\frac{n}{100}$ .

Let $n$ be the number of ordered quadruples $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ of positive odd integers that satisfy $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98.$ Find $\frac{n}{100}.$

Respuesta

Solución:

Escribe $x_i = 2y_i - 1$ , donde cada $y_i$ es un entero positivo. Entonces $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ se vuelve $2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) - 4 = 98$ , así que $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51$ .

Por estrellas y barras, el número de soluciones en enteros positivos es $\binom{50}{3} = 19600$ . Por lo tanto $\frac{n}{100} = 196$ .

Write $x_i = 2y_i - 1$ where each $y_i$ is a positive integer. Then $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ becomes $2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) - 4 = 98,$ so $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51.$

By stars and bars, the number of solutions in positive integers is $\binom{50}{3} = 19600.$ Therefore $\frac{n}{100} = 196.$

1998 AIME Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años