Question

Dos conos circulares rectos congruentes, cada uno con radio de base $3$ y altura $8,$ tienen ejes de simetría que se cortan en ángulo recto en un punto del interior de los conos a una distancia $3$ de la base de cada cono. Una esfera de radio $r$ está contenida en ambos conos. El máximo valor posible de $r^2$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Two congruent right circular cones each with base radius $3$ and height $8$ have axes of symmetry that intersect at right angles at a point in the interior of the cones a distance $3$ from the base of each cone. A sphere with radius $r$ lies within both cones. The maximum possible value of $r^2$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloque el origen en el punto donde se cruzan los ejes, y mida coordenadas con signo $u_1, u_2$ a lo largo de los dos ejes. A lo largo de su eje, cada cono tiene su vértice a una distancia $8 - 3 = 5$ del origen y su plano de base a una distancia $3$ del otro lado. Al cortar un cono por cualquier plano que pase por su eje se obtiene un triángulo cuyo lado oblicuo, en coordenadas $(u, w)$ con $w \ge 0$ la distancia al eje, es la recta que pasa por $(5, 0)$ y $(-3, 3),$ es decir $3u + 8w = 15.$

Una esfera de radio $r$ centrada en un punto con coordenada axial $u$ y distancia $\rho$ al eje cabe dentro de ese cono solo si su sección transversal cabe dentro del triángulo, así que $r \le \frac{15 - 3u - 8\rho}{\sqrt{73}}.$ Como los dos ejes son perpendiculares, la distancia del centro al eje $1$ es al menos $|u_2|,$ y viceversa. Sumando las dos restricciones, $\begin{aligned} 2\sqrt{73}\,r &\le 30 - 3(u_1 + u_2) \\ &\quad {}- 8(|u_1| + |u_2|) \\ &\le 30, \end{aligned}$ porque $3(u_1 + u_2) \ge -3(|u_1| + |u_2|)$ $\ge -8(|u_1| + |u_2|).$ Por lo tanto, $r \le \frac{15}{\sqrt{73}}.$

La esfera de radio $\frac{15}{\sqrt{73}}$ centrada en el origen alcanza este valor: su distancia a cada superficie oblicua es $\frac{|3 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 15|}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{15}{\sqrt{73}},$ y su distancia $3$ a cada plano de base es mayor. Así, el máximo de $r^2$ es $\frac{225}{73},$ y $m + n = 225 + 73 = 298.$

Put the origin at the point where the axes cross, and measure signed coordinates $u_1, u_2$ along the two axes. Along its axis, each cone has its apex at distance $8 - 3 = 5$ from the origin and its base plane at distance $3$ on the other side. Slicing a cone by any plane through its axis gives a triangle whose slant side, in coordinates $(u, w)$ with $w \ge 0$ the distance from the axis, is the line through $(5, 0)$ and $(-3, 3),$ namely $3u + 8w = 15.$

A sphere of radius $r$ centered at a point with axial coordinate $u$ and distance $\rho$ from the axis fits inside that cone only if its cross-section fits inside the triangle, so $r \le \frac{15 - 3u - 8\rho}{\sqrt{73}}.$ Since the two axes are perpendicular, the distance from the center to axis $1$ is at least $|u_2|,$ and vice versa. Adding the two constraints, $\begin{aligned} 2\sqrt{73}\,r &\le 30 - 3(u_1 + u_2) \\ &\quad {}- 8(|u_1| + |u_2|) \\ &\le 30, \end{aligned}$ because $3(u_1 + u_2) \ge -3(|u_1| + |u_2|)$ $\ge -8(|u_1| + |u_2|).$ Hence $r \le \frac{15}{\sqrt{73}}.$

The sphere of radius $\frac{15}{\sqrt{73}}$ centered at the origin achieves this: its distance to each slant surface is $\frac{|3 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 15|}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{15}{\sqrt{73}},$ and its distance $3$ to each base plane is larger. So the maximum of $r^2$ is $\frac{225}{73},$ and $m + n = 225 + 73 = 298.$

2020 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años