Question

Halla el número de pares ordenados de enteros positivos $(a, b)$ tales que $a + b = 1000$ y ni $a$ ni $b$ tenga un dígito cero.

Find the number of ordered pairs of positive integers $(a, b)$ such that $a + b = 1000$ and neither $a$ nor $b$ has a zero digit.

Respuesta

Solución:

Hay $999$ pares en total ( $a = 1, \ldots, 999$ ); cuenta los prohibidos. Si $a$ tiene dígito de las unidades $0,$ entonces $b$ también, y escribiendo $a = 10r,$ $b = 10s$ se obtiene $r + s = 100$ con $1 \le r \le 99:$ esos son $99$ pares prohibidos.

Ahora supón que ambos dígitos de las unidades son distintos de cero. Entonces un número del par tiene un dígito cero exactamente cuando es un número de tres dígitos de la forma $h0u$ con $h, u \in \{1, \ldots, 9\}$ (un número de uno o dos dígitos con dígito de las unidades no nulo no tiene dígito cero). Si $a = h0u,$ entonces $b = 1000 - a$ $= 100(9 - h) + 90$ $+ (10 - u)$ tiene dígito de las decenas $9,$ así que $b$ tampoco es de esa forma. Por lo tanto los pares prohibidos aquí son aquellos en que exactamente uno de $a, b$ es igual a $h0u:$ $81 + 81 = 162$ pares.

El número total de pares prohibidos es $99 + 162 = 261,$ así que la respuesta es $999 - 261 = 738.$

There are $999$ pairs in all ( $a = 1, \ldots, 999$ ); count the forbidden ones. If $a$ has units digit $0,$ so does $b,$ and writing $a = 10r,$ $b = 10s$ gives $r + s = 100$ with $1 \le r \le 99:$ that is $99$ forbidden pairs.

Now suppose both units digits are nonzero. Then a number in the pair has a zero digit exactly when it is a three-digit number of the form $h0u$ with $h, u \in \{1, \ldots, 9\}$ (a one- or two-digit number with nonzero units digit has no zero digit). If $a = h0u,$ then $b = 1000 - a$ $= 100(9 - h) + 90$ $+ (10 - u)$ has tens digit $9,$ so $b$ is not also of that form. Hence the forbidden pairs here are those where exactly one of $a, b$ equals $h0u:$ $81 + 81 = 162$ pairs.

The total number of forbidden pairs is $99 + 162 = 261,$ so the answer is $999 - 261 = 738.$

2006 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años