Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2005 AIME I Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2005 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

En el cuadrilátero ABCD,ABCD, BC=8,BC = 8, CD=12,CD = 12, AD=10,AD = 10, y m∠A=m∠B=60∘.m\angle A = m\angle B = 60^\circ. Dado que AB=p+q,AB = p + \sqrt{q}, donde pp y qq son enteros positivos, halle p+q.p + q.
In quadrilateral ABCD,ABCD, BC=8,BC = 8, CD=12,CD = 12, AD=10,AD = 10, and m∠A=m∠B=60∘.m\angle A = m\angle B = 60^\circ. Given that AB=p+q,AB = p + \sqrt{q}, where pp and qq are positive integers, find p+q.p + q.
Respuesta: 150
Conceptos:ley de los cosenostriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 2450
Pista pequeña:
Prolongue AD‾\overline{AD} y BC‾\overline{BC} hasta que se corten en P;P; los dos ángulos de 60∘60^\circ hacen que el triángulo ABPABP sea equilátero
Extend AD‾\overline{AD} and BC‾\overline{BC} to meet at P;P; the two 60∘60^\circ angles make triangle ABPABP equilateral
Pista grande:
Aplique la ley de cosenos en el triángulo PDC,PDC, donde PD=AB−10,PD = AB - 10, PC=AB−8,PC = AB - 8, y ∠P=60∘\angle P = 60^\circ
Apply the Law of Cosines in triangle PDC,PDC, where PD=AB−10,PD = AB - 10, PC=AB−8,PC = AB - 8, and ∠P=60∘\angle P = 60^\circ
Solución:
Prolongue los rayos ADAD y BCBC hasta que se corten en P.P. El triángulo ABPABP tiene ángulos de 60∘60^\circ en AA y B,B, así que es equilátero: PA=PB=AB.PA = PB = AB. Escribiendo x=AB,x = AB, obtenemos PD=PA−AD=x−10PD = PA - AD = x - 10 y PC=PB−BC=x−8.PC = PB - BC = x - 8.
La ley de cosenos en el triángulo PDC,PDC, con ∠P=60∘\angle P = 60^\circ y DC=12,DC = 12, da 144=(x−10)2+(x−8)2−(x−10)(x−8)=x2−18x+84, \begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84, \end{aligned} así que x2−18x−60=0x^2 - 18x - 60 = 0 y x=9+81+60=9+141.x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}.
Por lo tanto p+q=9+141=150.p + q = 9 + 141 = 150.
Extend rays ADAD and BCBC until they meet at P.P. Triangle ABPABP has 60∘60^\circ angles at AA and B,B, so it is equilateral: PA=PB=AB.PA = PB = AB. Writing x=AB,x = AB, we get PD=PA−AD=x−10PD = PA - AD = x - 10 and PC=PB−BC=x−8.PC = PB - BC = x - 8.
The Law of Cosines in triangle PDC,PDC, with ∠P=60∘\angle P = 60^\circ and DC=12,DC = 12, gives 144=(x−10)2+(x−8)2−(x−10)(x−8)=x2−18x+84, \begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84, \end{aligned} so x2−18x−60=0x^2 - 18x - 60 = 0 and x=9+81+60=9+141.x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}.
Thus p+q=9+141=150.p + q = 9 + 141 = 150.
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II