Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2003 AIME II Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2003 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

Halla el área del rombo ABCDABCD dado que los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABDABD y ACDACD son 12.512.5 y 25,25, respectivamente.
Find the area of rhombus ABCDABCD given that the radii of the circles circumscribed around triangles ABDABD and ACDACD are 12.512.5 and 25,25, respectively.
Respuesta: 400
Conceptos:romboley de los senoscircunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Sea ss el lado y α=∠BAC.\alpha = \angle BAC. Las diagonales tienen longitudes 2scos⁡α2s\cos\alpha y 2ssin⁡α2s\sin\alpha
Let ss be the side and α=∠BAC.\alpha = \angle BAC. The diagonals have lengths 2scos⁡α2s\cos\alpha and 2ssin⁡α2s\sin\alpha
Pista grande:
La ley extendida de los senos en los triángulos ABDABD y ACDACD da R1=s2cos⁡αR_1 = \frac{s}{2\cos\alpha} y R2=s2sin⁡α,R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}, así que tan⁡α=R1R2\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2}
The extended law of sines in triangles ABDABD and ACDACD gives R1=s2cos⁡αR_1 = \frac{s}{2\cos\alpha} and R2=s2sin⁡α,R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}, so tan⁡α=R1R2\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2}
Solución:
Sea ss la longitud del lado y α=∠BAC\alpha = \angle BAC (la diagonal ACAC biseca el ángulo AA). Entonces las diagonales tienen longitudes AC=2scos⁡αAC = 2s\cos\alpha y BD=2ssin⁡α.BD = 2s\sin\alpha. En el triángulo ABD,ABD, el lado BDBD subtiende el ángulo ∠BAD=2α,\angle BAD = 2\alpha, así que la ley extendida de los senos da 12.5=R1=BD2sin⁡2α=2ssin⁡α4sin⁡αcos⁡α=s2cos⁡α. \begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha}. \end{aligned} En el triángulo ACD,ACD, el lado ACAC subtiende ∠ADC=180∘−2α,\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha, así que de manera similar 25=R2=s2sin⁡α.25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}.
Al dividir, tan⁡α=R1R2=12,\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}, así que sin⁡α=15\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} y cos⁡α=25.\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}. Entonces s=2R2sin⁡α=505=105.s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}.
El área es la mitad del producto de las diagonales: 12⋅2scos⁡α⋅2ssin⁡α=2s2sin⁡αcos⁡α=2⋅500⋅25=400. \begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400. \end{aligned}
Let ss be the side length and α=∠BAC\alpha = \angle BAC (the diagonal ACAC bisects angle AA). The diagonals then have lengths AC=2scos⁡αAC = 2s\cos\alpha and BD=2ssin⁡α.BD = 2s\sin\alpha. In triangle ABD,ABD, side BDBD subtends the angle ∠BAD=2α,\angle BAD = 2\alpha, so the extended law of sines gives 12.5=R1=BD2sin⁡2α=2ssin⁡α4sin⁡αcos⁡α=s2cos⁡α. \begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha}. \end{aligned} In triangle ACD,ACD, side ACAC subtends ∠ADC=180∘−2α,\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha, so similarly 25=R2=s2sin⁡α.25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}.
Dividing, tan⁡α=R1R2=12,\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}, so sin⁡α=15\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} and cos⁡α=25.\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}. Then s=2R2sin⁡α=505=105.s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}.
The area is half the product of the diagonals: 12⋅2scos⁡α⋅2ssin⁡α=2s2sin⁡αcos⁡α=2⋅500⋅25=400. \begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400. \end{aligned}
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II