Question

Halla el área del rombo $ABCD$ dado que los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $12.5$ y $25,$ respectivamente.

Find the area of rhombus $ABCD$ given that the radii of the circles circumscribed around triangles $ABD$ and $ACD$ are $12.5$ and $25,$ respectively.

Respuesta

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado y $\alpha = \angle BAC$ (la diagonal $AC$ biseca el ángulo $A$ ). Entonces las diagonales tienen longitudes $AC = 2s\cos\alpha$ y $BD = 2s\sin\alpha.$ En el triángulo $ABD,$ el lado $BD$ subtiende el ángulo $\angle BAD = 2\alpha,$ así que la ley extendida de los senos da $\begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha}. \end{aligned}$ En el triángulo $ACD,$ el lado $AC$ subtiende $\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha,$ así que de manera similar $25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}.$

Al dividir, $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2},$ así que $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}.$ Entonces $s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}.$

El área es la mitad del producto de las diagonales: $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400. \end{aligned}$

Let $s$ be the side length and $\alpha = \angle BAC$ (the diagonal $AC$ bisects angle $A$ ). The diagonals then have lengths $AC = 2s\cos\alpha$ and $BD = 2s\sin\alpha.$ In triangle $ABD,$ side $BD$ subtends the angle $\angle BAD = 2\alpha,$ so the extended law of sines gives $\begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha}. \end{aligned}$ In triangle $ACD,$ side $AC$ subtends $\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha,$ so similarly $25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}.$

Dividing, $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2},$ so $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ and $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}.$ Then $s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}.$

The area is half the product of the diagonals: $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400. \end{aligned}$

2003 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años