Question

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 12,$ $BC = 25,$ y $CA = 17.$ El rectángulo $PQRS$ tiene el vértice $P$ en $\overline{AB},$ el vértice $Q$ en $\overline{AC},$ y los vértices $R$ y $S$ en $\overline{BC}.$ En términos de la longitud del lado $PQ = w,$ el área de $PQRS$ se puede expresar como el polinomio cuadrático $\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.$ Entonces el coeficiente $\beta = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 12,$ $BC = 25,$ and $CA = 17.$ Rectangle $PQRS$ has vertex $P$ on $\overline{AB},$ vertex $Q$ on $\overline{AC},$ and vertices $R$ and $S$ on $\overline{BC}.$ In terms of the side length $PQ = w,$ the area of $PQRS$ can be expressed as the quadratic polynomial $\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.$ Then the coefficient $\beta = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Por la fórmula de Herón con $s = 27,$ el área de $ABC$ es $\sqrt{27 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{8100} = 90,$ así que la altura desde $A$ hasta $\overline{BC}$ tiene longitud $h = \frac{2 \cdot 90}{25} = \frac{36}{5}.$

Como $\overline{PQ} \parallel \overline{BC},$ el triángulo $APQ$ es semejante a $ABC$ con razón $\frac{w}{25},$ así que la distancia desde $A$ hasta la recta $PQ$ es $\frac{w}{25}h,$ y la altura del rectángulo es $PS = h - \frac{w}{25}h.$ El área es $\begin{aligned} &w \cdot h\left(1 - \frac{w}{25}\right) \\ &= \frac{36}{5}\,w - \frac{36}{125}\,w^2. \end{aligned}$

Así $\beta = \frac{36}{125},$ y $m + n = 36 + 125 = 161.$

By Heron's formula with $s = 27,$ the area of $ABC$ is $\sqrt{27 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{8100} = 90,$ so the altitude from $A$ to $\overline{BC}$ has length $h = \frac{2 \cdot 90}{25} = \frac{36}{5}.$

Since $\overline{PQ} \parallel \overline{BC},$ triangle $APQ$ is similar to $ABC$ with ratio $\frac{w}{25},$ so the distance from $A$ down to line $PQ$ is $\frac{w}{25}h,$ and the rectangle's height is $PS = h - \frac{w}{25}h.$ The area is $\begin{aligned} &w \cdot h\left(1 - \frac{w}{25}\right) \\ &= \frac{36}{5}\,w - \frac{36}{125}\,w^2. \end{aligned}$

Thus $\beta = \frac{36}{125},$ and $m + n = 36 + 125 = 161.$

2015 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años