Question

Se dibuja un ángulo sobre un conjunto de rectas paralelas igualmente espaciadas, como se muestra. La razón entre el área de la región sombreada $\mathcal{C}$ y el área de la región sombreada $\mathcal{B}$ es $\frac{11}{5}.$ Halla la razón entre el área de la región sombreada $\mathcal{D}$ y el área de la región sombreada $\mathcal{A}.$

An angle is drawn on a set of equally spaced parallel lines as shown. The ratio of the area of shaded region $\mathcal{C}$ to the area of shaded region $\mathcal{B}$ is $\frac{11}{5}.$ Find the ratio of the area of shaded region $\mathcal{D}$ to the area of shaded region $\mathcal{A}.$

Respuesta

Solución:

Toma el espaciado entre rectas consecutivas como la unidad, y sea $x$ la distancia del vértice del ángulo a la primera recta. El triángulo recortado por la $j$ -ésima recta es semejante al triángulo $\mathcal{A}$ con razón $\frac{x + j - 1}{x},$ así que su área es proporcional a $(x + j - 1)^2,$ y la franja entre las rectas $j$ y $j + 1$ tiene área proporcional a $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1.$

Las regiones $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ y $\mathcal{D}$ son las franjas que comienzan en las rectas $2,$ $4,$ y $6,$ con áreas proporcionales a $2x + 3,$ $2x + 7,$ y $2x + 11.$ La razón dada produce $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5},$ así que $10x + 35 = 22x + 33$ y $x = \frac{1}{6}.$

Como $\mathcal{A}$ tiene área proporcional a $x^2,$ la razón pedida es $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{34/3}{1/36} = 408.$

Take the spacing between consecutive lines as the unit, and let $x$ be the distance from the vertex of the angle to the first line. The triangle cut off by the $j$ th line is similar to triangle $\mathcal{A}$ with ratio $\frac{x + j - 1}{x},$ so its area is proportional to $(x + j - 1)^2,$ and the strip between lines $j$ and $j + 1$ has area proportional to $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1.$

Regions $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ and $\mathcal{D}$ are the strips beginning at lines $2,$ $4,$ and $6,$ with areas proportional to $2x + 3,$ $2x + 7,$ and $2x + 11.$ The given ratio yields $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5},$ so $10x + 35 = 22x + 33$ and $x = \frac{1}{6}.$

Since $\mathcal{A}$ has area proportional to $x^2,$ the requested ratio is $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{34/3}{1/36} = 408.$

2006 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años