Question

Sea $S_i$ el conjunto de todos los enteros $n$ tales que $100i \le n \lt 100(i + 1).$ Por ejemplo, $S_4$ es el conjunto $\{400, 401, 402, \ldots, 499\}.$ ¿Cuántos de los conjuntos $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ no contienen un cuadrado perfecto?

Let $S_i$ be the set of all integers $n$ such that $100i \le n \lt 100(i + 1).$ For example, $S_4$ is the set $\{400, 401, 402, \ldots, 499\}.$ How many of the sets $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ do not contain a perfect square?

Respuesta

Solución:

Los cuadrados consecutivos $a^2$ y $(a + 1)^2$ difieren en $2a + 1 \le 99$ para $a \le 49,$ así que los cuadrados desde $1^2$ hasta $50^2 = 2500$ nunca se saltan un bloque de cien: cada conjunto $S_0, S_1, \ldots, S_{25}$ contiene un cuadrado perfecto. Para $a \ge 50$ el salto $2a + 1 \ge 101$ supera $100,$ así que cada uno de los conjuntos $S_{26}, \ldots, S_{999}$ contiene a lo sumo un cuadrado.

El número más grande involucrado es $99999,$ y $316^2 = 99856 \le 99999 \lt 317^2.$ Así que los cuadrados que caen en $S_{26}, \ldots, S_{999}$ son $51^2, 52^2, \ldots, 316^2$ , es decir, $266$ cuadrados que ocupan $266$ conjuntos distintos de esos $974.$

Por lo tanto $974 - 266 = 708$ conjuntos no contienen ningún cuadrado perfecto.

Consecutive squares $a^2$ and $(a + 1)^2$ differ by $2a + 1 \le 99$ for $a \le 49,$ so the squares from $1^2$ to $50^2 = 2500$ never skip a hundred-block: every set $S_0, S_1, \ldots, S_{25}$ contains a perfect square. For $a \ge 50$ the gap $2a + 1 \ge 101$ exceeds $100,$ so each of the sets $S_{26}, \ldots, S_{999}$ contains at most one square.

The largest number involved is $99999,$ and $316^2 = 99856 \le 99999 \lt 317^2.$ So the squares landing in $S_{26}, \ldots, S_{999}$ are $51^2, 52^2, \ldots, 316^2$ — that is, $266$ squares occupying $266$ distinct sets out of those $974.$

Therefore $974 - 266 = 708$ sets contain no perfect square.

2008 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años