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2008 AIME I Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2008 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

Sea SiS_i el conjunto de todos los enteros nn tales que 100i≤n<100(i+1).100i \le n \lt 100(i + 1). Por ejemplo, S4S_4 es el conjunto {400,401,402,…,499}.\{400, 401, 402, \ldots, 499\}. ¿Cuántos de los conjuntos S0,S_0, S1,S_1, S2,S_2, …,\ldots, S999S_{999} no contienen un cuadrado perfecto?
Let SiS_i be the set of all integers nn such that 100i≤n<100(i+1).100i \le n \lt 100(i + 1). For example, S4S_4 is the set {400,401,402,…,499}.\{400, 401, 402, \ldots, 499\}. How many of the sets S0,S_0, S1,S_1, S2,S_2, …,\ldots, S999S_{999} do not contain a perfect square?
Respuesta: 708
Conceptos:cuadrado perfectoconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 2510
Pista pequeña:
Los cuadrados consecutivos difieren en 2a+1,2a + 1, que es menor que 100100 para a≤49,a \le 49, así que cada conjunto hasta el que contiene 502=250050^2 = 2500 tiene un cuadrado
Consecutive squares differ by 2a+1,2a + 1, which is less than 100100 for a≤49,a \le 49, so every set up through the one containing 502=250050^2 = 2500 has a square
Pista grande:
Después de 25002500 los saltos superan 100,100, así que cada conjunto restante contiene a lo sumo un cuadrado; cuenta los cuadrados hasta 9999999999 y resta
Past 25002500 the gaps exceed 100,100, so each remaining set holds at most one square; count the squares up to 9999999999 and subtract
Solución:
Los cuadrados consecutivos a2a^2 y (a+1)2(a + 1)^2 difieren en 2a+1≤992a + 1 \le 99 para a≤49,a \le 49, así que los cuadrados desde 121^2 hasta 502=250050^2 = 2500 nunca se saltan un bloque de cien: cada conjunto S0,S1,…,S25S_0, S_1, \ldots, S_{25} contiene un cuadrado perfecto. Para a≥50a \ge 50 el salto 2a+1≥1012a + 1 \ge 101 supera 100,100, así que cada uno de los conjuntos S26,…,S999S_{26}, \ldots, S_{999} contiene a lo sumo un cuadrado.
El número más grande involucrado es 99999,99999, y 3162=99856≤99999<3172.316^2 = 99856 \le 99999 \lt 317^2. Así que los cuadrados que caen en S26,…,S999S_{26}, \ldots, S_{999} son 512,522,…,316251^2, 52^2, \ldots, 316^2, es decir, 266266 cuadrados que ocupan 266266 conjuntos distintos de esos 974.974.
Por lo tanto 974−266=708974 - 266 = 708 conjuntos no contienen ningún cuadrado perfecto.
Consecutive squares a2a^2 and (a+1)2(a + 1)^2 differ by 2a+1≤992a + 1 \le 99 for a≤49,a \le 49, so the squares from 121^2 to 502=250050^2 = 2500 never skip a hundred-block: every set S0,S1,…,S25S_0, S_1, \ldots, S_{25} contains a perfect square. For a≥50a \ge 50 the gap 2a+1≥1012a + 1 \ge 101 exceeds 100,100, so each of the sets S26,…,S999S_{26}, \ldots, S_{999} contains at most one square.
The largest number involved is 99999,99999, and 3162=99856≤99999<3172.316^2 = 99856 \le 99999 \lt 317^2. So the squares landing in S26,…,S999S_{26}, \ldots, S_{999} are 512,522,…,316251^2, 52^2, \ldots, 316^2 — that is, 266266 squares occupying 266266 distinct sets out of those 974.974.
Therefore 974−266=708974 - 266 = 708 sets contain no perfect square.
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

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